2022年新课标数学基本不等式经典例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载基本不等式学问点：2 21. 1 如 a, b R,就 a 2 b 2 2 ab 2 如 a, b R,就 ab a b（ 当 且 仅 当2a b 时取“=” ）2. 1 如 a , b R *,就 a b ab 2 如 a , b R *,就 a b 2 ab（当 且 仅 当2a b 时取“=” ）23 如 a , b R *,就 ab a b 当且仅当 a b 时取“=” ）23. 如 x 0,就 x 12 当且仅当 x 1 时取“=” ）x如 x 0,就 x 12 当且仅当 x 1 时取“=” ）x如 x 0,就 x 1

2、2 即 x 12 或 x 1-2 当且仅当 a b 时取“=” ）x x x4. 如 ab 0, 就 a b2 当 且 仅 当 a b 时 取 “= ” ） 如 ab 0, 就b aa b2 即 a b2 或 a b- 2 当且仅当 a b 时取“=” ）b a b a b a2 25. 如 a, b R,就 a b 2 a b（当且仅当 a b 时取“=” ）2 2留意：1 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“ 积定和最小, 和定积最大”2 求最值的条件“ 一正,二定,三取等”3 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴

3、、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求以下函数的值域名师归纳总结 （1） y3x 21 2 x 2（ 2）yx1 x6 值域为6 ,+ ）第 1 页,共 6 页解： 1y 3x 21 2x 2 23x 212x 22 当 x0 时, yx1 x21 xx2 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x0 时, yx1学习必备x1欢迎下载1 xx= 2 = （）2xx值域为（, 2 2 ,+ ）解题技巧技巧一：凑项例已知x5,求函数y4x2415的最大值；415不是常数,所以对4x24x解：因 4x50,所以第一要“ 调整” 符号,

4、又4x2x要进行拆、凑项,x5 , 45544x0,y4x241554x51xx32y31；x4当且仅当x51,即x1时,上式等号成立,故当1时,max14 x技巧二：凑系数例： 当 时,求 y x 8 2 x 的最大值；解析：由 知,利用均值不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值；留意到 2 x 8 2 8 为定值,故只需将y x 8 2 x 凑上一个系数即可；当,即 x2 时取等号 当 x2 时,y x 8 2 x 的最大值为 8；变式：设0x3,求函数y04x 342x 的最大值；32x22 x32x292解：0x332xyx 32x22x 222当

5、且仅当2x32x,即x30 ,3时等号成立；42技巧三：分别技巧四：换元名师归纳总结 例：求yx27x10 x1的值域；第 2 页,共 6 页x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解析一：此题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（分别；x1）的项,再将其当,即时 ,y2（x1x4159（当且仅当x1 时取“ ” 号）；解析二：此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令yt2 17t1 +10=t25 t4t45tttt=x 1,化简原式在分别求最值；当,即 t=时,y2t459（当 t=2 即 x1 时取“ ” 号）；a的单t

6、技巧五：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,结合函数f x xx调性；例：求函数yx25的值域；x24解：令2 x4t t2,就yx25x24x14t1t2x242ty5 2；因t0,t11,但t1解得t1不在区间2,故等号不成立,考虑单调性；tt由于yt1在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数, 故t所以,所求函数的值域为5 , 2；技巧六：整体代换名师归纳总结 多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错；第 3 页,共 6 页例：已知x0,y0,且1 x91,求 xy 的最小值；y错 解 ：x0,y0, 且1 x91,xy19xy292xy

7、12故yxyxyxymin12；错 因 ： 解 法 中 两 次 连 用均 值 不 等 式 , 在xy2xy 等 号 成 立 条 件 是 xy ,在1929等号成立条件是19即y9x ,取等号的条件的不一样,产生错误；因此,xyxyxy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在利用均值不等式处理问题时,学习必备欢迎下载而且是检验转换是否列出等号成立条件是解题的必要步骤,有误的一种方法；正解：x0,y0,191,xyx9y119xy9x10610y1616；xyxyxy当且仅当y9 x时,上式等号成立, 又1 x,可得4,y12时,xminxyy技巧七例：已知

8、x,y 为正实数,且 2 x 2 y 21,求 x1y2 的最大值 . 1 y 2 222 分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式a 2b 2 ab2；同时仍应化简1y2中 y2前面的系数为1 2,x1 y2xx1y 222下面将 x,1y 2分别看成两个因式：22x1y 2x 21y 22x 2y 213即 x22221y22 x222241y 232 224技巧八：1已知 a, b为正实数, 2b aba 30,求函数 yab的最小值 . 分析： 这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说, 这种途径是可行的

9、；二是直接用基本不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 法一： a30 2b,学习必备欢迎下载ab30 2b b1b2 b230 b b1b1由 a0 得, 0b15 令 tb+1 ,1t 16 ,ab2t234 t 31 2（t16）34 t 16216 t tttt8 1 ab18 y当且仅当 t4 ,即 b3,a6 时,等号成立；18法二：由已知得：30 aba2b a2 b2 2 ab

10、 30 ab 2 2 ab令 uab 就 u22 2 u30 0, 5 2 u 3 2 1ab3 2 ,ab18 ,y18点评：此题考查不等式 a bab（a, b R）的应用、不等式的解法及运算才能；2如 何 由 已 知 不 等 式 ab a 2 b 30（a, b R）出 发 求 得 ab 的 范 围 , 关 键 是 寻 找 到a b 与 ab 之间的关系,由此想到不等式 a b ab（a, b R）,这样将已知条件转换2为含 ab的不等式,进而解得 ab的范畴 . 技巧九、取平方例: 求函数 y 2 x 1 5 2 1x 5 的最大值；2 2解析：留意到 2 x 1 与 5 2x 的和为

11、定值；2 2y 2 x 1 5 2 4 2 2 x 15 2 4 2 x 1 5 2 8又 y 0,所以 0 y 2 2当且仅当 2 x 1 = 5 2x ,即 x 3时取等号；故 y max 2 2；2应用二：利用均值不等式证明不等式名师归纳总结 例：已知 a、b 、cR ,且abc1；求证：11111182” 连乘,第 5 页,共 6 页abc分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“又1 a11aabac2bc,可由此变形入手；a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：a、 b、cR ,abc1学习必备1欢迎下载bac

12、2bc；同理1 b12ac,；1 a1aaab11112ab；上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得abc1时取等号；cc11112bc2ac2ab8；当且仅当3abcabc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知x0,y30且1 x91,求使不等式xxyym 恒成立的实数m 的取值范畴；1y解：令xyk x0,y0,191,kx9x9y1.10y9xxykykkxky110 k2；k16,m,16k应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：如名师归纳总结 ab,1Plgalgb,Q1lgalgb ,Rlga2b, 就P,Q,R的 大 小 关 系第 6 页,共 6 页2是 . b1lga0 ,lgb0RQP ；分析：aQ1（lgalgblgalgbp2b1lgabRlga2lgabQ2- - - - - - -