2022年数学高考专题复习多参数问题的解法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载多参数问题的解法常用方法有：一、分别变量法；如在等式或不等式中显现两个变量,其中一个变量的范畴已知,另一个变量的范畴为所求,且简单通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,就可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解；例 1已知当 x R 时,不等式 a+cos2x5 4sinx+ 5a 4 恒成立,求实数 a的取值范畴；分析 ：在不等式中含有两个变量 a 及 x,其中 x 的范畴已知（ x R）,另一变量 a 的范畴即为所求,故可考虑将 a及 x 分别；解：原不等式即：4sinx+cos2x3 即 5a 4 a+2

2、a 2 0上式等价于 5 a 4 0 或 a 2 0,解得 4a8. 5 a 4 0 55 a 4 a 2 2说明 ：留意到题目中显现了 sinx 及 cos2x,而 cos2x=1 2sin 2x,故如把 sinx 换元成 t,就可把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型；另解（先确定主元） ：a+cos2x5 4sinx+ 5a 4 即a+1 2sin 2x0, t 1,1 恒成立；设 ft= 2t 24t+4 a+ 5a 4 就二次函数的对称轴为 t=1, fx 在 1, 1内单调递减；只需 f10, 即 5a 4 a 2.下同 例 2已知函数 fx 在定义域（,1上是减函数, 问是否存

3、在实数 k,使不等式 fk sinx fk 2sin 2x对一切实数 x 恒成立？并说明理由；分析 ：由单调性与定义域,原不等式等价于 k sinx k2 sin 2x 1 对于任意 xR 恒成立,这又等价于2 2k 1 sin x 1k 2k 1 sin x 1 2 2 对于任意 x R 恒成立；4 2不等式（ 1）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k 21+sin 2xmin=1,即1k1-3 不等式（ 2）对任意 xR 恒成立的充要条件是k2k+1 sinx 412max=9, 24即 k1 或 k 2,-4 1 适合题设条件；由（ 3）、（ 4）求交集,得k=1,故存在 k=说明 ：抽

4、象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号；二、挑选恰当的参数作为主元（其余视为常量）名师归纳总结 例 3、已知 fx 是定义在 -1,1上的奇函数 ,且 f1=1 ,如 a,b -1,1,a+b 0 有fa f b 0. 第 1 页,共 10 页ab（1）判定函数fx 在 -1,1上是增函数,仍是减函数,并证明你的结论；（2）解不等式fx+1fx1; 12（3）如 fxm2 -2am+1 ,对全部 x -1,1,a -1,1恒成立,求实数m 的取值范畴 . 解答：（1）任取 x1, x -1,1,且 x1x2,就 -x2 -1,1,又 fx是奇函数,于是有：- - - - - - -

5、精选学习资料 - - - - - - - - - f x 1 -f x 2 =f x 1+f - x 2 =fx 1fx 2优秀学习资料欢迎下载fx20,x1 -x 2 0, x 1-x 2 ,由已知fx 1x 1x 2x 1x 2所以 f x 1-f x 2 0,即 f x1f x 2 .所以函数 fx 在 -1,1上是增函数 . 2由于函数 fx 在 -1,1上是增函数,所以不等式 fx+ 1 f 1 等价于不等式组：2 x 11 x 1 ,121 1 ,1 由得 -3x 1 ; 由得 x 0,或 x2;由得 x-1,或 1x3.x 1 2 2 2x 11 ,2 x 1所以原不等式的解集为

6、 x|-3 x-1. 23由于函数 fx 在 -1,1上都是增函数,且 f1 1,故对全部的 x -1,1,有 fx 1. 2 2 2由已知,对全部的 x-1,1,a-1,1,fx m 2 am 1 恒成立,有 m 2 am 11 成立,即 m 2 am0.记 ga=-2am+m 2 , 对全部的 a -1,1, ga 0 成立,只需 ga在 -1,1上的最小值大于等于 0.g 1 ,0即 解得： m -2,或 m=0,或 m2. g 1 0 ,故 m 的取值范畴为 m-2,或 m=0,或 m2. 注：第（ 1）中的 a,b 可分别视为 x x ,第（ 3）涉及到 3 个变量 x,m,a,对于

7、右边的两个参数 m,a 要善于挑选恰当的参数作为主元,运用一次函数的单调性；例 4、已知关于 的方程4 x3 axbx2ax10a bR有实数根,就a2b 2 的最小值为；分析：化为 x3x a2 x bx410 视a b 为主元, 视为常数,看作关于a b 的直线方程2a22 bx34 xx14 xx64 x12 x2t2tt23423 x4x2132tt2313112t242 x2 x51x2tt法二：tt23t32t6t39t3t936352 类题：、方程 x +ax+b=0有不小于2 的实根,就a22 b的最小值是1116；分析：2 ab2x212x41x212x22 xx22 x21

8、52、名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2 1 a已知f x =x +ax+ 2 + +b, x R且x 0 ,如实数 a,b 使得 f x =0有实根,x x2 2就a +b 的最小值为A 4,B 3,C 1,D 25 4分析：挑选 A ；2f x x 1 a x 1 b 2 t 2at b 2, t x 1 , 2 2,x x xa +b 的最小值 = 2 2 t 2t 2 21 2的最小值 uu 3 2u t 21 5, 的最小值=u+ 9 6 的最小值 = 4u 5三、依据函数的单调性

9、、值域特点或不等式的解集特点对多参数分步争论例 5、已知函数 f x a 1 x 0 ,（1）如 f 2 x 在 1,）上恒成立,求实数 a 的取值范畴；x（2）如函数 y f x 在 m,n上的值域是 m,n m n ,求实数 a 的取值范畴；解答：（1）a 12 x 在（ 1,）上恒成立,即 a 2 x 1恒成立,设 h x 2 x 1x x x就 a h x 在（ 1,）上恒成立 h x 2 12 0xh x 在 1,）上单调递增 h min h 1 故 a h 1 即 a 3a 的取值范畴为（,3）,（2）由题意知 n m 0 时,由（ 1）知 f 在（ 0,）上单调递增m f m ,

10、n f n ,f x x 有两个不相等的正根即 x 2ax 1 0 有两个不相等的正根 m, n a 0a 20例 6、已知不等式 x 23x+t0 的解集为 x|1xm, m R1 求 t, m 的值；2如 fx= x 2+ax+ 4 在,1上递增,求不等式 log a mx 2+3x+2t0 的解集；解答： 1 由条件得：1 m 3,所以 m 22 由于 fx= xa 2+4+ a 2在,1上递增,1 m t t 2 2 4所以 a 1,a2 log a mx 2+3x+2t= log a 2x 2+3x0=log a 1 23所以 22 xx 22 33 xx 1 00,所以 0x 1

11、x或 x 21 所以 0x 1 或 1x2 322例 7、已知 an 是首项为 2,公比为1 的等比数列, Sn 为它的前 n 项和 2名师归纳总结 （1）用 Sn表示 Sn+1;（2）是否存在自然数c 和 k,使得S kk1c2成立第 3 页,共 10 页Sc技巧与方法此题属于探干脆题型,是高考试题的热点题型在探讨第 2 问的解法时, 实行优化结论的策略,并敏捷运用分类争论的思想即对双参数k,c 轮番分类争论,从而获得答案- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解（ 1）由 Sn=411 ）,得 2 n优秀学习资料欢迎下载*）由于 Sk+1 Sk,kN*

12、S n1412111Sn2, nN* n2（2）要使S k1c2,只要c3 2Sk2 0由于S k4114S kcS k2kc所以S k3S k2 21S k0,kN*故只要3Sk 2cSk,（kN222所以3Sk 23S1 2=1c 只能取 2 或 322又 Sk4,故要使成立,当 c=2 时,由于 S1=2,所以当 k=1 时, cSk不成立,从而不成立当 k2 时,由于 3 S 2 2 5 c,由 Sk Sk+1kN *得2 23 3 3Sk 2Sk+1 2 故当 k2 时,Sk 2 c,从而不成立2 2 2当 c=3 时,由于 S1=2, S2=3,所以当 k=1, k=2 时, c

13、Sk由于 3 S 3 2 13 c,又 3Sk 23Sk+1 2 2 4 2 2所以当 k3 时,3Sk 2c,从而成立2综上所述,不存在自然数 c,k,使 S k 1 c 2 成立S k c四、依据相关参数的联系引入新参数以削减参数的个数2 2例 8设直线 l 过点 P（ 0,3）,和椭圆x y1 顺次交于 A、B 两点,试求 AP的取值范畴 . 9 4 PBAP x A分析 ：此题中,绝大多数同学不难得到：=,但从今后却一筹莫展 , 问题的根源在于对题目PB x B的整体把握不够 . 事实上,所谓求取值范畴,不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程）,这

14、只需利用对应的思想实施；其二就是构造关于所求量的一个不等关系 . 思路 1: 从第一条想法入手,AP= x A已经是一个关系式,但由于有两个变量 x , Ax B,同时这两个PB x B变量的范畴不好掌握,所以自然想到利用第 3 个变量直线 AB的斜率 k. 问题就转化为如何将 x , Ax B 转化为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出 . 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y得到关于 x 的一元二次方程求根公式xA= f（k）,xB = g（k）名师归纳总结 AP/PB = （ xA / x

15、B）第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 1：当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得优秀学习资料；欢迎下载AP1PB5当 l 与 x 轴不垂直时, 设 A x 1 , y 1 , B x 2,y 2 ,直线 l 的方程为：y kx 3,代入椭圆方程, 消去 y2 2得 9 k 4 x 54 kx 45 0,2解之得 x 1 , 2 27 k 62 9 k 5 .9 k 4由于椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k 0 的情形 . 2 2当 k 0 时,x 1 27 k 62 9 k 5,x 2 27 k 62

16、 9 k 5,9 k 4 9 k 42所以 APPB x x 12 =9 9k k2 29 9k k25 5= 19 k 2 189 kk 25 = 19 2 189 5 2 . k由 54 k 2 180 9 k 2 4 0 , 解得 k 2 5,9所以 1 1 18 1,9 2 9 5 2 5k综上 1 AP 1 . PB 5思路 2: 假如想构造关于所求量的不等式,就应当考虑到：判别式往往是产生不等的根源 . 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值范畴,于是问题转化为如何将所求量与 k 联系起来 . 一般来说,韦达定AP x 1理总是充当这种问题的桥梁,但此题无法直接应用韦达定理,缘

17、由在于 不是关于 x 1, x 2 的对称PB x 2关系式 . 缘由找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于 x 1, x 2 的对称关系式 . 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程, 消去 y得到关于 x 的一元二次方程韦达定理xA+ xB = f（ k）, xA xB = g（ k）名师归纳总结 AP/PB = （ xA / xB）第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 2：设直线 l 的方程为：ykx优秀学习资料欢迎下载y 得3,代入椭圆方程,消去2 29 k 4 x 54 kx 45 0（*

18、）54 k就 x 1 x 29 k 24 ,令 x 1,就,12 3242 k 2.x 1 x 2 452 . x 2 45 k 209 k 4在（ *）中,由判别式 0 可得 k 2 5,92从而有 4 3242 k 36,所以 4 1 2 36,45 k 20 5 5解得 1 5 . 结合 0 1 得 11 . 5 5AP 1综上,1 . PB 5例 9、（20XX 年湖南高考题）已知函数 fxlnx,gx1ax 2bx,a 0. 2（）如 b2,且 hxfxgx存在单调递减区间,求 a 的取值范畴；（）设函数 fx的图象 C1与函数 gx图象 C2交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作

19、x 轴的垂线分别交C1,C2于点 M 、N,证明 C1在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行 . 2解：（I）b 2 时 , h x ln x 1 ax 2 2 x,就 h x 1ax 2 ax 2 x 1.2 x x由于函数 hx存在单调递减区间,所以 h x 0 时,就 ax 2+2x 10 有 x0 的解 . 当 a0 时, y=ax 2+2x1 为开口向上的抛物线,ax 2+2x10 总有 x0 的解；当 a0 总有 x0 的解；就 =4+4 a0,且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根 .此时, 1a0. 名师归纳总结 （ II）综上所述, a 的取值范畴为（1,0）

20、（ 0,+） . 第 6 页,共 10 页设点 P、Q 的坐标分别是（x1, y1）,（x2, y2）,0x1x2. 就点 M 、 N 的横坐标为xx 12x2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：优秀学习资料欢迎下载C1在点 M 处的切线斜率为k11|xx 12x 2x 12x2,xC2在点 N 处的切线斜率为k2axb| xx 12x 2a x 12x 2b .假设 C1在点 M 处的切线与C2 在点 N 处的切线平行,就k 1=k 2. 即x12x 2ax 12x2b,就2x2x 1ax22 x 1bx2x 1ax2bx2a2 x 1bx 12

21、2x 1x2222=y2y 1lnx 2lnx 1.所以lnx 22 x2x21 .设tx2,就lnt2t1 ,t1.x 1x 11x 11tx 1令rtlnt2 t1 ,t1 .就r t1 t42t1 2.t1tt1 21t由于t1时,rt0,所以rt在,1）上单调递增 . 故r tr1 0 .就lnt2t1 . 这与冲突,假设不成立. 1t故 C1在点 M 处的切线与C2 在点 N 处的切线不平行. 此题中依据 0x 1x2,对两个参数x 1,x 2引入一个新参数t,达到了消元的目的；练习：1、如对于任意实数m,关于 的方程2 log ax2x1m0 恒有解；就实数a 的取值范畴是分析：名

22、师归纳总结 log 2 ax2x1m0恒有解；2 ax2x1 能取遍一切正实数第 7 页,共 10 页a0,或a04a0a142、设函数f x cos2x4 sinxcosx4 t3t23 t4, xR ,22其中t ,将f x 的最小值记为g t （ I）求g t 的表达式；（II ）争论g t 在区间 11, 内的单调性并求极值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载g t ,即解：（ I）f cos2x4 sinxcosx4t3t23 t422sin2x12 sinx4 t2t23 t4达到其最小值sin2x2 sinxt24 t3

23、3 t3sinxt24 t33 t3由于sinxt20,t 1,故当 sin xt 时,f x 1g t 4 t33 t3（II ）我们有g t 12t2332t12t1,t列表如下：t1,2极大值11,2 211 1,2g12,22g t 0011g t g微小值g22由此可见,g t 在区间1,1 2和1 1, 单调增加,在区间21 1,2 2单调减小,微小值为2极大值为g243、名师归纳总结 设函数 fx=1ax +bx +cx 3 2abc,其图象在点A 1,f1,Bm fm处的切线的第 8 页,共 10 页3斜率分别为0,-a.1求证： 0b1, （ ）如函数的递增区间为s t,a求

24、st的取值范畴,（ ）如当 xk时（ k是与 a,b,c 无关的常数）,恒有f/x+a0,试求 k的最小值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载分析：1 f /x ax 22 bx c f /1 a 2 b c 0, c a 2 , b f /m am 22 bm c aam 22 bm c a 0 4 b 24 a a c 4 b 28 ab 0 b0, 或 b2a aa b c1 b 1 0 b 1；2 f / x ax 2 2 bx c 有两个不等的实根,3 a a设两根为 x ,x ,且x =1,x =-1 2 1 2 2

25、b-1= c 0 x ,当x 1 x 或x 2 x 时,1 f /x 0 ,a a当x 2 x x 时,1 f / x 0, f x 增区间 s t x 2 , x 1 s t x -x 1 2 2 2 b 2,4a3 f / x +a= ax 2 2 bx a c 0, x 2 2 b x 2 b 0 2 x 2 b x 2 0a a a构造新函数 g b = 2 x 2 b x 是关于 b 的一次或常数函数,对于 0 b 1恒成立；a a a ag 1 0 x 2 2 x 2 0g 0 0 即x 2 0 x-3-1 或x 3-1 k mi n 3-1mx 24、设函数 f x 的图象关于直

26、线 y=x 对称 .（1）求 m 的值；x 1（2）如直线 y=aaR与 fx的图象无公共点,且 f | t 2 | 3 2 a f 4 a ,求实数 t 的取值范畴 . 2解答：（1）由 y mx 2 得 x y 2f 1 x x 2由已知得,x 1 y m x mf x f 1 x m 1 . 从而 f x x 2 .（2）由（ 1）知,x 13f x 1 ,1 即 f x 值域为 1, ,1 由已知得 :a=1 于是x 1f | t 2 | 3 2 a f 4 f | t 2 | 3 2 f 4 4.2 2| t 2 | 32 24 即 | t 2| 7 4| t 2 | 2 即 | t

27、 2 | 1 t 3 或 t 5 .| t 2 | 3 1 2 2 2 22x5、（20XX 年高考辽宁卷（22）已知函数 f x ln e a a 0 . （）求函数 y f x 的反函数 y f 1 x 及 f x 的导数 f x ;（）假设对任意 x ln 3 a , ln 4 a , 不等式 | m f 1 x | ln f x 0 成立,求实数 m 的取值范畴 . （I）解：由 y=fx=ln e xa得 x=ln e y a,所以y=f 1x=ln e x a（xlna）名师归纳总结 fx lnexaee xa第 9 页,共 10 页x- - - - - - -精选学习资料 - -

28、 - - - - - - - II 解法一：由mf1x lnfx优秀学习资料欢迎下载0 得lnexalnexxalnexamlnx eaex e即对于 xln3 a,ln4a恒有exexaae m ex2at2t2 a,于是不等式化为exx e设 t= e x,ut=tta, t=taute m t t3a,4a 当 t1t 2,t1、t23 a, 4a时,名师归纳总结 ut2 ut1=t2 t2at1t 1at2t1t 1 t2aat1t2a20 x,均在第 10 页,共 10 页t2at 1at1t2av t2v t1t2t2a2t2t 1a2t1t2t2t 1t2a2 t2t10.21t

29、3所以ut,vt都是增函数 . 因此当t3a ,4 a时,ut的最大值为u4a12a,vt的最小值为5v 3 a8a,而不等式成立当且仅当u4a emv3a ,即312aem8a,于是得ln12amln8a .5353解法二：由|mf1x |lnfx0得lnexalnexaxmlnexalnexax.设xlnexalnexax,x lnexalnexa 于是原不等式对于xln3 a,ln4a恒成立等价于x mx .由xeexaeexa1 ,x ee xxaeexa1,留意到xxxx0exaexexa,故有x 0,x0,从而可x 与ln3a,ln4a上单调递增,因此不等式成立当且仅当ln4amln3 a.即ln12amln8a.53- - - - - - -