小学数学问题研究二图形与几何部分1.docx

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1、小学数学问题研究(二)图形与几何部分第二部分 关于“图形与几何”的问题研究一、 图形的认识1“几何学”、“图形”与“空间”各指什么？【几何学】数学中最古老的一门学科，据说起源于古代埃及尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法。“几何学”一词的外国语言名称就有土地测量的意思。埃及产生的几何学传到希腊，逐步发展为理论的数学。几何学是研究图形性质的一门数学分科。所谓“图形”是指点、线、面、体以及它们的组合。我国对几何学的研究有着悠久的历史。在三千多年前制作的陶器上已经有了正方形和菱形等图案的花纹。三千四百多年前的著作墨子给圆所下的定义比欧几里得的定义要早一百多年。【图形】图形是数学的分支学科几何学的研究

2、对象。“图形”曾经被解释为“点、线、面、体以及它们的组合。”现在则可解释为“点的集合”（点集）。因为“线、面、体”都可以看做点的集合。【平面图形】【立体图形】【空间图形】如果图形中所有的点在同一平面内，那么这样的图形叫做平面图形，如果图形中的点不全在同一个平面内，则叫做立体图形，又称空间图形，几何学中研究平面图形的分支学科叫平面几可，研究立体图形的叫立体几何或空间几何。【非平面图形】有些版本的教科书还引进了“非平面图形”的概念。他们把非平面图形定义为“所有的点不全在同一平面内的图形”，而将“平面图形”与“非平同图形”统称“立体图形”。【几何体】【体】在几何学中所研究的图形包括体、面、线、点以及

3、它们的组合。一个物体如果只研究它的形状和大小，而不管它的其它性质，那么这样的物体就叫做几何体，简称为体。可见，体是对客观世界中的物体进行抽象的产物。同样大小的铅球和垒球，作为几何体是没有区别的。【面】体是由面围成的。例如，长方体是由六个长方形的平面部分围成的；球体是由一个球面围成的，面有平面和曲面。球面就是一种曲面。几何里的面是没有厚度的。【线】面和面相交于线，线可以分为直线和曲线。如刀面和西瓜的表面交于曲线。在圆柱中，侧面和底面交于一个圆。几何里的线是没有粗细的。【点】线和线相交于点，几何里的点只有位置，没有大小。几何学里的点、线、面、体都是对生活里的某些事物（现实原型）进行理想化抽象的结果

4、，体现了有限与无限对立统一。【欧几里得空间】设R是实数域，V是R上的三维向量空间。即设x=，y=。定义x与y的内积（x，y）=则内积满足下列条件：（x，y）=（y，x）（xy，z）=(x，y)（y，z）（ax，y）=a（x，y）（x，x）0，当且仅当x=0时，（x，x）=0其中，x，y，z是V是任意向量，a是任意实数。定义了内积的实数域上的向量空间称为“欧几里得”空间。【拓扑空间】【空间】拓扑空间是欧几里得空间的推广。给定集X，它的子集族F如果满足以下三个条件：空集和X是F的元；F内任意有限多个元的交仍然是F的元；F内任意有限多个元的并仍然是F的元。则F就称为X上的一个拓扑结构，简称拓扑。集X

5、连同它上面的一个拓扑F构成了一个拓扑空间，简称空间。在哲学上，“空间”与“时间”构成运动着的物质存在的两种基本形式，都具有不依赖于人的意识的客观性，它们同运动着的物质是不可分割的，“空间”和“时间”是无限和有限的统一。就宇宙而言，“空间”无边无际，“时间”无始无终；就每一具体的事物而言，“空间”和“时间”都是有限的。在自然语言中，“空间”是物质存在的一种客观形式，由长度、宽度和高度表现出来。参考书1中国大百科全书 数学中国大百科全书出版社，1988年版P497；686。2辞海上海辞书出版社，1989年版缩印本，P2017。3现代汉语词典商务印书馆，1983年第2版P646。2.小学生形成“直线

6、”的概念应该包括哪些要点？怎样帮助学生逐步进行理想化抽象，认识直线的无限延伸性？“直线”是初等几何的一个原始概念，是定义其它几何概念最初的出发点。在公理化几何体系中，直线是从现实原型中直接抽象出来的不定义的概念。它的基本性质是用一组公理来表述的。事实上“直线”概念的教学有三个要素：直；无粗细可言和无限延伸性。其中，“直”可以通过教具演示、通过与“曲”的对比，使学生认识。“无粗细可言”也可以借助典型事例的观察和分析让学生认识到。如教室墙面的浅色区域和深色区域的分界线，就是没有粗细的线的例子。只有“无限延伸性”难以通过直观教学使学生懂得。因为我们找不到这样的实际事例。“无限的东西”我们是拿不出来的

7、。能拿出来的，只能是“有限的东西”。于是，这种无限延伸性只能由教师告诉学生。结果，学生往往是将信将疑。于是，有人提出如下教学方案：用直尺在黑板上的两点间画线。让学生在作业本上的两点间画线。指出：这样画的线都是线段。让学生讨论、交流，最后明确：线段是直的（而不是弯曲的）；线段有两个端点；在连接两点的线中，线段最短；要使学生注意到：数学上所说的“线段”是没有粗细的。（可以举出有关的事例，引导学生进行理想化抽象）出示画有各种线的卡片，让学生辨别：其中哪些是线段、哪些不是线段。让学生从周围的环境里找出线段。让学生将画出的线段向一方延长，再延长，。告诉学生：线段向一方无限延长得到的图形叫做射线；线段向两

8、方无限延长得到的图形叫做直线。从而认识：射线是向一方无限延伸的，射线有一个端点。直线是向两方无限延伸的，直线没有端点。这样，小学生就可以先通过直观教学，认识有限的图形；然后在此基础上，通过画图操作和想象，进行理想化抽象，认识无限的图形。无限的东西，运用直观教学是难以奏效的，只有引导学生通过想象来把握。3 说“直线可以无限延长”、“线段不能无限延长”为什么不对？“直线”、“线段”和“射线”有什么区别和联系？因为在几何理论体系中所说的“直线”，本来就是向两方无限延伸着的，它不需要延长，也不可能再延长，而“线段”是直线上两点间的部分。它不是向两方无限延伸着的，因而可以向一方或者向两方延长，或者无限延

9、长。说“延长直线AB”或“直线可以无限延长”等，实质上表示这样说的人对“直线”概念还没有确切地认识。“直线”、“线段”和“射线”之间的区别和联系如下表所示：线 段 射 线直 线图 形 共同点都是直的，都没有粗细可说。差异有两个端点，有一定的长度有一个端点，向一方无限延伸着。没有端点，是向两方无限延伸着的。可以向两方延长或无限延长可以反向延长或无限延长不能也不需要延长或无限延长其它在联结两点的线中，线段最短两点确定一条直线4 研究点与点、点与直线、直线与直线、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，如何定性分类与定量刻划？几何学研究的是“图形的性质”。所谓“图形”指体、面、线、点以及它们的组合；所

10、谓“性质”指图形的形状、大小和位置关系。研究位置关系时，既可以按照某种标准将位置关系分类，分成几种情况，分门别类地研究，也可以就此位置关系引入某种几何量，用以定量地刻划这种位置关系。它们分别对应于位置关系的定性分类和定量刻划。而定性研究和定量研究的相互联系，则反映了“从量变到质变”的辩证规律。如直线与直线的位置关系可以首先根据这两条直线是否在同一个平面内（即是否存在经过它们的平面）分为“共面”和“异面”两种情形，然后，共面两直线又可以根据它们是否有公共点分为“相交”和“平行”；对于两条相交直线，还可以根据它们是否相交成直角分为“垂直”和“斜交”。如下表所示。 垂直相交两条直线的位置关系 共面

11、斜交 平行 异面是否相交成直角是否有公共点是否在同一平面内为了进一步定量地刻划两条平行线的位置关系，人们引入了几何量“两条平行线间的距离”；为了刻划两条相交直线的位置关系，引入了“两条相交直线所成的角”；而为了定量地刻划两条异面直线的位置关系，人们引入了两个几何量：“两条异面直线所成的角”和“两条异面直线间的距离”。有了这些几何量，我们就可以把对于两条直线的位置关系的定性研究提升为定量研究。至于点与点、点与直线、点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系的分类、定量研究引入的几何量以及两者之间的关系大致如下表所示。位置关系定性分类定量刻划两者的关系点与点重合不重合连结两点的线段的长度d叫做这两点间的

12、距离如果d=0，则两点重合；如果d0，则两点不重合。点与直线点在直线上点在直线外点到直线的垂线段的长度d叫做这点到这条直线的距离如果d=0，则点在直线上；如果d0，点在直线外。点和圆点在圆上点在圆内点在圆外设圆的半径为r，点到圆心的距离为d。如果d=r，则点在圆上；如果dr，则点在圆内；如果dr，则点在圆外。直线和圆直线和圆相交直线和圆相切直线和圆相离设圆的半径为r，直线到圆心的距离为d。如果dr，则直线和圆相交如果d=r，则直线和圆相切如果dr，则直线和圆相离不等的两个圆两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含两圆同心设两圆的半径分别为r1，r2（r1r2）两圆的圆心距为d。如果dr1+r2

13、，则两圆外离；如果d=r1+r2，则两圆外切；如果r1r2dr1+r2，则两圆相交；如果d=r1r2，则两圆内切；如果0dr1r2，则两圆内含；如果d=0，则两圆同心。注：关于相等的两圆的位置关系。这时r1=r2，如果dr1+r2，则两圆外离；如果d=r1+r2，则两圆外切；如果0dr1+r2则两圆相交；如果d=0，则两圆重合，内切和内含两种情况不会出现。5 说“角的大小与边的长短没有关系”错在哪里？因为角的边是射线，射线是向一方无限延伸的，是没有长短可说的。因此，说“角的大小与边的长短没有关系”是荒唐的。从逻辑学的角度来分析，在这里所犯的是“自相矛盾”的逻辑错误。一方面承认角的边是射线，射线

14、是向一方无限延伸的，是没有长短的；另一方面又说角的边有长短。自相矛盾。上述错误最初出现在20世纪八十年代流传很广的一种版本的小学数学教科书中，根据老师的批评意见，这个错误很快地得到了改正。但这种错误说法在一些老师的认知结构中以及一些教辅图书中继续广泛流传，一直到现在。至今，这一错误说法我们还会经常地在小学数学课堂教学中以及教辅图书中看到。在教学“角的初步认识”时，所谓“角”，还只是日常语言中的词汇，并且常常是作为具体事物的组成部分而存在着。三角板中的三个角，课本面上的四个角和时针、分针所成的角等。教学时，要引导小学生从日常语言中的“角”逐步过渡到数学概念的“角”，在相关事物的“角”的表象的基础

15、上形成“角”的数学概念。对此，可以先从实物中观察角，过渡到用圆纸片折角。纸片虽然也是实物，但其形态已比另一些实物简单得多。从中获得的角的表象将更为清晰。进一步，出现用两根木条做成的角的活动模型和表示角的图形，于是“角”被演化为“一个顶点和两条边”的结构。画角的两边时，可以告诉学生：“随便画多长都行”。暗示角的两边的无限延伸性。教学“角的大小”的意义，可以结合两块三角板中角的大小比较，并且用类比的方法进行。（和“线段大小”的意义类比）最后得出结论：要比较三角板中两个角的大小，只需把这两个角的顶点重合，角的一边也重合，看角的另一边，另一边在外面的角较大。（图2-1（1）（2）BDA（C）BDA（C

16、）O（1） 图2-1 （2） 6 “平行线”是指“平行的直线”还是指“平行的线段”？【平行线】【两条直线互相平行】在同一平面内不相交的两条直线叫做“平行线”，或者说“这两条直线互相平行”。可见，根据定义，“平行线”是指两条平行的直线。【两条线段互相平行】不过，在几何学的语言中，常常出现诸如“平行四边形的对边平行”之类的句子。这里所说的“平行四边形的对边”当然是指两条线段。那么“两条线段平行”又是什么意思呢？显然，把“两条线段平行”定义为“同一平面内不相交的两条线段”是错误的。因为即使同一平面内的两条线段不相交，它们所在的两条直线仍然有可能相交。（如梯形的两腰）因此，我们只能这样定义“两条线段平

17、行”：如果两条线段所在的两条直线互相平行，我们就说这两条线段互相平行。也就是说，我们可以用“两直线平行”的概念来给“两线段平行”下定义。教学时，应该首先让小学生明确“两直线平行”的意义，然后，再选择适当的时机，让小学生进一步认识“两条线段平行”的意义。不要一上来就把它们同时呈现在学生的面前。或者把两者混为一谈。【平行】【直线和平面平行】【平面和平面平行】“平行”一词最初是用来描述两条直线的一种特定的位置关系。然后，又用来刻划两条线段的位置关系。不仅如此，在立体几何中，“平行”还被用来刻划直线和平面以及两平面的位置关系。如果一条直线和一个平面没有公共点，就说这条直线和这个平面互相平行。如果两个平

18、面没有公共点，就说这两个平面互相平行。可见，对“平行”一词的意义如何理解，要看这个词用于什么场合，用于什么样的集合。在教学中，首先要毫不含糊的、确定无疑地用“平行线”来表述“两条平行的直线”。以便于学生建立起清晰的“平行线”的概念。7 “三角形的稳定性”、“平行四边形的不稳定性”是不是这些图形特有的属性？它们的确切含义是什么？【性质】【关系】【属性】在客观世界中，每一个事物都有许多性质（如形状、颜色等）。一个事物和其它事物之间都存在各种各样的关系（如大小关系、位置关系等）。性质和关系统称属性。事物和属性是分不开的。事物总是有属性的事物；属性也都是事物的属性。事物正是按其属性的异同归类的。【特有

19、属性】 一类事物都具有、而别的事物都不具有的属性叫做这类事物的“特有属性”。“稳定性”不但是三角形的属性，而且是三角的特有属性。因为三角形之外的其它多边形都不具有稳定性。平行四边形的不稳定性则不然。“不稳定性”仅仅是平行四边形的一种属性，而不是平行四边形的特有属性，因为其它四边形以及五边形、六边形、也都具有“不稳定性”。【三角形的稳定性】【四边形、五边形、的不稳定性】这里所说的“稳定性”和“不稳定性”，并不是日常语言中的词语，它们的确切含意必须作为数学学科中的专业名词来解释。如果三角形三边的长度给定了，那么这个三角形的形状和大小也就完全确定了。这就叫三角形的稳定性，三角形的这种特性在实践中有广

20、泛的应用。而四边形、五边形、，既使各边的长度完全给定，这个图形的形状和大小仍然可能在一定的范围内变化。研究和掌握这种变化规律，就可以设计出适合我们需要的、具有某种特定的运动规律的机构。如蒸汽机车中所用的平行四连杆机构、各种农业机械中所用的机构等。“稳定性”和“不稳定性”初看起来，似乎是对立的东西，但它们都可以用来为人类服务，用来满足人们在不同场合下的不同需要。8. 小学生认识“三角形两边之和大于第三边”时，要不要论证？根据这个真命题可以进一步推出哪些真命题？在小学数学课程中的“论证”，只能是局部的、有限度的、小学生能够理解的。所谓“论证”，就是揭示学生原有的认知结构中的已经学习过的某些真命题和

21、当前新学的真命题之间的必然的逻辑联系，从前者推出后者。ABBCA如学习“三角形两边之和大于第三边”时，可以先复习“在连接两点的线中，线段最短”。（图2-2 ）然后，将这个真命题用于图2-3，推出：图22 图23ABAC+BC， ACAB+BC， BCAB+AC把这些结果归结为一句话，那就是“三角形两边之和大于第三边”或者“三角形的任何一边小于另两边的和。”据此，还可以进一步推出“多边形的任何一边小于另几边的和。”培养学生的理性思维，离不开培养学生的逻辑推理能力。应该抓住时机，对学生进行论证推理的训练。不能满足于学生仅仅使用动手操作的实验方法以及归纳、类比的合情推理。9. 三角形的“高”究竟指的

22、是特定的“线段”，还是指该“线段的长度”？（姚春香）在小学数学教学中，我们常常会让学生画出某个三角形或平行四边形或梯形的高。这时的“高”指的是一条垂直线段。它是一种图形，而在计算面积时，我们又会用到高，这时“高”指的是一条线段的长度，是一种数量。那么，“高”究竟是图形还是长度？还是两种说法都可以。【高】【高线】【底】在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的“高线”，简称“高”。垂足所在的边叫做这个高对应的“底”。从平行四边形任意一条边上的任意一点作对边的垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。在梯形里，互相平行的一组

23、对边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）；从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。事实上，通常也把三角形、平行四边形或梯形的“高”理解为从底部到顶部（顶点或平行线）的垂直线段的长度。也就是说，“高”有两种不同的含义：表示一个图形（符合特定条件的一条线段）；或者指一个数量（该线段的长度）。根据上下文，一般都可以判定其中所说的“高”指的哪一种意义。比如说：“梯形的高有无数个”，这里的“高”指的是上、下、底的公垂线段；说：梯形的高是唯一的，平行四边形的高一般有两个。其中的“高”指的是梯形的两底之间或平行四边形的对边之间的公垂线段的长度。当我们说“三角形的三

24、条高交于一点”时，这里的“高”指的是三条线段所在的直线；而说“三角形的面积等于底高的积的一半”时，这里的“高”又是指三角形某边上的垂线段的长度。ABDC由于在小学数学教材中，仅仅是将“高”定义为图形中的垂直线段。因此教师可以在教学求积公式时，补充说明：公式里的“高”实际上是指垂线段的长度。让学生对“高”有一个更完整的认识。图24【几何量】 在中学数学中，我们也经常会遇到这样的情形：一个符号既可以用来表示某个图形，也可以用来表示某个数量。如在平行四边形 ABCD中，当我们说“ABDC”时，“AB、DC”表示的是两条线段或线段所在的直线；而说“AB=DC”时，“AB、DC”则表示这两条线段的长度。

25、虽然“AB”既可以表示一条线段，又可以表示这条线段的长度。但“线段”和“线段的长度”毕竟是两个不同的概念：前者是一个几何图形，后者则是这个图形的一种可以比较大小的属性，一种几何量。10. 能不能说“三角形和平行四边形都是特殊的梯形”？【折线】【封闭折线】【多边形】【多角形】ABCDEABCDEF一系列的点以及每相邻两点连成的线段组成的图形叫做“折线”。其中第一个点和最后一个点叫做折线的“端点”。每相邻的两点连成的线段叫做折线的“边”。如图28。图28 图29两个端点重合的折线叫做“封闭折线”。封闭折线又叫“多边形”，有时也可以称之为“多角形”。（图29）【三角形】【四边形】【五边形】多边形的边

26、数最少为三。按照边数，可以把多边形分为三角形、四边形、五边形、。也可以说“三边形”、“四角形”、“五角形”、。【平行四边形】【梯形】多边形三角形五边形六边形四边形平行四边形梯形两组对边都不平行的四边形按边数分 类按每一组对边是否平行分类其中，四边形可以按照它的每一组对边是否平行分为以下三类：两组对边分别平行的四边形叫做“平行四边形”；一组对边平行。另一组对边不平行的四边形叫做“梯形”；两组对边都不平行的四边形自然被称之为“两组对边都不平行的四边形”。上述多边形的分类可用表说明如下：按照这样的分类，三角形、平行四边形与梯形等概念的关系都是反对关系（或者说并列关系），而不是属种关系（一般和特殊的关

27、系）。主张“三角形和平行四边形都是特殊的梯形”的人提出的理由是：“三角形可以看作是上底缩小为一点的梯形”；“而平行四边形则可看作是上底延长到和下底相等时的梯形。”我们暂不分析日常的词语“可以看作是”究竟具有什么样的逻辑意义，也不否认梯形的上底的确是可以伸长或缩短的。当它缩小为一点时，这个梯形确实变成一个三角形；当它伸长达到和下底相等的长度时，这个梯形也的确变成了平行四边形。但这些事实只是说明了事物“由量变到质变”的辩证规律。事物A发生质变后，变成了另一事物B，这反映了它们之间存在由量变到质变的辩证关系。并不意味着B是A的特例，并不表示A、B之间存在形式逻辑的属种关系。另一些人提出的理由是：在梯

28、形的面积公式中，以上底=0代入，就可以用来计算三角形的面积；以上底=下底代入，梯形的面积公式就变成了平行四边形的面积公式。事实上，如果图形A是图形B的特例，那么我们就可以用B的面积公式来计算A的面积（如正方形和长方形）。如果可以用B的面积公式来计算A的面积，就断定A是B的特例，那是上述真命题的逆命题。而一个真命题的逆命题不一定是真的。譬如，我们可以用长方体的体积公式“V=底面积高”来计算棱柱和圆柱的体积，但不能由此而断定棱柱和圆柱都是“特殊的长方体”。事实上，长方体也是一种棱柱，棱柱和圆柱都是“柱体”的特例。“底面积高”本来就是柱体的体积公式。11. 为什么小学生往往不承认“正方形是特殊的长方

29、形”？怎样防止小学生产生这样的误解？为什么让小学生思考“长方形和正方形有什么相同点和不同点”是不妥当的？有些小学生弄不清长方形和正方形的属种关系，不承认正方形是特殊的长方形。和中学数学要求建立的几何图形的概念系统矛盾。究其原因，有以下几点：（1）在一年级直观认识长方形和正方形阶段，学生对“长方形”和“正方形”的感受从一开始就是：它们是从不同的事物抽象出来的不同的图形。对于这些图形仅仅是通过直观地感知来积累表象，并且通过整体地辨认作出判断。既不分析它们的特征，更谈不上去研究它们的逻辑关系。（2）对长方形和正方形的第二轮认识一般安排在二、三年级。现行教科书往往是引导学生用折一折、量一量、比一比等实

30、验的方法分别研究长方形和正方形的特征，并且分别概括成下表，使小学生初步获得长方形和正方形的概念：长方形正方形有四条边，对边相等； 有四条边，全都相等；有四个角，都是直角。 有四个角，都是直角。这时，教科书往往要求学生思考：“长方形和正方形有什么相同点和不同点？”导致学生误认为它们是并列的两个概念（反对关系），而不是要求学生先概括出长方形的特征，然后，对照被称之为“正方形”的那一类图形，研究：长方形的每一项特征，正方形是不是都具有？（都具有）既然长方形的每一项特征，正方形都具有，那么我们可以对这两种图形的关系作出什么结论？（正方形是特殊的长方形；正方形是长等于宽的长方形）。然后给出下面的分类表和

31、欧拉图。（图212）使学生明确长方形和正方形的属种关系。正方形长方形长方形长等于宽的长方形（即正方形）长、宽不等的长方形 按照长是否等于宽分类 图212（3）现行教科书在教学长方形和正方形的面积计算时。用同样的方法去推导两个面积公式。没有强调：因为正方形是特殊的长方形，所以长方形的面积公式对正方形的面积计算同样适用。因此，我们可以根据长方形的面积公式推导出正方形的面积公式。如果在教学中注意了以上几点，使小学生认识“正方形是特殊的长方形”不会太困难，从而做好中、小学数学教学的衔接。12. 说“长方体的6个面都是长方形”对吗？在这6个长方形中，可不可能只有一个正方形？可不可能只有2个正方形？可不可

32、能只有4个正方形？可不可能都是正方形？帮助学生探究和认识长方体的特点，主要还是让学生观察、测量，同时适当应用空间想象和逻辑推理，自已悟出长方体的面、棱、顶点的特点，特别是“长方体的6个面都是长方形”；“每两个相对的面完全相同”。并由此推出：“在长方体的6个面中，如果有正方形，那么必然有偶数个正方形。”进而推知：“长方体的6个面中，如果有2个面是正方形，那么其它4个面就一定是完全一样的长方形”，“如果有4个面是正方形，那么另2个面必然也是正方形。”因此，作为长方体的6个面的6个长方形中，只可能出现以下三种情况：（1）6个面都是长与宽不等的长方形。这时长方体的长、宽、高两两不等；（2）6个面中有且

33、只有两个相对的面是正方形。另4个面是完全相同的、长、宽不等的长方形。长方体的长=宽高。（3）6个面都是正方形。这个长方体的长=宽=高，实际上是一个正方体。13. 说“圆就是360的扇形”对吗？用量角器以圆心为顶点画一个60的角，我们就可以在这个圆中画出一个60的扇形。（图213）实质上也就是把这个圆面分成了两部分：一个是60的扇形，另一个是300的扇形。于是有人说：整个圆就是360的扇形。可是，我们能说：“半径为r的圆”就是半径为r的360扇形吗？词语“圆”和“360扇形”所表示的都是“图形”。两个圆形怎样才能说它们“相同呢”？因为任何图形都可以看作“点的集合”，所以，问题的实质在于：两个“点

34、的集合”在什么情况下才是相同的集合？比较一下图214和图215就不难作出结论。r60rO 图213 图214 图215 半径为r的圆 半径为r的360扇形因为它们不是相同的点集，所以也就不是相同的图形。14. “圆”和“球”有什么相同点、不同点和相互联系？【球面】【球体】【球】平面内到定点的距离等于定长的点的集合是“圆”。定点叫做这个圆的圆心，定长叫做这个圆的半径。在空间到定点的距离等于定长的点的集合叫做“球面”。定点称为球心，定长称为球的半径。球面所围成的空间部分叫做球体，简称球。【圆和球面的比较】圆和球面都是“到定点的距离等于定长的点的集合”。但前者是就一个平面内的点而言，后者则以整个三维

35、空间作为论域（全集）。关于圆和球面，可以类比的知识点很多，用表举例如下：圆球 面定义在一个平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆在空间到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做球面各部分名称这个定点叫做圆心定长叫做圆的半径圆所围的平面部分叫做圆面这个定点叫做球心定长叫做球的半径球面所围的空间部分叫做球体基本性质同一个圆的半径都相等；直径都相等，并且等于半径的两倍同一个球面的半径都相等；直径都相等，并且等于半径的两倍相互联系半圆绕直径所在的直线旋转一周，产生的旋转面就是球面。（如图216，半圆孤上的点是该半平面内到圆心O的距离等于半径r的所有的点。当半平面绕它的边线旋转一周时，就把空间到圆心O的

36、距离等于r的所有点包括在内）球面与平面相交于圆（设此球面的半径是R，球心O到该平面的垂线段是OO1，OO1=d，则球面与此平面的交线就是这个平面内与点O1的距离等于定长的点的集合）rOO1OdRO图216 图21715. 小学生直观认识图形后，在辨认形体时作出肯定或否定的判断，需不需要他们说明理由？一年级小学生最初认识的几何形体是长方体、正方体、圆柱和球。学习时通过对典型的实例的观察，整体感知，积累表象，作为判断一个物体的形状是不是长方体、的依据。由于这时不分析各种几何形体的特征，不讲各种形体的定义，所以学生在判断一个物体的形状时，主要依靠整体观察和储备的表象对照，直觉地作出判断。不论是作出肯

37、定判断，还是否定的判断，都不需要讲理由，也不可能讲出令人信服的理由。特别是让学生举例，学生举出的实例不当，教师需要加以调整时，就更加困难了。如举长方体的实例，如果学生举出了“文具盒”，那么教师可以这样调整：“应该说，有些文具盒的形状大致是长方体。”如果学生举起自己的铅笔，作为圆柱体的实例时，教师可以举出事先准备好的没有削过的、新的圆柱形铅笔，说：“这样的铅笔才是圆柱体”；然后举出削好的圆铅笔，指出：“削尖的圆铅笔的形状不是圆柱体”；再举出六棱柱形的新铅笔，说：“这样的新铅笔的形状也不是圆柱体。”教师在调整或修改学生的答案时，当然不能不讲理由。但学生暂时无法理解这些理由。这就不得不借助直观教学的

38、手段。教师在课前应准备好，可能用到的直观教具。16. “面积”概念在小学数学中的说明和在中学数学中的定义有什么不同？（郭静提）【面积】小学数学教科书对“面积”概念一般是这样说明的：物体的表面或平面封闭图形所围的平面部分的大小叫做它们的面积。关于面积概念有两点基本特征：（应该通过具体事例使学生逐渐领会这些特征）（1）可以完全叠合的两个平面封闭图形的面积相等。（简单地说就是“全等形等积”。）（2）把一个平面部分分成两块，那么这个平面部分的面积等于两块的面积的和。（“面积的可加性”）在中学数学中，“简单多边形的面积”定义如下：对应于一个简单多边形、且具有下列性质的正数叫做这个多边形的面积：（1）与合

39、同的（即全等的）多边形对应的是相等的正数。（2）两个多边形之和对应的正数等于这两个多边形对应的正数的和。可见，“面积”概念在小学数学中的说明和在中学数学中的定义基本上是一致的。在小学数学教学中往往强调通俗性和可接受性，但这种通俗性和可接受性应以不损害科学性为原则。所以在教学中，在面积概念的表述较为直观、笼统时，需要另行安排一些数学活动，以突出“全等形等积”和“面积的可加性”。如果连这种笼统的、直观的说明都从教科书中删去，而仅仅是对生活实际中的一些物体表面的大小进行经验性的讨论，那么小学生将很难形成“面积”这一数学概念。师生交流的语言也只能是反映生活经验的日常语言，难以提升为反映数学概念和规律的

40、数学语言，增加中小学数学衔接的矛盾。参考书：大百科全书，数学，P339注：对于“简单多边形”我们暂时作出这样的解释：所谓“简单多边形”就是边与边没有内部公共点的多边形。17. 用数方格的办法求一个图形的面积，它的理论根据是什么？小学数学教科书在引入面积单位后，就出现了许多将一个封闭图形分成许多单位小方块，通过数方块来求这个图形的面积的题目。例 图218的两个图形的面积各是多少平方厘米？在小组里交流一下你的算法（每小格表示1cm2）图218通过数方格，我们知道：这两个图形的面积分别是12cm2和10cm2。用这种数方格的办法来求图形面积的理论根据有两点：（1）因为每个小方格表示的正方形和表示1c

41、m2的单位正方形全等，所以它们的面积都相等，即每个方格表示的面积都是1cm2。（2）因为图218分别是由12个和10个这样的正方形拼成的，所以它们的面积分别等于12和10个正方形面积的和，即为12cm2和10cm2。【求面积的直接计量法的理论根据】通过将封闭图形所包围的平面部分分成若干个单位正方形，然后用数方格的办法来求面积的方法，属于求面积的直接计量法。如上所说，用直接计量法求面积的理论根据是关于面积概念的两个公理：“全等形等积”和“面积的可加性”。所以在教学“面积单位”前，教学“面积”概念时，就应该设计一些教学活动，帮助小学生理解和运用关于面积的上述两个公理。18. 用数方格的办法求面积时

42、，为什么不满一格的一律按半格计算？用数方格的办法求一个封闭图形的面积时，可能会在靠近边界的地方遇到一些不完整的方格。如图218。这时，可以首先考虑：是否可以把它们拼成完整的方格。因为图218中的不完整的方格都是小方格的一半。所以每两个这样的方格可以拼成1个完整的方格。或者每半格都可以作为或0.5计算。可是，在更多的情况下，边界处的不完整的方格无法拼成完整的方格。这时，我们该如何计算面积呢？当然，我们似乎可以参照截取近似数的“四舍五入”法，将那些达到或超过半格的不完整的方格算作1；而将那些不足半格的不完整的方格算作0。具体操作时，可以先将每格内的一小段边线通过等积变换转化为直线线段；再看小正方形

43、的中心位于何处，（如图219）从而判断不完整的方格是否达到或超过了半格。 (超过了半格) （没有达到半格）图219但如此操作较为繁琐。因此约定：在对结果的精确度要求不高的条件下，我们将每个不完整的方格一律按半格计算。19. 面积的“直接计量法”与“间接计量法”有什么不同？【面积的直接计量法】“直接计量法”就是将被量的量和计量单位直接比较（如用卷尺量两根相邻的电线杆之间的距离），得出被量的量是计量单位的多少倍，从而用量数和计量单位来表示被量的量的大小。“面积的直接计量法”就是把需要量的一块面积和面积单位直接比较，得出被量的面积是面积单位的多少倍。因为面积单位通常被定义为边长为长度单位的正方形的面

44、积，所以在进行面积的直接计量时，我们总是设法将需要量其面积的封闭图形尽可能分成若干个边长为长度单位的小方格，每格的面积是1个面积单位。数一数被量面积的图形包含了多少单位小方格，就可以知道该图形的面积是多少个面积单位。可见，通过数方格求面积，就是用直接计量法求面积。【面积的间接计量法】直接计量不是在任何情况下都能做到的。如计量地球与月球之间的距离，就无法用直接计量法进行。但我们可以用激光测距，这时计量的实际上是激光在地、月间传播一个来回的时间，它和激光传播速度的乘积，就是我们所要求的地、月之间的距离的两倍。这就是所谓“间接计量法”先计量与被量的量相关的其它的量。再按一定的公式计算，得出被量的量的大小。求面积的问题大多是用间接计量法来解决的。如求长方形（或三角形、或梯形、）的面积时，一般不是先把这个图形分成单位小方格，然后数小方格的个数。而是先用对应的长度单位去量某些线段，然后根据量得的这些线段的量数，按一定的公式计算，以得出该图形的面积。可见，用公式计算求面积，实