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2021年最新利用导数解决不等式恒成立中参数问题--学案.pdf

上传人：H****o

文档编号：56686577

上传时间：2022-11-02

格式：PDF

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1、精品文档精品文档利用导数解决不等式恒成立中的参数问题一、单参数放在不等式上型：【例题 1】（07 全国理）设函数()xxf xee若对所有0 x都有()f xax，求a的取值范围解：令()()g xf xax，则()()xxg xfxaeea，（1）若2a，当0 x时，()20 xxg xeeaa，故()g x在(0,)上为增函数，0 x时，()(0)g xg，即()f xax（2）若2a，方程()0g x的正根为214ln2aax，此时，若1(0,)xx，则()0gx，故()g x在该区间为减函数1(0,)xx时，()(0)0g xg，即()f xax，与题设()f xax相矛盾综上，满足条

2、件的a的取值范围是(,2说明：上述方法是不等式放缩法【针对练习1】（10 课标理）设函数2()1xf xexax，当0 x时，()0f x，求a的取值范围解：【例题 2】（07 全国文）设函数32()2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值（1）求a、b的值；（2）若对于任意的0,3x，都有2()f xc成立，求c的取值范围解：（1）2()663fxxaxb，函数()f x在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f即6630241230abab，解得3a，4b（2）由（1）可知，32()29128f xxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx当(0,1)x时，()0f

3、x；当(1,2)x时，()0fx；当(2,3)x时，()0fx当1x时，()f x取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc则当0,3x时，()f x的最大值为(3)98fc对于任意的0,3x，有2()f xc恒成立，298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(,1)(9,)最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值【针对练习2】（07 重庆理）已知函数44()ln(0)f xaxxbxcx在1x处取得极值3c，其中a、b、c为常数（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数()f x的单调区间；（3）若对任意0 x，不等式2()2f xc恒成立，求c的取值范围精品

4、w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 1 页，共 10 页精品文档精品文档解：【针对练习3】（10 天津文）已知函数323()12f xaxx()xR，其中0a若在区间1 1,2 2上，()0fx恒成立，求a的取值范围解：精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 2 页，共 10 页文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9

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11、编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3精品文档精品文档【例题 3】（08 湖南理）已知函数22()ln(1)1xf xxx（1）求函数()f x的单调区间；（2）若不等式1(1)n aen对任意的nN都成立（其中e是自然对数的底数），求a的最大值解：（1）函数()f x的定义域是(1,)，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)xxxxxxxfxxxx设2()2(1)ln(1)2g xxxxx则()2ln(1)2g xxx，令()2ln(1)2h x

12、xx，则22()211xh xxx当10 x时，()0h x，()h x在(1,0)上为增函数，当0 x时，()0h x，()h x在(0,)上为减函数()h x在0 x处取得极大值，而(0)0h，()0(0)g xx，函数()g x在(1,)上为减函数于是当10 x时，()(0)0g xg，当0 x时，()(0)0g xg当10 x时，()0,fx()f x在(1,0)上为增函数当0 x时，()0fx，()f x在(0,)上为减函数故函数()f x的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0,)（2）不等式1(1)n aen等价于不等式1()ln(1)1nan，由111n知，11ln(1)

13、ann设11()ln(1)G xxx，(0,1x，则22222211(1)ln(1)()(1)ln(1)(1)ln(1)xxxG xxxxxxx由（1）知，22ln(1)01xxx，即22(1)ln(1)0 xxx()0G x，(0,1x，于是()G x在(0,1上为减函数故函数()G x在(0,1上的最小值为1(1)1ln 2G a 的最大值为11ln 2小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：分离变量；构造函数（非变量一方）；对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；写出变量的取值范围【针对练习4】（10 全国 1 理）已知()(1)ln

14、1f xxxx，若2()1xfxxax，求a的取值范围解：【针对练习5】若对所有的,)xe都有lnxxaxa成立，求实数a的取值范围精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 3 页，共 10 页文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10

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21、HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3精品文档精品文档解：二、单参数放在区间上型：【例题 4】已知三次函数32()5fxaxxcxd图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，并且)(xf在3x处有极值（1）求)(xf的解析式；（2）当(0,)xm时，()0f x恒成立，求实数m的取值范围解：（1）2()310fxaxxc，(1)310fac，于是过点(1,8)处的切线为8(310)(1)yacx，又切线经过点(3,0)，360ac，)(xf在3x处有极值，(3)27300fac，又(1)58facd，由解得：1a，3c，9d，32()539f xxxx（2）2()3103(31)

22、(3)fxxxxx，由()0fx得113x，23x当1(0,)3x时，()0fx，()f x单调递增，()(0)9f xf；当1(,3)3x时，()0fx，()f x单调递减，()(3)0f xf当3m时，()0f x在(0,)m内不恒成立，当且仅当(0,3m时，()0f x在(0,)m内恒成立，m的取值范围为(0,3【针对练习6】（07 陕西文）已知cxbxaxxf23)(在区间0,1上是增函数，在区间(,0)，(1,)上是减函数，又13()22f（1）求)(xf的解析式；（2）若在区间0,(0)mm上恒有()f xx成立，求m的取值范围解：精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理

23、-欢迎下载-第 4 页，共 10 页文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3

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29、N1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3精品文档精品文档三、双参数中知道其中一个参数的范围型：【例题 5】（07 天津理）已知函数()(0)af xxbxx，其中a，bR（

30、1）讨论函数()f x的单调性；（2）若对于任意的1,22a，不等式()10f x在1,14上恒成立，求b的取值范围解：（1）2()1afxx当0a时，显然()0(0)fxx这时()f x在(,0)，(0,)上内是增函数当0a时，令()0fx，解得xa当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：()fx在(,)a，(),a内是增函数，在(,0)a，(0,)内是减函数（2）法一：化归为最值由（2）知，()f x在1,14上的最大值为1()4f与(1)f的较大者，对于任意的1,22a，不等式0(1)f x在1,14上恒成立，当且仅当10(11(4)10)ff，即39449abab，对1,22a

31、成立从而得74b，满足条件的b的取值范围是(7,4法二：变量分离()10f x，10()abxx，即min10()abxx令()10()ag xxx，222()10axag xxx，()g x在1,14上递减，()g x最小值为139397()4424444ga，从而得74b，满足条件的b的取值范围是(7,4或用2(10)axb x，即2(10)2xb x，进一步分离变量得210()bxx，利用导数可以得到210()xx在14x时取得最小值74，从而得74b，满足条件的b的取值范围是(7,4法三：变更主元()10f x在1,14上恒成立，即10axbx，()100aaxbx，1,14x，()a

32、在1,22递增，即()a的最大值为2(2)100 xbx以下同上法说明：本题是在对于任意的 2,2a，()1f x在 1,1上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立【例题 6】设函数432()216ln(f xxaxxxb a，)bR，若对于任意的 2,2a，不等式x(,)aa(,0)a(0,)aa(),a()fx0 0()f x极大值极小值精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 5 页，共 10 页文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN

33、1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7

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36、Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文

37、档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY

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39、2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3精品文档精品文档4()fxx在(0,1x上恒成立，求实数b的取值范围解：4()fxx在(0,1x上恒成立，即23216lnxxbax在(0,1x上恒成立由条件 2,2a得2min3216ln2xxbax，又(0,1x，23216ln2xxbx，即32min(2216ln)bxxx设32()

40、2216lng xxxx，则323221664162(328)()64xxxxg xxxxxx令32()328xxx，2()94(94)xxxxx，当4(0,)9x，()0 x；当4(,1)9x，()0 x，(0,1x时，432()()809243x极小值，于是()0gx，32()2216lng xxxx在(0,1x递减，()g x的最小值为(1)0g，0b，因此满足条件的b的取值范围是(,0【针对练习7】设函数432()2()fxxaxxbxR，其中a，bR若对于任意的 2,2a，不等式()1f x在 1,1上恒成立，求b的取值范围解：四、双参数中的范围均未知型：【例题 7】（10 湖南理）

41、已知函数2()(,)f xxbxc b cR，对任意的xR，恒有()()fxf x（1）证明：当0 x时，2()()f xxc；（2）若对满足题设条件的任意b，c，不等式22()()()f cf bM cb恒成立，求M的最小值解：（1）易知()2fxxb由题设，对任意的xR，22xbxbxc，即2(2)0 xbxcb恒成立，2(2)4()0bcb，从而214bc于是1c，且2214bc|b，因此2()0cbccb故当0 x时，有2()()(2)(1)0 xcfxcb xc c，即当0 x时，2()()f xxc（2）由（1）知，c|b当c|b时，有2222222()()2f cf bcbbcb

42、cbMcbcbbc精品w o r d 学习资料可编辑资料-精心整理-欢迎下载-第 6 页，共 10 页文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z

43、10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档

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48、2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3文档编码:CY9X9R7I2U5 HN1K10W7G2T3 ZM5X4T6Z10C3精品文档精品文档令btc，则11t，2121cbbct 而函数1

49、()2(11)1g ttt的值域是3(,)2因此，当c|b时，M的取值集合为3,)2当c|b时，由（1）知，2b，2c此时()()8f cf b或0，220cb从而223()()()2f cf bcb恒成立综上所述，M的最小值为32【针对练习8】若32()xf xa图象上斜率为3 的两切线间的距离为2 105，设223()()3bxg xfxa（1）若函数)(xg在1x处有极值，求()g x的解析式；（2）若函数)(xg在区间 1,1上为增函数，且24()bmbg x在区间 1,1上都成立，求实数m的取值范围解：五、双参数中的线性规划型：【例题 8】（12 浙江理）已知0a，bR，函数3()4

50、2f xaxbxab（1）证明：当01x时，函数()f x的最大值为|2|aba；()|2|0fxaba；（2）若1()1f x对0,1x恒成立，求ab的取值范围解：（1）22()12212()6bfxaxba xa当0b时，2()1220fxaxb，在01x上恒成立，()f x在0,1上递增，此时()f x的最大值为：(1)423fababab|2|aba；当0b时，2()12212()()66bbfxaxba xxaa，此时()f x在0,6ba上递减，在,)6ba上递增，()f x在0,1上的最大值为：max,2()max(0),(1)max(),(3)3,2ba bafxffbaaba

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4.3 金币

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关键词：: 2021 最新利用导数解决不等式成立参数问题

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