[名校联盟]福建省长泰县第一中学届高三数学二轮复习08讲 指数函数、对数函数与幂函数.ppt

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1、名校联盟福建省长泰县第一中学2012届高三数学二轮复习08讲 指数函数、对数函数与幂函数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2.2.指数函数、对数函数、幂函数还是抽象函数的模指数函数、对数函数、幂函数还是抽象函数的模 型，是研究和解决抽象函数问题的最佳助手，从型，是研究和解决抽象函数问题的最佳助手，从 这三类具体的函数推测相关抽象函数的性质进行这三类具体的函数推测相关抽象函数的性质进行 预测和分析，会收到事半功倍的好效果预测和分析，会收到事半功倍的好效

2、果.3.3.三类函数分别以指数运算、对数运算和幂运算为三类函数分别以指数运算、对数运算和幂运算为 基础，是三类运算基础，是三类运算“一般化一般化”的结果，因此要在的结果，因此要在 备考中重视指数运算、对数运算与幂运算的意义备考中重视指数运算、对数运算与幂运算的意义 和性质，熟练掌握它们的运算规律，运算法则和性质，熟练掌握它们的运算规律，运算法则.【例例1 1】化简或求值：】化简或求值：分析分析 依运算性质解决依运算性质解决.解解 探究拓展探究拓展 （1 1）化简求值分为两类：有条件与无）化简求值分为两类：有条件与无 条件条件.无条件的指数式可直接化简求值，有条件的无条件的指数式可直接化简求值，

3、有条件的 应把条件和结论相结合再进行化简求值应把条件和结论相结合再进行化简求值.（2 2）运用对数的运算法则时，要注意各字母的取）运用对数的运算法则时，要注意各字母的取 值范围，只有所得结果中的对数和所给出的对数值范围，只有所得结果中的对数和所给出的对数 都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对 数的积商幂混淆起来数的积商幂混淆起来.变式训练变式训练1 1解解【例例2 2】幂函数】幂函数y y=x xa a,当当a a取不同的正数时，取不同的正数时，在区间在区间0 0，1 1上它们的图象是一族上它们的图象是一族 美丽的曲线（如图）美丽的曲线（如图）.

4、设点设点A A（1 1，0 0），），B B（0 0，1 1），连接），连接ABAB，线段，线段ABAB恰好被恰好被 其中的两个幂函数其中的两个幂函数 的图象三等分，即的图象三等分，即 有有BMBM=MNMN=NANA，那么，那么 =.解析解析 方法一方法一 由条件，得由条件，得 答案答案 1 1 探究拓展探究拓展 本题综合考查了幂函数，指数函数，本题综合考查了幂函数，指数函数，对数函数的运算及其性质，同时考查了指数与对对数函数的运算及其性质，同时考查了指数与对 数式的互化数式的互化.变式训练变式训练2 2 点（点（，2 2）在幂函数）在幂函数f f(x x)的图象的图象 上，点上，点 在幂函

5、数在幂函数g g(x x)的图象上的图象上.问当问当x x为何为何 值时值时,有有f f(x x)g g(x x)；f f(x x)=)=g g(x x)；f f(x x)g g(x x)?)?方法二方法二 分析分析 先求出函数的解析式，再利用数形结合的先求出函数的解析式，再利用数形结合的 方法来求解方法来求解.解解 设设f f(x x)=)=,则由题意，得则由题意，得 =2,=2,即即f f(x x)=)=x x2 2.再设再设g g(x x)=)=则由题意，则由题意，在同一坐标系中作出在同一坐标系中作出f f(x x)与与g g(x x)的图象，如图所示的图象，如图所示.由图象可知：由图象

6、可知：当当x x11或或x x-1)g g(x x););当当x x=1=1时时,f f(x x)=)=g g(x x)；当当-1-1x x11且且x x00时，时，f f(x x)0,0,a a=1.=1.对一切对一切x xR R成立成立.（2 2）证明证明 方法一方法一 设设00 x x1 1 0,0,x x2 20,0,x x2 2-x x1 10,0,得得x x1 1+x x2 20.0.f f（x x1 1）-f f（x x2 2）00,e0,e2 2x x-1-10,0,此时此时f f(x x)0.)0.所以所以f f(x x)在（在（0,+)0,+)上是增函数上是增函数.探究拓展

7、探究拓展 （1 1）指数函数）指数函数y y=a ax x(a a0,0,a a0)0)定义域定义域 为为R R，这不同于对数函数，是保证，这不同于对数函数，是保证f f（x x）为偶函数）为偶函数 的必要条件的必要条件.（2 2）“恒成立恒成立”问题即问题即“与与无关无关”类命题，类命题，可转化为最值问题解决或转化为恒等式问题解可转化为最值问题解决或转化为恒等式问题解 决，本例是用后者，得决，本例是用后者，得 a=1(=1(a0)0)，实现，实现 “零乘以任何数都等于零零乘以任何数都等于零”.”.（3 3）单调性的证明紧扣定义，关键是运算变形创）单调性的证明紧扣定义，关键是运算变形创 造出条

8、件造出条件.变式训练变式训练3 3 已知已知 是奇函数（其中是奇函数（其中 a a0,0,a a1).1).（1 1）求）求m m的值；的值；（2 2）讨论）讨论f f(x x）的单调性；）的单调性；（3 3）当）当f f(x x)的定义域区间为（的定义域区间为（1 1，a a-2-2）时，）时，f f(x x）的值域为（的值域为（1 1，+），求），求a a的值的值.解解 当当a a11时，时，f f(x x)0,)0,f f（x x）在（）在（-,-1)-,-1)和和(1,+)(1,+)上都是减函数；上都是减函数；当当00a a10,)0,f f(x x)在（在（-,-1)-,-1)和和(

9、1,+)(1,+)上都是增函数上都是增函数.(3)1 (3)1x x 3,3,f f(x x)在在(1,(1,a a-2)-2)上为减函数，上为减函数，【例例4 4】已知函数】已知函数 x x-1-1，1 1，函数，函数 g g(x x)=)=f f（x x）2 2-2-2af af(x x)+3)+3的最小值为的最小值为h h(a a).).（1 1）求）求h h(a a););(2)(2)是否存在实数是否存在实数m m，n n,同时满足以下条件：同时满足以下条件：m m n n3;3;当当h h(a a)的定义域为的定义域为n n,m m时，值域时，值域 为为n n2 2，m m2 2？若

10、存在，求出？若存在，求出m m，n n的值，否则，的值，否则，说明理由说明理由.分析分析 （1 1）复合函数）复合函数.可设可设t t=f f(x x)并求出并求出t t的范围，的范围，将将g g(x x)化为关于新元化为关于新元t t的二次函数，再求的二次函数，再求h h(a a).).（2 2）探索性问题，往往先假设成立，并依此探）探索性问题，往往先假设成立，并依此探 求，如能求出合适的值求，如能求出合适的值m m,n n，说明，说明“假设成立假设成立”是是 正确的，否则，不成立正确的，否则，不成立.解解 （1 1）因为）因为-1-1x x1,1,（2 2）因为）因为m m n n3,3,

11、故故h h(a a)=12-6)=12-6a a,且且h h(a a)在在(3,+)(3,+)上单调递减，假设上单调递减，假设h h(a a)定义域为定义域为n n，m m，值域，值域 为为n n2 2，m m2 2，则有，则有 两式相减得两式相减得6 6（m m-n n)=()=(m m-n n)()(m m+n n),),又又m m n n3,3,所以所以m m+n n=6.=6.这与这与“m m n n33m m+n n6”6”矛盾，矛盾，故满足条件故满足条件的实数的实数m m,n n不存在不存在.变式训练变式训练4 4 已知已知x x满足满足a a2 2x x+a a6 6a ax x

12、+2+2+a ax x+4+4(a a0,0,a a1),1),函数函数 的值域为的值域为 求求a a 的值的值.解解 a a2 2x x+a a6 6a ax x+2+2+a ax x+4+4，（a ax x-a a2 2）（）（a ax x-a a4 4）0.0.针对针对a a11与与00a a100时，时，f f(x x)0)0恒成立，恒成立，f f(3)=-3.(3)=-3.(1)(1)证明：函数证明：函数y y=f f(x x)是是R R上的减函数；上的减函数；（2 2）证明：函数）证明：函数y y=f f(x x)是奇函数；是奇函数；（3 3）试求函数）试求函数y y=f f(x

13、x)在在m m,n n（m m,n nZ Z）上的值）上的值 域域.（1 1）证明证明 设设x x1 1，x x2 2R R，且，且x x1 1 0,0,f f(x x2 2-x x1 1)0.)0.f f(x x2 2)=)=f f(x x1 1)+)+f f(x x2 2-x x1 1)0.)0.（1 1）试判断）试判断f f(x x)的奇偶性；的奇偶性；（2 2）判断）判断f f(x x)的单调性；的单调性；（3 3）求证：）求证：（1 1）解解 对条件中的对条件中的x x,y y,令令x x=y y=0=0，再令，再令y y=-=-x x f f(x x)是奇函数是奇函数.f f(x

14、x)+)+f f(y y)=)=f f （2 2）解解 设设-1-1x x1 1 x x2 200，则则f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)=)=f f(x x1 1)+)+f f(-(-x x2 2)=)=x x1 1-x x2 20,00,0 x x1 1x x2 21,0)0，即，即f f(x x1 1)f f(x x2 2),),故故f f(x x)在在(-1(-1，0)0)上单调递减上单调递减,由奇函数性质可知由奇函数性质可知,f f(x x)在（在（0 0，1 1）上仍是单调递减函数）上仍是单调递减函数.f f(x x)在（在（-1-1，1 1）上是单调递减函数）上是

15、单调递减函数.(3)(3)证明证明规律方法总结规律方法总结1.1.一些重要类型的奇偶函数一些重要类型的奇偶函数 (1)(1)函数函数f f(x x)=)=a ax x+a a-x x 为偶函数为偶函数,函数函数f f(x x)=)=a ax x-a a-x x为奇为奇 函数函数.(2)(2)函数函数 (a a00且且a a1)1)为奇为奇 函数函数.(3)(3)函数函数 为奇函数为奇函数.(4)(4)函数函数 为奇函数为奇函数.(5)(5)函数函数 是奇函数是奇函数.2.2.一些重要函数的单调性一些重要函数的单调性 “耐克耐克”函数函数 （其图象如（其图象如“耐克耐克”的商的商 标，也称双钩函

16、数）标，也称双钩函数）(-(-，-1-1,-1-1，0)0),(0,(0，1 1,1 1，+)+),4.4.关于抽象函数问题的研究关于抽象函数问题的研究 （1 1）借鉴函数）借鉴函数模型模型进行类比探究进行类比探究.几类常见的抽几类常见的抽 象函数：象函数：(2)(2)特殊化思想特殊化思想赋值法赋值法 常令常令x x=0,1,-1=0,1,-1等先求出等先求出f f(0)(0)或或f f(1)(1)或或f f(-1),(-1),或令或令 y y=x x,y y=-=-x x递推，反证逻辑探究递推，反证逻辑探究.5.5.关于恒成立关于恒成立 （恒不成立，不恒成立）问题的研究（恒不成立，不恒成立）

17、问题的研究 分离参数法、变换主元法、最值法分离参数法、变换主元法、最值法,构造法或以上构造法或以上 诸法联用均是研究该类问题的有效可行策略诸法联用均是研究该类问题的有效可行策略.a af f(x x)恒成立恒成立a af f（x x）maxmax;a af f(x x)恒成立恒成立 a af f(x x)minmin.其它类型的其它类型的“恒不成立恒不成立”、“不不 恒成立恒成立”、“有解有解”问题，也可类此似处理问题，也可类此似处理.一、填空题一、填空题1.1.（20082008北京）若北京）若 则则a a，b b，c c的大小关系为的大小关系为 .解析解析 利用界值法易得利用界值法易得a

18、a b b c c 2.2.化简化简 (a a0,0,b b0)0)结果为结果为 .解析解析 原式原式3.3.函数函数y y=a a1-1-x x(a a0,0,a a1)1)的图象恒过定点的图象恒过定点A A，若点，若点A A 在直线在直线mxmx+nyny-1=0-1=0（m m,n n00）上，则）上，则 的最小的最小 值为值为 .解析解析 A A（1 1，1 1）m m+n n=1=1 （当且仅当（当且仅当 时，等号成立）时，等号成立）4 44.4.若不等式若不等式x x2 2-log-loga ax x00在区间在区间 内恒成立，内恒成立，则则a a的取值范围是的取值范围是 .解析解

19、析 分别作出分别作出y y1 1=x x2 2与与y y2 2=log=loga ax x的图象，依图知的图象，依图知 a a11时不可能有时不可能有y y1 1y y2 2,0,0a a11时，时，是界点，可是界点，可 得得5.5.函数函数f f(x x)=)=a ax x+log+loga a(x x+1)+1)在在0 0，1 1上的最大值与最上的最大值与最 小值之和为小值之和为a a,则则a a的值为的值为 .解析解析 f f(x x)=)=a ax x+log+loga a(x x+1)+1)在区间在区间0 0，1 1上是单调上是单调 的，则最大值与最小值之和为的，则最大值与最小值之和

20、为f f（0 0）+f f（1 1）=1+=1+a a+log+loga a2=2=a a,6.6.设设00a a11时，函数时，函数f f(x x)=log)=loga a(a a2 2x x-2-2a ax x-2),-2),则使则使 f f(x x)0)0的的x x取值范围是取值范围是 .解析解析 log loga a（a a2 2x x-2-2a ax x-2-2）0=log0=loga a1,1,又又00a a1,1.-21.a a2 2x x-2-2a ax x-30.-30.a ax x33或或a ax x-1(3=3=且且00a a11，x xlogloga a3.3.（-,l

21、og-,loga a3 3）二、解答题二、解答题7.7.计算：计算：lg 5(lg 8+lg 1 000)+lg 5(lg 8+lg 1 000)+解解 原式原式=lg 5(3lg 2+3)+3lg=lg 5(3lg 2+3)+3lg2 22-lg 6+lg 6-22-lg 6+lg 6-2 =3lg 5lg 2+3lg 5+3lg =3lg 5lg 2+3lg 5+3lg2 22-22-2 =3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2 =3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2 =3lg 2+3lg 5-2 =3lg 2+3lg 5-2 =3(lg 2+lg 5)-2 =3(l

22、g 2+lg 5)-2 =1.=1.8.8.（20082008上海）已知函数上海）已知函数 (1)(1)若若f f(x x)=2,)=2,求求x x的值的值;(2)(2)若若2 2t tf f(2(2t t)+)+mfmf(t t)0)0对于对于t t1,21,2恒成立恒成立,求实求实 数数m m的取值范围的取值范围.解解 (1)(1)当当x x00,0,x x=log=log2 2 (2)(2)当当t t1 1，2 2时，时，即即m m(2(22 2t t-1)-(2-1)-(24 4t t-1).-1).2 22 2t t-10,-10,m m-(2-(22 2t t+1).+1).t t

23、1 1，2 2，-（1+21+22 2t t）-17-17，-5-5，故故m m的取值范围是的取值范围是-5-5，+）.9.9.已知已知f f(x x)=log)=loga a(a ax x-1)(-1)(a a00且且a a1).1).（1 1）求）求f f(x x)的定义域；的定义域；（2 2）讨论函数）讨论函数f f(x x)的单调性的单调性.解解 （1 1）由）由a ax x-10,-10,得得a ax x1.1.当当a a11时，时，x x00；当；当00a a11时，时，x x0.11时，时，f f(x x)的定义域为（的定义域为（0 0，+）；）；当当00a a111时，设时，设

24、00 x x1 1 x x2 2,则则 f f(x x1 1)11时，时，f f(x x)在（在（0 0，+）上）上 是增函数是增函数.类似地，当类似地，当00a a100 且且a a1)1)，当点，当点P P（x x,y y）是函数）是函数y y=f f(x x)图象上的点图象上的点 时，点时，点Q Q（x x-2-2a a,-,-y y）是函数）是函数y y=g g(x x)图象上的点图象上的点.（1 1）写出函数）写出函数y y=g g(x x)的解析式；的解析式；（2 2）当）当x xa a+2+2，a a+3+3时，恒有时，恒有|f f(x x)-)-g g(x x)|1,)|1,试

25、确定试确定a a的取值范围的取值范围.解解 (1)(1)点点P P（x x0 0,y y0 0）是函数）是函数y y=f f(x x)图象上的点时，图象上的点时，点点Q Q（x x,y y）是函数）是函数y y=g g(x x)图象上的点，图象上的点，代入代入y y0 0=log=loga a(x x0 0-3-3a a),),得得-y y=log=loga a(x x-a a),),故函数故函数y y=g g(x x)的解析式为的解析式为g g(x x)=-log)=-loga a(x x-a a)()(x x a a).).又又f f(x x)与与g g(x x)在在x xa a+2,+2,a a+3+3时均有意义，时均有意义，a a+23+23a a,故故00a a1.1.|f f(x x)-)-g g(x x)|1)|1恒成立，恒成立，|log|loga a(x x-3-3a a)()(x x-a a)|1)|1恒成立恒成立.-1log -1loga a(x x-3-3a a)()(x x-a a)1,)1,0 0a a1.22+222a a,h h（x x）在）在a a+2+2，a a+3+3上单调递增上单调递增.返回