概率论与数理统计第4讲优秀PPT.ppt

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1、1.4 条件概率1 1一一,条件概率的概念条件概率的概念先由一个简洁的例子引入条件概率的概先由一个简洁的例子引入条件概率的概念念引例引例 一批同型号产品由甲一批同型号产品由甲,乙两厂生产乙两厂生产,产品结构如下表产品结构如下表:数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012002 2从这批产品中随意地取一件,则这件产品为次品的概率为 数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012003 3在已知取出的产品是甲厂生产的条件下,它是次品的概率为 数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50

2、070012004 4记取出的产品是甲厂生产的这一事务为A,取出的产品为次品这一事务为B.在事务A发生的条件下,求事务B发生的概率,这就是条件概率,记作P(B|A).在本例中,我们留意到:5 5记取出的产品是甲厂生产的这一事务为A,取出的产品为次品这一事务为B.数量厂别甲厂乙厂合计等级合格品4756441119次品255681合计50070012006 6事实上,简洁验证,对一般的古典概型,只要P(A)0,总有7 7在几何概型中(以平面区域情形为例),在平面上的有界区域S内等可能投点.若已知A发生,则B发生的概率为ASBAB8 8可见,在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型中总有由这些共性得

3、到启发,我们在一般的概率模型中引入条件概率的数学定义.9 9二二,条件概率的定义条件概率的定义定义定义1 设设A,B是两个事务是两个事务,且且P(A)0,则则称称(4.1)为在事务A发生的条件下,事务B的条件概率.相应地,把P(B)称为无条件概率.一般地,P(B|A)P(B).10101111例例1 一袋中装有一袋中装有10个球个球,其中其中3个黑球个黑球,7个白球个白球,先后两次从袋中各取一球先后两次从袋中各取一球(不放不放回回)(1)已知第一次取出的是黑球已知第一次取出的是黑球,求其次次求其次次取出的仍是黑球的概率取出的仍是黑球的概率;(2)已知其次次取出的是黑球已知其次次取出的是黑球,求

4、第一次求第一次取出的也是黑球的概率取出的也是黑球的概率.1212解解 记记Ai为事务为事务第第i次取到的是黑球次取到的是黑球(i=1,2)(1)在已知在已知A1发生发生,即第一次取到的是即第一次取到的是黑球的条件下黑球的条件下,其次次取球就在剩下的其次次取球就在剩下的2个黑球个黑球,7个白球共个白球共9个球中任取一个个球中任取一个,依依据古典概率计算据古典概率计算,取到黑球的概率为取到黑球的概率为2/9,即有即有P(A2|A1)=2/91313(2)在已知A2发生,即其次次取到的是黑球条件下,求第一次取到黑球的概率.但第一次取球发生在其次次取球之前,故问题的结构不象(1)那么直观.我们可按定义

5、计算P(A1|A2).1414注注:用维恩图表达用维恩图表达(4.1)式式,若事务若事务A已发生已发生,则为使则为使B也发生也发生,试验结果必需试验结果必需是即在是即在A中又在中又在B中的样本点中的样本点,即此点必即此点必属于属于AB.因已知因已知A已发生已发生,故故A成为计算成为计算条件概率条件概率P(B|A)新的样本空间新的样本空间.SABAB1515计算条件概率有两种方法:(a)在样本空间S中,先求事务P(AB)和P(A),再按定义计算P(B|A).(b)在缩减的样本空间A中求事务B的概率,就得到P(B|A).1616例例2 袋中有袋中有5个球个球,其中其中3个红球个红球2个白球个白球.

6、现从袋中不放回地连取两个现从袋中不放回地连取两个.已知第一已知第一次取得红球时次取得红球时,求其次次取得白球的概求其次次取得白球的概率率.解解 设设A表示表示第一次取得红球第一次取得红球,B表示表示其次次取得白球其次次取得白球,求求P(B|A).1717也可以干脆用古典概型的方法进行考虑,因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下4个球,其中有两个白球,再从中任取一个,取得白球的概率为2/4,所以18181919三三,乘法公式乘法公式由条件概率的定义马上得到由条件概率的定义马上得到:P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)0)(4.2)留意到留意到AB=BA,及及A,B的对称性可得到的对称性可得到

7、:P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)0)(4.3)(4.2)和和(4.3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式.利用利用它们可计算两个事务同时发生的概率它们可计算两个事务同时发生的概率.2020例例3 一袋中装一袋中装10个球个球,其中其中3个黑球个黑球,7个个白球白球,先后两次从中随意各取一球先后两次从中随意各取一球(不放不放回回),求两次取到的均为黑球的概率求两次取到的均为黑球的概率.分析分析 这一概率这一概率,我们曾用古典概型方法我们曾用古典概型方法计算过计算过,这里我们运用乘法公式来计算这里我们运用乘法公式来计算.在本例中在本例中,问题本身供应了两步完成一问题本身供应了两步完成一个

8、试验的结构个试验的结构,这恰恰与乘法公式的形这恰恰与乘法公式的形式相应式相应,合理地利用问题本身的结构来合理地利用问题本身的结构来运用乘法公式往往是使问题得到简化的运用乘法公式往往是使问题得到简化的关键关键.2121例例3 一袋中装一袋中装10个球个球,其中其中3个黑球个黑球,7个个白球白球,先后两次从中随意各取一球先后两次从中随意各取一球(不放不放回回),求两次取到的均为黑球的概率求两次取到的均为黑球的概率.解解 设设Ai表示事务表示事务第第i次取得黑球次取得黑球(i=1,2),则则A1A2表示事务表示事务两次取到两次取到的均为黑球的均为黑球.由题设知由题设知:于是依据乘法公式,有2222注

9、注:乘法公式乘法公式(4.2)和和(4.3)可以推广到可以推广到有限个事务积的概率情形有限个事务积的概率情形:设设A1,A2,An为为n个事务个事务,且且P(A1A2 An-1)0,则则P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2 An-1)(4.4)2323例例4 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次第一次落下时打破的概率为落下时打破的概率为1/2,若第一次落下若第一次落下未打破未打破,其次次落下打破的概率为其次次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第三次落下打破第三次落下打破的概率为的概率为9/10.

10、试求透镜落下三次而未打试求透镜落下三次而未打破的概率破的概率.242425252626其中B(AB)=B,从而2727四四,全概率公式全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式全概率公式是概率论中的一个基本公式.它将计算一个困难的概率问题它将计算一个困难的概率问题,可化为可化为在不同状况或不同缘由下发生的简洁事在不同状况或不同缘由下发生的简洁事务的概率的求和问题务的概率的求和问题.2828定理定理1 设设A1,A2,An,是一个完备事务是一个完备事务组组,且且P(Ai)0,i=1,2,则对任一事务则对任一事务B,有有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(BAn)+(4.5)证明证

11、明2929注注:公式指出公式指出,在困难状况下干脆计算在困难状况下干脆计算P(B)不易时不易时,可依据具体状况构造一组完可依据具体状况构造一组完备事务备事务Ai,使事务使事务B发生的概率是各事务发生的概率是各事务Ai(i=1,2,)发生条件下引起事务发生条件下引起事务B发生的发生的概率总和概率总和.直观示意图如下直观示意图如下.A1A2A3A3B30303131例例6 假设经分析估计利率下调的概率为假设经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为利率不变的概率为40%.依据阅历依据阅历,在利率下调时在利率下调时,某支股票价格上涨的概某支股票价格上涨的概率为率为80%,而在利率不变时而在利

12、率不变时,其价格上涨其价格上涨的概率为的概率为40%,求该支股票价格上涨的概求该支股票价格上涨的概率率.32323333例例7 某商店收进甲厂生产的产品某商店收进甲厂生产的产品30箱箱,乙乙厂生产的同种产品厂生产的同种产品20箱箱,甲厂每箱甲厂每箱100个个,废品率为废品率为0.06,乙厂每箱装乙厂每箱装120个个,废品率废品率为为0.05,求求:(1)任取一箱任取一箱,从中任取一个为废品的概从中任取一个为废品的概率率.(2)若将全部产品开箱混放若将全部产品开箱混放,求任取一个求任取一个为废品的概率为废品的概率.3434解解 记事务记事务A,B分别为甲分别为甲,乙两厂的产品乙两厂的产品,C为废

13、品为废品,则则(1)由全概率公式3535由全概率公式3636五五,贝叶斯公式贝叶斯公式利用全概率公式利用全概率公式,可通过综合分析一事可通过综合分析一事务发生的不同缘由或状况及其可能性来务发生的不同缘由或状况及其可能性来求得该事务发生的概率求得该事务发生的概率.下面给出的贝下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题叶斯公式则考虑与之完全相反的问题,即一事务已经发生即一事务已经发生,要考察引发该事务要考察引发该事务发生的各种缘由或状况的可能性大小发生的各种缘由或状况的可能性大小.3737定理定理2 设设A1,A2,An,是一完备事务组是一完备事务组,则对任一事务则对任一事务B,P(B)0,有有

14、上述公式称为贝叶斯公式贝叶斯公式.由条件概率的定义及全概率公式即可得证.3838注注:公式中公式中,P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为缘分别称为缘由的先验概率和后验概率由的先验概率和后验概率.P(Ai)(i=1,2,)是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不不知道事务知道事务B是否发生是否发生)的状况下诸事务发的状况下诸事务发生的概率生的概率.当获得新的信息当获得新的信息(知道知道B发生发生),人们对诸事务发生的概率人们对诸事务发生的概率P(Ai|B)有了有了新的估计新的估计,贝叶斯公式从数量上刻划了贝叶斯公式从数量上刻划了这种变更这种变更.3939例例8 对以往的数据分析结果表明,当机器调

15、整良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格时,机器调整得良好的概率是多少?4040解解 设设A为事务为事务产品合格产品合格,B为事务为事务机机器调整良好器调整良好,已知已知所需求的概率为P(B|A).由贝叶斯公式得4141这就是说,当生产出第一件产品是合格品时,此时机器调整良好的概率为0.97.这里,概率0.95是由以往的数据分析得到的,即先验概率,而在得到信息(即生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率0.97即为后验概率.有了后验概率我们就能对机器的状况有进一步的了解

16、.4242例例9 设某批产品中设某批产品中,甲甲,乙乙,丙三厂生产的丙三厂生产的产品分别占产品分别占45%,35%,20%,各厂的次品各厂的次品率分别为率分别为4%,%2,5%,现从中任取一件现从中任取一件.(1)求取到的是次品的概率求取到的是次品的概率;(2)经检验发觉取到的产品为次品经检验发觉取到的产品为次品,求该求该产品是甲厂生产的概率产品是甲厂生产的概率.4343解解 记A1,A2,A3为该产品由甲,乙,丙厂生产,B为该产品是次品.由题设知:P(A1)=45%,P(A2)=35%,P(A3)=20%,P(B|A1)=4%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%.(1)由全概率公式得

17、4444解解 记A1,A2,A3为该产品由甲,乙,丙厂生产,B为该产品是次品.由题设知:P(A1)=45%,P(A2)=35%,P(A3)=20%,P(B|A1)=4%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%.(1)P(B)=3.5%,(2)由贝叶斯公式得:4545课堂练习课堂练习1.设某种动物由诞生算起活到设某种动物由诞生算起活到20年以上年以上的概率为的概率为0.8,活到活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4.问现年问现年20岁的这种动物岁的这种动物,它能活到它能活到25岁岁以上的概率是多少以上的概率是多少?4646解解 假设事务假设事务A为活到为活到20年以上年以上,B为活到为活到25年以上年以上.则则B A,要求的条件概率是要求的条件概率是P(B|A),并已知并已知P(A)=0.8,P(B)=0.4,而而P(AB)=P(B)=0.4,因此因此4747作业 习题1-4 从第27页起先第1,2,10,15,21题4848