概率统计2.4-2.优秀PPT.ppt

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1、一、贝努力分布一、贝努力分布(Bernoulli Distribution)伯努利试验特征：伯努利试验特征：1.每次试验只有两个可能结果：每次试验只有两个可能结果：“成功成功”“失败失败”2.每次试验每次试验“成功成功”的概率都是同一个常数的概率都是同一个常数:p3.每次试验是否成功与它次无关。每次试验是否成功与它次无关。12定义定义:345例例例例1 1 某射手命中率为某射手命中率为0.80.8，独立射击，独立射击3 3次，求恰好命次，求恰好命中两次的概率中两次的概率.解解则恰好命中两次的概率为则恰好命中两次的概率为 由可加性由可加性由由独独立立性性6例例2 2 某人打靶某人打靶,命中率命中

2、率为为p=0.8,=0.8,独立重复射独立重复射击击5 5次次,求：求：(1)(1)恰好命中两次的概率；恰好命中两次的概率；(2)(2)至少命中两次的概率；至少命中两次的概率；(3)(3)至多命中至多命中4 4次的概率次的概率.解解 设设 X为命中数，为命中数，(1(1)(2(2)(3(3)7解解例例3 3 某经理有某经理有7 7个顾问，对某决策征求看法，经理听个顾问，对某决策征求看法，经理听 取多数人的看法取多数人的看法.若每位顾问提出正确看法的概率均若每位顾问提出正确看法的概率均 为为 0.7 0.7，且相互独立，求经理作出正确决策的概率，且相互独立，求经理作出正确决策的概率.提出正确看法

3、的顾问人数提出正确看法的顾问人数 则经理作出正确决策的概率为则经理作出正确决策的概率为 8解解例例4 4 对某药物的疗效进行探讨，假定这种药物对某种对某药物的疗效进行探讨，假定这种药物对某种疾病的治愈率为疾病的治愈率为p=0.8.p=0.8.现在现在1010个患者同时服此药，求个患者同时服此药，求至少有至少有6 6个患者治愈的概率个患者治愈的概率(假定患者之间相互独立假定患者之间相互独立).).治愈人数治愈人数 则至少有则至少有6个患者治愈的概率为个患者治愈的概率为 这这个个概概率率是是很很大大的的，也也即即，假假如如治治愈愈率率确确为为0 0.8 8，则则在在1 10 0人人中中治治愈愈人人

4、数数少少于于 6 6人人的的状状况况是是很很少少出出现现的的.因因此此，假假如如在在一一次次实实际际试试验验中中，发发觉觉1 10 0个个病病人人中中治治愈愈 不不 到到 6 6人人，那那么么假假定定治治愈愈率率为为0 0.8 8就就值值得得怀怀疑疑了了.9解解例例5 5 假设有假设有1010台设备，每台的牢靠性台设备，每台的牢靠性(无故障工作的概无故障工作的概率率)为为0.900.90，每台出现故障时须要由一人进行调整问，每台出现故障时须要由一人进行调整问为保证在为保证在95%95%的状况下当设备出现故障时都能刚好得到的状况下当设备出现故障时都能刚好得到调整，至少须要支配几个人值班？调整，至

5、少须要支配几个人值班？出故障机器台数出故障机器台数 因此，至少须要支配因此，至少须要支配3 3个人值班个人值班 10解解例例6 (6 (保险事业保险事业)若一年中某类保险者的死亡率为若一年中某类保险者的死亡率为0.005.0.005.现有现有1 1万人参与这类保险，试求在将来一年万人参与这类保险，试求在将来一年中在这些保险者里面，中在这些保险者里面，(1)(1)有有4040人死亡的概率；人死亡的概率；(2)(2)死亡人数不超过死亡人数不超过7070人的概率人的概率.死亡人数死亡人数 (1)(1)(2)(2)计计算相当困算相当困难难，下面介，下面介绍绍一个好用的近似公式一个好用的近似公式.11解

6、解例例7 7 假如生三胞胎的概率为假如生三胞胎的概率为10-4，求在求在10万次生育万次生育中，恰有两次生三胞胎的概率中，恰有两次生三胞胎的概率.10万次生育中生三胞胎的次数万次生育中生三胞胎的次数 干脆用伯努利公式计算得干脆用伯努利公式计算得 用泊松近似公式，用泊松近似公式，可见（当可见（当n n特别大时）近似程度令人满足特别大时）近似程度令人满足.二、超几何分布二、超几何分布12 定义定义参见参见P P65 65.13 例例8 8 设某批产品共有设某批产品共有N N件，其中有件，其中有M M件次品件次品.按如按如下两种方式从中任选下两种方式从中任选n n件产品件产品:(1):(1)每次取出

7、视察每次取出视察后放回；后放回；(2)(2)不放回不放回.设取得的次品数为设取得的次品数为X X，试分，试分别就所述的两种情形，求别就所述的两种情形，求X X的分布律的分布律.例例 (1)(1)由于是有放回的抽取，所以每次取到次品由于是有放回的抽取，所以每次取到次品的概率均为的概率均为M/N，所以所以解解即即14(2)(2)若不还原，在若不还原，在N件产品中任选件产品中任选 n 件，其中恰好件，其中恰好有有 k 件次品的取法共有件次品的取法共有15 作作为为二二项项分布的近似分布的近似,1837年法国数学家年法国数学家泊泊松引松引入的入的.了了泊松分布。泊松分布。三、三、Poisson分布分布

8、定义定义泊松分布的泊松分布的实际实际背景：背景：最简流最简流.例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量的投诉，例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到达某暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头所形成的随机所形成的随机质点流质点流 16性质性质性质性质10证明证明17所以所以性质性质2 20 0请自己阅读请自己阅读P P6767.18例例9 9 通过某十字路口的汽车数听从泊松分布通过某十字路口的汽车数听从泊松分布.若平均若平均5 5秒钟有秒钟有1 1辆汽车通过辆汽

9、车通过,求求1010秒钟内通过的汽车不少于秒钟内通过的汽车不少于两辆的概率两辆的概率.解解设设 X 为为10秒内通过的汽车数，秒内通过的汽车数，19例例10 10 某商店出售某种大件商品，据历史记录分某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，每月销售量听从泊松分布，析，每月销售量听从泊松分布，=7=7，问在月初，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以进货时要库存多少件此种商品，才能以0.9990.999的概的概率充分满足顾客的须要？率充分满足顾客的须要？解解 销售量销售量 设设至少至少库库存存N件，件，则则 经计算，必需取经计算，必需取 N=16.N=16.20定义定义1.1.匀整分布匀整分

10、布(Uniform (Uniform Distribution)Distribution)二、二、2.5 2.5 三种重要的连续型分布三种重要的连续型分布21 这这表明，表明，X X取取值值于于(a,b)(a,b)内的任一区内的任一区间间的概率与的概率与区区间间的的长长度成正比，而与度成正比，而与该该区区间间的具体位置无关的具体位置无关,这这就是匀整分布的概率意就是匀整分布的概率意义义。证明证明22性质性质23例例22 22 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7 7时起，每时起，每1515分钟来一班分钟来一班车，即车，即 7:00 7:00，7:157:15，7:30,7:45 7:30,7

11、:45 等时刻有汽车等时刻有汽车到达此站，假如乘客到达此站时间到达此站，假如乘客到达此站时间 X X 是是7:00 7:00 到到 7:30 7:30 之间的匀整随机变量之间的匀整随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 5 分钟的概率分钟的概率.24解解依题意，依题意，以以7:00为起点为起点0,以分为单位，以分为单位，为使候车时间少于为使候车时间少于 5 分钟，乘客必需在分钟，乘客必需在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.例

12、例22 22 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7 7时起，每时起，每1515分钟来一班分钟来一班车，即车，即 7:00 7:00，7:157:15，7:30,7:45 7:30,7:45 等时刻有汽车等时刻有汽车到达此站，假如乘客到达此站时间到达此站，假如乘客到达此站时间 X X 是是7:00 7:00 到到 7:30 7:30 之间的匀整随机变量之间的匀整随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 5 分钟的概率分钟的概率.25二、二、指数分布指数分布(Exponential Distribution)定义定义 指数分布在排队论和牢靠性理论中有广泛的应用，常常指数分布在排队论和牢靠

13、性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种用它来作为各种“寿命寿命”的分布的近似的分布的近似.例如例如,电子元件的寿命电子元件的寿命,电话的通话时间电话的通话时间,微生物的寿命微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间等随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似听从指数分布都可认为是近似听从指数分布.26 性质（性质（无记忆性无记忆性）：证证注注：指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.指数分布的期望与方差指数分布的期望与方差27证明：证明：28指数分布的期望与方差指数分布的期望与方差方差的证明：方差的证明：29例例23 23 假设电话一次通话时间是一随机变量，听

14、从参假设电话一次通话时间是一随机变量，听从参数为数为0.10.1的指数分布假设某人到达电话亭时有一人正的指数分布假设某人到达电话亭时有一人正在通话，试求在通话，试求:解解(1)(1)此人至少须要等此人至少须要等1010分钟的概率分钟的概率；(2)(2)此人须要等此人须要等1010到到2020分钟的概率分钟的概率 303.3.正态分布正态分布(Normal Distribution)正正态态分布是概率分布中最重要的一种分布，分布是概率分布中最重要的一种分布，这这有有实实践与理践与理论论两方面的两方面的缘缘由。由。实实践方面的践方面的缘缘由是，正由是，正态态分布是自然界最常分布是自然界最常见见的一

15、种分布，例如的一种分布，例如测测量的量的误误差、差、炮炮弹弹的落点、人的身高与体重、的落点、人的身高与体重、农农作物的收作物的收获获量、波量、波浪的高度等等都近似听从正浪的高度等等都近似听从正态态分布。一般来分布。一般来说说，假如，假如影响某一随机影响某一随机变变量的因素很多，而每一个因素都不起量的因素很多，而每一个因素都不起确定性作用，且确定性作用，且这这些影响是可以叠加的，些影响是可以叠加的，则这则这个随机个随机变变量听从正量听从正态态分布，分布，这这点可用第四章的极限定理来加点可用第四章的极限定理来加以以证证明。从理明。从理论论方面来方面来说说，正，正态态分布有很多良好的性分布有很多良好

16、的性质质，如正，如正态态分布可以分布可以导导出一些其它分布，而某些分布出一些其它分布，而某些分布（如二（如二项项分布、泊松分布等）在确定的条件下可用正分布、泊松分布等）在确定的条件下可用正态态分布来近似。分布来近似。31定义定义 假如随机变量假如随机变量X X的概率密度为的概率密度为 32正态变量的分布函数为正态变量的分布函数为33的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：34书末书末P262附有标准正态分布函数数值表附有标准正态分布函数数值表.表中给的是表中给的是x 0时时,(x)的值的值.35 任何一个一般的正

17、态分布都可以通过线性变任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布换转化为标准正态分布.定理定理其分布函数为其分布函数为则则证证3637二、正态分布密度函数的性质二、正态分布密度函数的性质（8条条）：）：38正态分布密度函数的性质：正态分布密度函数的性质：39（7）正态分布的数字特征正态分布的数字特征43（8）证证推广：推广：证：证：45若若 XN(0,1),例例1 1解解46 此公式把一般正态变量的概率转换为标准正态分布来计算此公式把一般正态变量的概率转换为标准正态分布来计算.47例例2 2解解48例例3 34968.26%95.44%99.74%50例例4 4 设设某某批批鸡

18、鸡蛋蛋每每只只的的重重量量X(X(以以克克计计)听听从从正正态态分分布布 XN(50XN(50 25)25)(1)(1)求从该批鸡蛋中任取一只求从该批鸡蛋中任取一只 其重量不足其重量不足4545克的概率克的概率 (2)(2)从从该该批批鸡鸡蛋蛋中中任任取取一一只只 其其重重量量介介于于4040克克到到6060克克之之间间的的概概率率 (3)(3)若若从从该该批批鸡鸡蛋蛋中中任任取取五五只只 试试求求恰恰有有2 2只只鸡鸡蛋蛋不不足足4545克克的的概概率率 (4)(4)从该批鸡蛋中任取一只其重量超过从该批鸡蛋中任取一只其重量超过6060克的概率克的概率 (5)(5)求求最最小小的的n n 使使

19、从从中中任任选选n n只只鸡鸡蛋蛋 其其中中至至少少有有一一只只鸡鸡蛋蛋的的重量超过重量超过6060克的概率大于克的概率大于0 09999 解解(1)(2)2 0.9773 1 0.9546；51 设设Y为为5只鸡蛋中重量不足只鸡蛋中重量不足45克的鸡蛋数克的鸡蛋数 则则YB(5 0.1587)故所求概率为故所求概率为(3)(4)52 设设 Z 表示表示n只鸡蛋中重量大于只鸡蛋中重量大于60克的鸡蛋数克的鸡蛋数 则则ZB(n 0.0228)(5)因为因为欲使欲使即即解得解得53解解例例5 5 若入学考试中各个考生的总分数听从正态分布若入学考试中各个考生的总分数听从正态分布N(400,1002)

20、,N(400,1002),共有共有20002000人参与考试，假定只录用前人参与考试，假定只录用前300300名，求分数线名，求分数线a a，使考生总分超过，使考生总分超过a a的概率等于升学率。的概率等于升学率。设设X表示考试总分，则表示考试总分，则 54例例6 6 若某人从甲地到乙地有两条路途可走，第一条路途过市若某人从甲地到乙地有两条路途可走，第一条路途过市区，路程短但拥挤，所需时间区，路程短但拥挤，所需时间(分分)听从正态分布听从正态分布N(50,100)N(50,100)；其次条线路沿环城路走，路程长但堵塞少，所需时间其次条线路沿环城路走，路程长但堵塞少，所需时间(分分)听从听从正态

21、分布正态分布N(60,16)N(60,16)。问。问:(1):(1)假如有假如有7070分钟可用，应选哪条路？分钟可用，应选哪条路？(2)(2)若只有若只有6565分钟，又应走哪条路？分钟，又应走哪条路？解解记行走时间为记行走时间为t，(1)若有若有70分钟可用分钟可用,走第一条路途能刚好赶到的概率为走第一条路途能刚好赶到的概率为 走其次条路途能刚好赶到的概率为走其次条路途能刚好赶到的概率为 因此，若有因此，若有70分钟可用，应选其次条路途。分钟可用，应选其次条路途。55走其次条路途能刚好赶到的概率为走其次条路途能刚好赶到的概率为 因此，若有因此，若有65分钟可用，应选第一条路途。分钟可用，应选第一条路途。(2)若有若有65分钟可用分钟可用,走第一条路途能刚好赶到的概率为走第一条路途能刚好赶到的概率为 标准正态分布的上标准正态分布的上分位点分位点 ：三、正态分布的线性组合三、正态分布的线性组合一般地，独立条件下：一般地，独立条件下：59练习：练习：习题二(P77)1、2、3、4、9、13、14、15、16、18、19、20、22、23、26、27、29、31、34、40、41、47、52、53、55、62、63、66、68、69、70、72*一、16；三、1、2、3