高中数学解析几何专栏之抛物线(汇总解析版).doc

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1、.圆锥曲线第 3 讲 抛物线【知识要点】1、 抛物线的定义平面内到某一定点 F的距离与它到定直线 l（ lF）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线。注 1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 不在定直线 l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点 且垂直于直线 l的一条直线。注 2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F的距离与它到定直线 l（ lF）的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。注 3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义

2、解题的关键。2、 抛物线的标准方程1. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1 ） pxy2（ 0） ，其焦点为)0,2(pF，准线为 2px；（2 ） （ ） ，其焦点为，准线为 ；（3 ） yx（ ） ，其焦点为),(，准线为y；（4 ） p2（ 0） ，其焦点为 2,0pF，准线为 2p.2. 抛物线的标准方程的特点抛物线的标准方程 pxy2（ 0）或 pyx2（ 0）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为 轴时，抛物线方程中的一次项就是 x的一次.项，且一次项 x的符号指明了抛物

3、线的开口方向；当抛物线的对称轴为 y轴时，抛物线方程中的一次项就是 y的一次项，且一次项 y的符号指明了抛物线的开口方向.3、 抛物线的性质以标准方程 pxy2（ 0）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1 ） 范围： ， R；（2 ） 顶点：坐标原点 ),(O；（3 ） 对称性：关于 x轴轴对称，对称轴方程为 0y；（4 ） 开口方向：向右；（5 ） 焦参数： p；（6 ） 焦点：)0,2(F；（7 ） 准线：px；（8 ） 焦准距： ；（9 ） 离心率： 1e；（10 ）焦半径：若 ),(0yxP为抛物线 pxy2（ 0）上一点，则由抛物线的定义，有 20pF；（11 ）通径

4、长： .注 1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 pxy2（0p）的焦点)0,2(pF和准线 l： 2px为例，可求得其焦准距为)(；注 2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的弦。设抛物线的方程为 pxy2（ 0） ，过其焦点)0,2(pF且不垂直于 x轴的直线交该抛物线于 ),(1xA、 ),(2B两点，则由抛物线的定义，可知其焦半径.2)(11pxxAF， 2)(2pxxBF，于是该抛物线的焦点弦长为B121().注 3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。设抛物线的方程

5、为 pxy2（ 0） ，过其焦点)0,2(pF且垂直于x轴的直线交该抛物线于 A、 B两点（不妨令点 A在 轴的上方） ，则),(A、),2(pB，于是该抛物线的通径长为 p2)(.四、与抛物线相关的几个重要结论设抛物线的方程为 pxy2（ 0） ，点),2(pF是其焦点，直线 l： 2px是其准线，若过该抛物线焦点 F的直线交该抛物线于 ,1yxA、 ),(2B两点（即线段 AB是该抛物线的焦点弦） ，并且点 A、点 B在其准线上的垂足分别为点 C、点 D，线段 的中点为点 N，则可以证明：（1 ）2py， 421x；（2 ） 221sinpAB（这里， 为直线 AB的倾斜角） ；（3 ）

6、iSO（这里， 为直线 的倾斜角） ；（4 ） 以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切；（5 ） 90ANB， 90CFD；（6 ） 以线段 为直径的圆切直线 AB于点 F.证明：由于当直线 的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线 过点)0,2(p，我们可巧设其方程.为 2cotpyx，这里， 为直线 AB的倾斜角.（1 ） 联立 ctyx，得 0cot22pyy由韦达定理，有 t1t21p，221p故yyypx )()cot(2)( 2221212121 )cot(cotcot422 p44)()(2222112pyyx （2

7、） 由抛物线的定义，有)2()2(1pxpxBDACFAB ypypxpx (cot)2(cot)2()( 1211 22sinccotcot ppy （3 ） )(4)ot(4)(4)(2121 2212121 yypypOFSAB cscscscot4cot4 ppp sin2i12（4 ） 设 AB的中点为 ),(0yxM则)1(cot2)(ct2)1cot(22)( 212100 pppppx又 11111 44)() yyxxyx 2222222 4ct)cott(4cot4cot( ppp )(o()ctt84 p.)1(cot2pABx0这表明， 的中点 ),(0yxM到准线 l

8、： 2px的距离等于 AB的一半，即以线段AB为直径的圆的圆心 ),(0到准线 l： 的距离等于圆的半径.故以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切（5 ） ),(1yx， ),(2B，)2,(1ypN)(11xypkNA， 2)(212pxyxkB1cot)1cot2(4t4)1cot2(4)t 4)(2)(2 2222222 21112112212 ppp xxyypxypxyykNBA 于 是故 NBA，即 90又 ),2(1ypC，),2(ypD，),(F,1F， ,2于是 0)(2 pyp故 DC，即 9F（6 ）222212212 cot)cot()()() ppyyN cotcot

9、1(22 pp )(4)cot2(4)()( 22121212 pyyyyCD .)1(cot2)1(cot4cot4 2222 pppCDNF1这表明， 的中点)2,(1y到点)0,(F的距离等于 CD的一半，即以线段CD为直径的圆的圆心),(1pN到点),2(p的距离等于圆的半径.故以线段 为直径的圆切直线 AB于点 F【例题选讲】题型 1：抛物线定义的应用1. 已知 F是抛物线 xy2的焦点， A、 B是该抛物线上的两点， 3BFA，则线段 AB的中点到 轴的距离为 _.解：在抛物线 xy2中， 1p，即 2该抛物线的焦点为)0,4(F，准线方程为 41x由此可知，直线 AB不垂直于 x

10、轴，否则 2BFA，与已知 3BFA矛盾设 ),(1yx， ),(2则线段 AB的中点到 轴的距离 21xd，并且由抛物线的定义，有4)1(xF， 41)(2BF于是由 3，有 531212xx故线段 AB的中点到 y轴的距离 421d.2. 设抛物线 xy82的焦点为 F，准线为 l，点 P为该抛物线上一点， lPA，点 为垂足，如果直线 A的斜率为 3，那么 =_.解：在抛物线 xy2中， 8p，即 4该抛物线的焦点为 )0,(F，准线方程为 2x由 3AFk， ,2可知，直线 A的方程为 )2(30xy，即xy联立 2，得 342yx)34,(于是由 lPA于点 知， AP将其代入方程

11、xy82中，得68)(2故由抛物线的定义，有 8)(PxF3. 已知以 为焦点的抛物线 y42上的两点 A、 B满足 F3，则弦 AB的中点到准线的距离为_.解：在抛物线 xy42中， p，即 该抛物线的焦点为 )0,1(F，准线方程为 1x设 ),(1yxA， 2B则弦 的中点到准线的距离12)(21xxd，并且 ),1(1yxAF，),1(2yxFB于是由 A3，有 2121343)(yxyx，又由 FB可知，直线 A的斜率存在，不妨设为 k则直线 的方程为 )(0xky，即 xy.联立 kxy42，得 042ky由韦达定理，有 21 而 213y4，1234921y于是321yx，2x故

12、弦 AB的中点到准线的距离 38152312xd题型 2：求抛物线的方程4. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为 2x，则该抛物线的方程是_.解：由所求抛物线的准线方程为 ，可设其方程为 pxy（ 0）则有42p故所求抛物线的方程为 xy825. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为 2，则该抛物线的方程是_.解：由题设条件可设所求抛物线的方程为 pxy2（ 0）或 pyx2（ 0）则由焦准距为 2，有 p故所求抛物线的方程为 xy42或 y26. 已知抛物线过点 ),3(P，则该抛物线的标准方程为_，其准线方程为_.解：由所求抛物线过点 )2,(，可设其方程为 p

13、xy2（ 0）或 pyx2（.0p）则有 64或 p9于是 32p或故所求抛物线的方程为xy342或y297. 已知抛物线的焦点 F在直线 04yx上，则该抛物线的标准方程为_，其准线方程为_.解：在方程 042yx中，令 x，得 2；令 0y，得 4x于是所求抛物线的焦点为 )2,(F或 )0,4(（）当所求抛物线的焦点为 ,时，据此可设所求抛物线的方程为 pyx2（0p）则有42p于是此时所求抛物线的方程为 yx82，其准线方程为2py（）当所求抛物线的焦点为 )0,4(F时，据此可设所求抛物线的方程为 pxy2（0p）则有842p于是此时所求抛物线的方程为 xy162，其准线方程为42p

14、x故所求抛物线的方程为 x8或 ，它们对应的准线方程分别为 2y，4x.8. 已知动圆与圆 A： 9)3(2yx外切，且与 y轴相切，则动圆圆心 M的轨迹方程为_.解：设 ),(yM则由动圆 与圆 A外切，且与 y轴相切，有 3xMA（ 0）3)0()3(22xyx（ 0） ，即 )(62y（ ） （ ）当 时，由（ ）式，有 y12；当 x时，由（ ）式，有2y故动圆圆心 M的轨迹方程为 0,29. 若抛物线 pxy2（ ）的焦点恰好是双曲线 2yx的右焦点，则p=_.解：抛物线 pxy2的焦点为)0,2(F，准线方程为 2px在双曲线2，即1y中， 2ba， 422bacba， c于是双曲线 2yx的左、右焦点分别为 )0,2(1F、 ),(2又 抛物线 p2的焦点)0,(恰好是点 ),(p故 410. 若抛物线 pxy2（ 0）的准线经过双曲线 12yx的一个焦点，则p=_.解：抛物线 pxy2的焦点为),2(F，准线方程为 2px