2022年空间向量及其运算知识总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载空间向量及其运算 1空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：空间的一个平移就是一个向量 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2空间向量的运算 定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OBOAABab;BAOAOBab;OPa R aAADBBC运算律：加法交换律：abbabc加法结合律：abca数乘安排律：abab3平行六面体：D的轨迹所形成的几何体,DC平行四边形ABCD平移向量 a到ABC叫做平行六面

2、体,并记作：ABCDABCD它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱4. 平面对量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线 上,所以平行向量也叫做共线向量向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ,使 b a . 要留意其中对向量 a的非零要求5 共线向量 假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量叫做共线向量或平行向量 a 平行于 b 记作 a / b当我们说向量 a 、 b 共线（或 a / b ）时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同始终线,也可能是平行直线6 共线向量定理：

3、 空间任意两个向量a 、b（ b 0 ）,a / b 的充要条件是存在实数,使 a b . 推论：假如 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,那么对于任意一点O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t 满意等式OPOAta 其中向量 a叫做直线 l 的方向向量 . 空间直线的向量参数表示式：名师归纳总结 OPOAta 或OPOAt OBOA 1t OAtOB,MbBpPyMB第 1 页,共 4 页中点公式OP1 OAOB27向量与平面平行：已知平面 和向量 a ,作 OA a ,假如直线 OA平行于 或在 内,那么我们说向量 a 平行于平面,记作：a /通常我们把平行于同一

4、平面的向量,aAA叫做共面对量说明：空间任意的两向量都是共面的OxMA8共面对量定理：假如两个向量a b 不共线,p 与向量a b 共面的充要条件是存在实数x y使 pxayb,x y,使 MP推论： 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对或对空间任一点O,有OPOMxMAyMB 或OPxOAyOBzOM,xyz1上面式叫做平面MAB 的向量表达式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9 空间向量基本定理：假如三个向量学习必备欢迎下载p ,存在一个唯独的有序a b c 不共面,那么对空间任一向量实数组x y z,使 pxaybzc

5、 , , a b c 叫做空间的一个基底,a b c 叫做基向量,空间任意三如三向量a b c不共面,我们把个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设 O A B C 是不共面的四点,就对空间任一点 P,都存在唯独的三个有序实数 x y z,使OP xOA yOB zOC10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a b ,在空间任取一点 O ,作 OA a OB b ,就AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a b；且规定 0 a b,明显有 a b b a；如 a b,就称 a 与 b 相互垂直,记作：a b . 211向量的模：设 OA a ,就有向线段 OA 的长度叫做向量

6、 a的长度或模,记作：| a . 12向量的数量积：已知向量 a b ,就 | a | | b | cos a b 叫做 a b 的数量积,记作 a b ,即a b | a | | | cos a b已知向量 AB a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A ,作点 B 在 l上 的 射 影 B , 就 A B 叫 做 向 量 AB 在 轴 l 上 或 在 e 上 的 正 射 影 . 可 以 证 明 A B 的 长 度| A B | | AB | cos a e | a e 13空间向量数量积的性质：（1）a e|a| cosa e（2）aba b0

7、（3）|a|2a a 14空间向量数量积运算律：（1） abca bab （2） a bb a （交换律）（3）aba ba c （安排律）z空间向量的直角坐标及其运算名师归纳总结 1 空间直角坐标系：（1）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位正交xAkzjz ACBxAx,y,zy第 2 页,共 4 页基底,用 , , 表示；iOC（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底 , , ,以点 O 为原点,分别以i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、 z 轴,它D们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz,点 O叫原点,向量i j k 都叫坐

8、标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx平面；DCy2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中,对空间任一点A,存在唯独的有序实数xABD组 , x y z ,使 OAxiyjzk,有序实数组 , , x y z 叫作向量 A在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,记作A x y z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标,z 叫竖坐标B常见坐标系正方体：如下列图,正方体ABCDA B C D的棱长为 a ,一般选Oy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 择点 D 为原点, DA 、 DC 、学习必备欢迎

9、下载Dxyz ,DD 所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系就各点坐标为亦可选 A点为原点 . 在长方体中建立空间直角坐标系与之类似 . 正四周体： 如下列图, 正四周体 A BCD的棱长为 a ,一般挑选A在 BCD上的射影为原点,OC 、 OD （或 OB ）、 OA所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz ,就各点坐标为正四棱锥：如下列图,正四棱锥 P ABCD 的棱长为 a ,一般挑选点 P 在平面 ABCD 的射影为原点, OA（或 OC ）、OB（或 OD ）、OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O

10、xyz ,就各点坐标为 z正三棱柱： 如下列图, 正三棱柱 ABC A B C 的底面边长为 a ,P高为 h ,一般挑选 AC 中点为原点, OC（或 OA）、OB 、OE （ E 为 O在 A C上的射影）所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标 D系 O xyz ,就各点坐标为 C3空间向量的直角坐标运算律：x A O（1）如 a a a 2 , a 3 ,b b b b 3 ,就 B yz Aa b a 1 b a 2 b a 3 b 3 ,Ea b a 1 b a 2 b a 3 b 3 ,a a 1 , a 2 , a 3 R ,C BAa b a b 1 1 a

11、 b 2 a b ,a / b a 1 b a 2 b a 3 b 3 R ,Oa b a b 1 1 a b 2 a b 3 0（2）如 A x y z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,就 AB x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1 x C B y一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式 ：如aa a 2,a 3,bb b b 3,y 2y 12z 2z 12就|a|a a2 a 1a 22a 32,|b|b b2 b 1b 222 b 35夹角公式 ：cosa ba ba b 1 1a b 2a b 3 3|

12、a| |b|2 a 1a 22a 322 b 1b 22b 326两点间的距离公式：如A x y z 1,B x2,y 2,z2,2就|AB|2 ABx 2x 12y 2y 12z 2z 12,或d A Bx 2x 1空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中,由A x y z 1与B x 2,y 2,z 2确定直线 AB 的方向向量是ABx 2x y 1 2y z 1 2z 1. 平面法向量假如 a,那么向量 a 叫做平面的法向量 . 法向量的求解 :_. 二、证明平行问题名师归纳总结 1 线线平行 ：证明两直线平行可用a b

13、a 1b a 2b a 3b 3R 或a/ba 1a 2a 3.第 3 页,共 4 页b 1b 2b 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.线面平行 ：直线 l 的方向向量为学习必备欢迎下载,如 an 即a n0就a/. a ,平面的法向量为 n ,且 l3.面面平行 ：平面的法向量为n ,平面的法向量为n ,如n 1/n 即n 1n 就/. 三、证明垂直问题1 线线垂直 ：证明两直线垂直可用aba ba b 1 1a b 2 2a b 3 30/n 即 a0n 就 a. . 2线面垂直 ：直线 l 的方向向量为a ,平面的法向量为 n ,且 l,如

14、a1n ,平面n 即n 1n 2就3. 面面垂直 ：平面的法向量为的法向量为n ,如n 1四、求夹角1线线夹角 ：设aa a a 3b , , 0 ,90 为一面直线所成角,就：a b| | | | cosa b；cosa b|a b|2 a 1a b 1 1a b 22 b 1a b 3 32 b 3； cos| cosa b|. a| |ba2 2a2 32 b 2的垂. 2线面夹角 ：如图,已知 PA 为平面 的一条斜线, n 为平面线 PO,连结 OA就 PAO为斜线PA和平面 所成的角,记为的一个法向量,过P 作平面易得sin|sin2OP AP | cosOP AP|的法向量,nO

15、PA| cosn AP| cosn PA|n PA|. |n|PA|3 面面夹角 ：设n 、12n 分别是二面角两个半平面、当法向量n 、1n 同时指向二面角内或二面角外时,二面角 2的大小为n n 1 2；当法向量n 、n 一个指向二面角内,另一外指向二面角外时,二面角的大小为n n 2五、距离2 2 21 点点距离 ：设 A x 1 , y z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,d A B x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 2 2 2| AB | AB AB x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 2点面距离 ： A为平面 任一点, 已知 PA 为平面 的一

16、条斜线, n 为平面 的一个法向量,过 P作平面 的垂线 PO,连结 OA就 PAO 为斜线 PA和平面 所成的角,记为 易得| PO | | PA | sin | PA | | cos PA n | | PA | | PA n | | PA n |. | PA | | n | | n |3线线距离： 求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接运算 .设两条异面直线 a 、 b 的公垂线的方向向量为 n , 这时分别在 a 、b 上任取 A、 B 两点, 就向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a 、 b 的距离 .即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的肯定值与公垂线的方向向量模的比值 .直线 a 、 b 的距离 d | AB n| | AB n |. | | | |4线面距离 ：一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.面面距离 ：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平名师归纳总结 面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 第 4 页,共 4 页- - - - - - -