第22章 二次根式导学案.doc
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1、第1课时 二次根式的概念及其应用【学习目标】了解二次根式的概念及其应用【学习重点】二次根式有意义的条件及其应用【学习过程】 一、学习准备 1概念复习(1)如果x2 = a,那么a的平方根表示为 .一个正数有 个平方根,它们的关系是 ;0的平方根是 ;负数 平方根. 一个非负数a的 叫算术平方根,表示为 .0的算术平方根为 .2.课前练习(1)4的平方根为 ,4的算术平方根为 ;12的平方根为 ,2的算术平方根为 . (2)面积为5的正方形的边长为 ; 面积为S的正方形的边长为 .(3)已知反比例函数,那么它的图象在第一象限内横、纵坐标相等的点的坐标是_(4)在直角三角形ABC中,AC = 3,
2、BC = 1,C = 90,那么AB边的长是_ 二、教材解读很明显、,都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根式子,我们就把它称二次根式一般地,我们把形如(a0)的式子叫做二次根式其中,a可以是一个数,也可以是一个代数式. 二次根式的特征:有二次根号;被开方数a是非负数,即a0.若a0时,我们称无意义. 结果是非负数,即都0. (双重非负性)即时练习1:(1)判断下列各式,哪些是二次根式? ,(x0,y0)是二次根式的有: (2)要修建一个面积为6.28平方米的圆形喷水池,它的半径为 .(3)甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的标准差S =_ 例1
3、,当x是多少时,代数式+在实数范围内有意义? 分析:这个代数式由两部分组成,第一部分是二次根式,第二部分是分式. 代数式要有意义,则二次根式的被开方数必须是非负数,分式的分母不能为0,且两个条件必须同时满足.解: 由题意得:且, 解之得:且. 即:当且时,代数式+在实数范围内有意义.例2,已知+0,求x - y的值. 分析:因为二次根式的结果都是非负数,而题中是两个二次根式的和为0,故两个根式的值都必须为0,结果才等于是0. 于是把二次根式的问题转化为方程的问题.解:由题意得:, 解之得:, 当时,则; 当时,则.即时练习2:(1)x取何值时,下列各二次根式有意义?; ; ; ; (2)在式子
4、中,x的取值范围是_.(3)若有意义,则a的值为_变式:已知y =+5,求的值. (4)若+= 0,求a2012b2012的值三、当堂反思小结二次根式的特征:从形式上看,应含有 ;被开方数a的取值范围是 ;运算结果的取值是范围 . (双重非负性)本课时达标检测一、基础巩固 1.已知,则x为( ). A. x-3 B. x-3 C.x = -3 D. x的值不能确定2.下列式子中,是二次根式的是( ).A. - B. C. D. x 3. 下列式子中,不是二次根式的是( ). A. B. C. D.4写出使下列二次根式有意义的x的取值范围.(1); (2); (3); (4). 5.当x = 时
5、,代数式有最小值,其最小值是 .6. 某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?二、知识拓展7.当x取 值时,x2在实数范围内有意义.8. 若,则 = . 9.已知y+,则= _.三、能力提升10若有意义,则= . 11. 在实数范围内分解因式:(1)x2 9 = x2 - ( )2 = (2) x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x _) (x _) (3)x4 16 = ( ) 2 - ( ) 2 = 12. 已知a、b为实数,且2= b4,求、的值第2课时 二次根式的性质【学习目标】理解二次根式的两个性质:(;
6、,并化简二次根式.【学习重点】理解并掌握二次根式性质=,并运用于化简中.【学习过程】一、学习准备1.二次根式的特征有哪些? .2.二次根式有意义,则x的取值范围是 .二、教材解读1.二次根式的性质1计算: = ; = ; = ;由上述练习可得二次根式的性质1:(0); 反之,当0时,.例1,计算:(1)(3)2; (2); (3). 解:(1)(3)2 = 9()2 = 95 = 45; (2) = . (3) = .即时练习1:(1)计算: ; ; ; ; ; .(2)计算: ; ; .2. 二次根式的性质2探究一:根据算术平方根的意义计算. ; ; ; ; .观察其结果与根号内幂底数的关系
7、,归纳得到:当 .探究二:根据算术平方根的意义计算. ; ; ; .观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当 .由以上两次探究,可得二次根式的性质2:=或.例2:当时,化简:-解:,, 由,运用不等式的性质可以得:,,.即:.原式 = (运用二次根式的性质,去根号得绝对值)= (去绝对值,若绝对值内小于零则去掉绝对值时变为相反数) =即时练习2:(1) ;= ;= ; ().(2)化简下列各式:= ; = ; = ;= (x- 2); .(3)若二次根式有意义,化简 . (4)若a、b为实数,且,求代数式的值.三、反思小结 二次根式的两个重要性质是: 本课时达标检测一、基础巩固1.计算 :
8、 = ; = ; = ;= ; = . 2. 先化简再求值:当= 9时,求a +的值,甲乙两人的解答如下: 甲的解答为:原式 = +=+(1-)= 1;乙的解答为:原式 = +=+(-1)= 2-1 = 17两种解答中,_的解答是错误的,错误的原因是 .3.已知2 x 3,化简: .二、知识拓展4. 若是一个正整数,则正整数m的最小值是_5.填空:(1)-=_;(2)= ;(3)a、b、c为三角形的三条边,则_.6. 若-32时,试化简 +.(7题图)7. 边长为a的正方形桌面,正中间有一个边长为的正方形方孔若沿图中虚线锯开,可以拼成一个新的正方形桌面你会拼吗?试求出新的正方形边长三、能力提升
9、8.把的根号外的适当变形后移入根号内,得( ).A. B. C. D.9. 已知1x1,化简:.(注意分段讨论) 第34课时 二次根式的乘法【学习目标】理解和掌握或=(a0,b0),并把二次根式化为最简.【学习重点】利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的对二次根式进行化简.【学习过程】 一、学习准备 1.二次根式的性质: (; =2.先计算,再比较两式的大小.(1)= ,= ,故 .(2) = , = ,故 .(3) =_, =_,故 .二、教材解读1.二次根式的乘法法则通过学习准备中的计算,我们发现二次根式的乘法规律:(a0,b0).(即:算术平方根的积等于积的算术平方根)特别提示一:其中
10、的a、 b都必须是正数. 错误应用:. 应怎样计算? 特别提示二:两个二次根式之间是乘法关系. 错误应用:.应怎样计算? 错误应用:.应怎样计算? 例1,计算:(1); (2); (3); (4);解:(1); (2) ; (3) ; (4)= .解题反思:对于被开方数是小数、分数、带分数的二次根式运算,运用乘法法则可以简化运算.即时练习1:(1)指出下列计算中的错误:=2=2. 你的计算是: (2)计算:; 23; ; .2.积的算术平方根在化简中的应用对于等式,反过来也是成立的,即:=(注意:a0,b0).(即:积的算术平方根等于各因式算术平方根的积.)推广形式:如果,则.利用这个性质,可
11、以对二次根式进行化简. 我们在运用勾股定理计算边长以及方差的计算时,我们经常会得到形如、这样的结果,如果还要作进一步的运算,如,会产生大数,运算量较大.能不能有更好的计算方法呢?例2,化简:(1); (2); (3); (4). 解:(1)=;(2);(3);(4).解题反思:以上计算实际上是对二次根式进行化简,使得结果变为较简单的形式,如果进一步进行二次根式的加减乘除运算,会减小运算量. 化解形如的二次根式时,被开方数可能有多种分解形式,记住一条原则:先分解出能开方的因数.即时练习2:计算或化简.(1); (2); (3); (4); (5).3.最简二次根式当被开方数中不含有分母,并且被开
12、方数中所有因数(或因式)幂的指数都小于2,这样的二次根式称为最简二次根式. 例3,计算:(1); (2); (3).解:(1);(2);(3)方法一:, 方法二: (方法二运用了平方差公式,将被开方数进行分解,避免了大数的运算,很好的方法!)解题反思:当我们运算熟练后,化简二次根式的有些步骤就可以省略了.如= 2.当二次根式相乘后,有时还需要对二次根式进一步进行化简,结果要为最简二次根式.如.即时练习3:计算或化简.(1); (2); (3)32; 例4,化简:(1); (2); (3); 解:(1)=; (2)=; (3)=.解题反思:二次根式的化简,可以先乘后化简,也可以先化简后乘,方法多
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