概率论与数理统计第三章课件优秀PPT.ppt

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1、1 二维随机变量问题的提出例1：探讨某一地区学龄儿童的发育状况。仅探讨身 高H的分布或仅探讨体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，探讨身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。例2：探讨某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置须要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。1定义：设定义：设E E是一个随机试验，样本空间是一个随机试验，样本空间S=eS=e；设设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义是定义在在S S上的随机变量，由它们构成的上的随机变量，由它们构成的向量向量(X,Y)(X,Y)

2、叫做二维随机向量叫做二维随机向量或二维随机变量。或二维随机变量。0Se定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量对于随意实数是二维随机变量对于随意实数x,yx,y，二元函数二元函数 称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数。的分布函数。2几何意义几何意义几何意义几何意义(X,Y)(X,Y)平面上随机点的平面上随机点的 坐标坐标 即为随机点即为随机点(X,Y)(X,Y)落在以点落在以点(x,y)(x,y)为顶点为顶点,位于位于该点左下方的无穷矩形区域该点左下方的无穷矩形区域G G内的概率值。内的概率值。3 分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1

3、(x,y1)(x,y2)405 2.二维离散型随机变量的联合分布中心问题中心问题中心问题中心问题：(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)取这些取这些可能可能值的概率分别为多少？值的概率分别为多少？定义定义 若二维若二维 r.v.r.v.（X X，Y Y）全部可能的取值是有）全部可能的取值是有限对或无限可列对，则称（限对或无限可列对，则称（X X，Y Y）是二维离散）是二维离散型随机变量。型随机变量。则则(1)公式法公式法二维（二维（二维（二维（X X X X，Y Y Y Y）的联合分布律）的联合分布律）的联合分布律）的联合分布律:(2)(2)(2)(2)表格法表格法表格法表格法X Y(X,Y

4、)的概率分布表：的概率分布表：描述描述(X,Y)的取值规律的取值规律例例1 1：将一枚硬币连掷三次，令将一枚硬币连掷三次，令X=“X=“正面出现正面出现的次数的次数”，Y=“Y=“正反面次数之差的确定值正反面次数之差的确定值”，试求试求(X,Y)(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。（0,30,3）（）（1,11,1）（）（2,12,1）（）（3,33,3）P(X=0,Y=3)=P(反反反反反反)=1/8解解:(X,Y)全部可能的取值为：全部可能的取值为：XY例例2:2:设随机变量设随机变量X X在在1,2,3,41,2,3,4中随机地取一个中随机地取一个数数,另一随机变量另一随机变量Y Y在

5、在1 1到到X X中随机地取一整数中随机地取一整数.求求(X,Y)(X,Y)的的分布律。分布律。分析 (X,Y)全部可能的取值为：(1,1);(2,1)、(2,2);(3,1)、(3,2)、(3,3);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4).解：解：设设X可能的取值为可能的取值为Y可能的取值为可能的取值为则：则：(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为:XY 二维连续型随机变量13说明说明(2)的性的性质质(1)分布函数分布函数 是连续函数是连续函数.(因为因为 (2)是积分上限函数是积分上限函数)反映反映(X,Y)落在落在 处附近的概率大小处附近的概率大小概率微分概率微分描述描述(X,

6、Y)的取值规律的取值规律G171 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：1819 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1)求常数k；(2)求概率 解：1202 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为：称为边缘分布函数边缘分布函数。事实上，21对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1X,Y的边缘分布律为：留意：22我们常在表格上干脆求边缘分布律我们常在表格上干脆求边缘分布律我们常在表格上干脆求边缘分布律我们常在表格上干脆求边

7、缘分布律XY1例例:求例求例1 1中二维随机变量中二维随机变量(X,Y)(X,Y)关于关于X X与与Y Y的的边缘分布律边缘分布律.1X X与与Y Y的边缘分布律如下的边缘分布律如下:对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上，同理：X,Y的边缘概率密度为：26 例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3)YX-1100.20.1a120.1 0.2bX10.420.6Y0.3 0.5-1100.2(2)解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.427 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度

8、则称(X,Y)在G上听从匀整分布。现设(X,Y)在有界区域上匀整分布，其概率密度为 求边缘概率密度 解：28 29二维正态分布的图形二维正态分布的图形30311.当（当（X，Y）为离散型）为离散型三三.二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布定义定义 在在(X,Y)中，当一个随机变量取固定值的条件中，当一个随机变量取固定值的条件下，另一个随机变量的分布，此分布为下，另一个随机变量的分布，此分布为条件分布条件分布在在 条件下，条件下，X的条件分布的条件分布固定值固定值自变量自变量同理同理总和总和重量重量1/161/120031/1600041/161/121/8021/161/121/81/

9、414321XY1/41/41/41/425/4813/487/483/48例例8 8 在例在例2 2中，中，求：求：(1)(1)在在X=3X=3的条件下的条件下Y Y的条件分的条件分布律；布律；(2)求在求在Y=1的条件下的条件下X的条件分布律。的条件分布律。因为：因为：所以，所以，类似可求：类似可求：2.2.当（当（X X，Y Y）为连续型）为连续型固定值固定值自变量自变量总和总和重量重量例例:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的的 概率密度为：概率密度为：解解独立性独立性独立性独立性复习复习复习复习:两个事务两个事务两个事务两个事务A A与与与与B B独立性的定义独立性的定

10、义独立性的定义独立性的定义P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性1 1 1 1、定义：设、定义：设、定义：设、定义：设X X X X与与与与Y Y Y Y是两个随机变量是两个随机变量是两个随机变量是两个随机变量,若对随意的若对随意的若对随意的若对随意的(1)(1)(1)(1)由定义可知由定义可知由定义可知由定义可知：若：若X X与与Y Y独立独立,则则(2)(2)离散型离散型随机变量随机变量，X X与与Y Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为:(3)连续型随机变量，连续型随机变量，X与与Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为:

11、2 2、随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论(4)联合分布和边缘分布的关系联合分布和边缘分布的关系联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件：独立性条件：独立性例例:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为:YX01P(y=j)12P(X=i)YX01P(y=j)12P(X=i)49 50 5152 一般一般n n维随机变量的一些概念和结果维随机变量的一些概念和结果 53 边缘分布边缘分布 如：54 相互独立相互独立 551.(X,Y)离散离散加法加法使使 对应的对应的(X,Y)的那些可能的那些可能值值,其概

12、率之和其概率之和5 两个随机变量的函数的分布56例例1:1:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为:求求Z=X+Y的分布律的分布律.解解:Z:Z的全部取值为的全部取值为:1,2,3,4,5,6.5758 2.(X,Y)连续型连续型方法方法:分布函数法分布函数法 59解：由 x,y,的取值及Z与X、Y的函数关系可知，Z的取值范围（Z的密度函数不为0的范围）是 0 z 1,首先求Z的分布函数 ；60当 0z1时，如图：则Z的密度函数为：0z161 下下面面我我们们就就几几个个具具体体的的函函数数来来探探讨讨Z=X+Y的分布的分布由概率密度的定义可得由概率密度的定义可得

13、Z的概率密度为：的概率密度为：固定固定 特殊地，当特殊地，当X和和Y相互独立时，上述两式相互独立时，上述两式变为（称为卷积公式）：变为（称为卷积公式）：例例1:设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们都听从它们都听从N(0,1),即有即有求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解：解：由卷积公式由卷积公式结论结论:分布的可加性分布的可加性例例2:设随机变量设随机变量X与与Y独立同分布，独立同分布，X的概率密的概率密度为：度为：求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解：解：由卷积公式由卷积公式01特殊地特殊地,当当X和和Y相互独立时相互独立时,有有2.Z=X-Y2.Z=X

14、-Y类似与类似与Z=X+YZ=X+Y的情形的情形,可知可知x-y=z例例3:3:设随机变量设随机变量X X与与Y Y独立同分布独立同分布,X,X的概率密度为：的概率密度为：求求Z=X-Y的概率密度。的概率密度。解：解：由卷积公式由卷积公式3.M=max(X,Y)3.M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布的分布 设设X,YX,Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们它们的分布函数分别为的分布函数分别为F FX X(x)(x)和和F FY Y(y)(y)。由于由于 现在来求现在来求M=max(X,Y)M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)N=m

15、in(X,Y)的的分布函数。分布函数。(1)M=max(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：(2)N=min(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：例例1：设系统：设系统L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1，L2联接联接而成，联接方式分别为而成，联接方式分别为:(1)串联串联;(2)并联并联;(3)备用备用(当当L1损坏时，损坏时，L2起先工作起先工作)，如图所示。，如图所示。（1）（2）（3）L1，L2的寿命分别用的寿命分别用X，Y表示，已知它们的概率密表示，已知它们的概率密度分别为度分别为:试就以上三种联接方式分别写出试就以上三种联接方式分别写出L L的寿命的寿命Z Z的概率密

16、度的概率密度.解解:(1):(1)串联的状况串联的状况:Z=min(X,Y):Z=min(X,Y)X,Y的分布函数分别为：的分布函数分别为：Z=min(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：Z的概率密度为的概率密度为:（2 2）并联的状况：）并联的状况：Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：Z的概率密度为的概率密度为:（3 3）备用的状况：）备用的状况：Z=X+YZ=X+YZ Z的概率密度为的概率密度为:83复习复习联联合分布函合分布函数数，联联合分布律，合分布律，联联合合概概率密度率密度84复习复习-边缘边缘分布分布85复习复习-条件分布律，条

17、件密度函数条件分布律，条件密度函数86(1)(1)由定由定义义可知可知：若X与Y独立,则(2)(2)离散型离散型随机变量随机变量，X X与与Y Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为:(3)连续型随机变量，连续型随机变量，X与与Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为:随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论871.(X,Y)离散离散加法加法使使 对应的对应的(X,Y)的那些可的那些可能值能值,其概率之和其概率之和5 两个随机变量的函数的分布88 2.(X,Y)连续型连续型方法方法:分布函数法分布函数法 89 特殊地，当特殊地，当X和和Y相互独立时，上述两式相互独立时，上述两式变为（称为卷积公式）：变为（称为卷积公式）：90特殊地特殊地,当当X和和Y相互独立时相互独立时,有有(2).Z=X-Y(2).Z=X-Y类似与类似与Z=X+YZ=X+Y的情形的情形,可知可知x-y=z91(3)X,Y相互独立时，相互独立时，M=max(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：92精品课件精品课件！93精品课件精品课件！94(4)X,Y相互独立时，相互独立时，N=min(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：95