2022年数学二轮基本内容十大攻略第讲函数与不等式问题的解题技巧.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三讲 函数与不等式问题的解题技巧【命题趋向】全国高考数学科考试大纲为走向高考的莘莘学子指明白复习备考的方向考纲是 考试法典,是命题的依据,是备考的总纲科学备考的首要任务,就是要仔细学习、争论考纲对比2007 年的考纲和高考函数试卷有这样几个特点：1通过挑选题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象2在解答题的考查中,与函数有关的试卷经常是以综合题的形式显现3从数学具有高度抽象性的特点动身,没有忽视对抽象函数的考查4一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的5涌现了一些函数新题型6函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试卷,

2、而且对于数列,不等式,解读几何等也需要用函数与方程思想作指导函数类试卷在试卷中所占分值一般为 22-35 分而 2007 年的不等式试卷就有这样几个特点：1 在挑选题中会连续考查比较大小,可能与函数、方程、三角等学问结合出题 .2 在挑选题与填空题中留意不等式的解法建立不等式求参数的取值范畴,以及求最大值和最小值应用题 .3 解题中留意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法 .分值在 27-32 分之间,一般为2 个挑选题, 1 个填空题, 1 个解答题 可以猜测在 2022 年的高考试卷中,会有一些简洁求函数的反函数,与导数结合的 函数单调性函数极值函数最值问题

3、；挑选题与填空题中会显现一些与函数、方程、三角等学问结合的不等式 问题,在解答题中 会显现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范畴,和求最大值和最小值的应用题特殊是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题,这些题目会突出渗透数学思想和方法,值得留意；【考点透视】1明白映射的概念,懂得函数的概念2明白函数的单调性和奇偶性的概念,把握判定一些简洁函数的单调性和奇偶性的方法,并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程3明白反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简洁函数的反函数4懂得分数指数的概念,把握有理指数幂的运算性质,把握指数函数的概念、图象和性质5懂得对数的概念,把握对

4、数的运算性质,把握对数函数的概念、图象和性质6能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简洁的实际问题7在娴熟把握一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上,把握其它的一些简洁不等式的解法通过不等式解法的复习,提高同学分析问题、解决问题的才能以及计算才能8把握解不等式的基本思路,即将分式不等式、肯定值不等式等不等式,化归为整式不等 式组,会用分类、换元、数形结合的方法解不等式9通过复习不等式的性质及常用的证明方法比较法、分析法、综合法、数学归纳法等,1 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 使同学

5、较敏捷的运用常规方法即通性通法 证明不等式的有关问题10通过证明不等式的过程,培育自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等 式的才能11能较敏捷的应用不等式的基本学问、基本方法,解决有关不等式的问题12通过不等式的基本学问、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解读 几何等各部分学问中的应用,深化数学学问间的融汇贯穿,从而提高分析问题解决问题的才能在应用不等式的基本学问、方法、思想解决问题的过程中,提高同学数学素养及创新意识【例题解读】1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮忙考生敏捷把握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域

6、解决有关问题. x 的定义域为N,就 M例 1（ 2007 年广东 卷理）已知函数f x 1x的定义域为M , gx= ln11N= （A ） x x1（ B） x|x1（ C） x|1x1（ D）. x x1 , M命题意图 :此题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法解 ： 函 数f x 1x的 定 义 域M=x x1 , gx= ln1x的 定 义 域N=1N= x|1x1应选 C 例 2. 2006 年湖南卷）函数ylog2x2的定义域是 （A）3,+ （B）3, + （C）4, + （D）4, + 命题意图 :此题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法. 解：由x0

7、20x4.,应选 D. log2x2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培育人的逆向思维才能和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的懂得 . 例 3（ 2006 年安徽卷）函数y2 , x x0的反函数是（. ）x2,x0（A）yx x 200（B）y2 , x x0x x0x x（C）yx x 200（D）y2 , x x00x xx x命题意图 :此题主要考查有关分段函数的反函数的求法解:y2 ,xy.f1 x,x0;22又yx2,y0,f1 x,x0 .yx x 20x x0.应选 C. 2 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 -

8、- - - - - - - - 例 4 （2007 年 湖北 卷理）已知函数y2xa的反函数是ybx3,就 a； b命题意图 :此题主要考查反函数的求法及待定系数法等学问y. 3比较得 a6,b1 . 2解：y2xa,x1ya,y1xa1x1a与bx2222故填1 6 23.复合函数问题复合函数问题 ,是新课程、新高考的重点 .此类题目往往分为两类 :一是结合函数解读式的求法来求复合函数的值 .二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域 . 例 5 （2007 年 北京 卷 文 ）对于函数 f x x 2, f x x 2 2, f x cos x 2,判定如下两个命题的真假：命题甲：f x2是

9、偶函数；上是增函数；命题乙：f x在,上是减函数,在2,能使命题甲、乙均为真的全部函数的序号是（）命题意图 :此题主要考查利用复合函数和函数单调性等学问解决问题的才能. ,上是减函解：f x x2 2 ,f x2x是偶函数,又函数f x x22开口向上且在数,在 2,上是增函数故能使命题甲、乙均为真的函数仅有f x x22应选例 6（ 2006 年安徽卷）函数fx对于任意实数x满意条件ffx251,如f15,fx就ff5_. . ,就命题意图 :此题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的才能解：由fx2f1,得fx4f12f x ,所以f51xxff5f 5f 1f121. 154.函数的单

10、调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考查内容敏捷多样 . 这里主要帮忙读者深刻懂得奇偶性、单调性和周期性的定义,把握判定方法,正确熟悉单调函数与奇偶函数的图象. 为 奇 函 数 , 就例7 （ 2006 年 全 国 卷 ）已 知 函 数fxa1 x z1, 如 fxa_. 命题意图 :此题主要考查函数的解读式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由fx 为奇函数 ,所以 fx+f-x=0, 即a2x11a211,0xa121121111x2x1.应填1 . 22xx2212奇妙解法：由于fx 为奇函数 ,所以 f0=0, 即a2011,0a1.应填1 . 2

11、2点评：奇妙解法巧在利用了fx 为奇函数 ,所以 f0=0, 这一重要结论 . 3 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8 （ 2007 年全国卷理I ）f x,g x是定义在 R 上的函数,h x f x g x,就“f x ,g x均为偶函数” 是“h x为偶函数” 的（）A充要条件 B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件 D既不充分也不必要的条件命题意图 :此题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关学问 . 解 先证充分性：由于 f x,g x均为偶函数,所以 f

12、x f x , g x g x,有h x f x g x f x g x h x,所以 h x为偶函数反过来,如 h x为偶函数,f x g x不肯定是偶函数如 h x x,f x x , g x x 2x,应选 B. 方法二：可以选取两个特殊函数进行验证应选 B 点评： 对充要条件的论证,肯定既要证充分性,又要证必要性,二着缺一不行同时,对于抽象函数,有时候可以选取特殊函数进行验证5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是争论和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要把握绘制函数图象的一般方法,把握函数图象变化的一般规

13、律,能利用函数的图象争论函数的性质 .此类题目仍很好的考查了数形结合的解题思想 . 例 92006 年山东卷 函数 y=1+ax0a1的反函数的图象大致是 （A ）（ B）（ C）（ D）命题意图 :此题主要考查对数函数的图象,互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识. 解： y=1+ax0a1, f1xlog x1, 0a1.此函数图象是由函数fxlogax, 0a1向右平移一个单位得到的. 应选 A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样 . 这里主要帮忙考生在把握有关函数学问的基础上进一步深化综合运用学问的才能,把握基本解题

14、技巧和方法,并培育读者的思维和创新才能. 114.例 10 （2007 年浙江卷 文 ）已知fx|x21|x2kx .（）如 k = 2,求方程f x 0的解；（）如关于x 的方程fx0在（ 0, 2）上有两个解x1,x2,求 k 的取值范畴,并证明x 1x 2命题意图：此题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础学问,以及综合运用所学学问、分类争论等思想方法分析和解决问题的才能；满分 15 分；4 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （I ）解：当k2 时,fx |x21|x22x0.分两种情形争论

15、：当x2x11 时,即x1 或x11 时,方程化为2x22x10,.,1131231,舍去 所以x13解得. 由于0221当x21x0 时,即,方程化为1+2x = 0,解得x2由得,当k2 时 ,方程fx 0 的解是因此,x 10,1 ,x21,2.x123,或x1.2（II ）解：不妨设0x 1x 22,由于fx 2x2,1kx,1|x|,1kx|x|,1所以fx 在1,0是单调递函数,故fx 0在01,上至多一个解,如x1 ,x 21,2,就x x210,故不符合题意,2由f x10,得k1,所以k1;x 1由f x20,得k12x2,所以7k1.x 22.故当7k1 时,f x 0 在

16、0,2上有两个解2方法一：由于x 10,1 ,所以x 11 k,而方程2x2kx10 的两根是k2k28;8,4由于x21,2,所以x2kk28,8k,8k7 28744就1 x 11kk21 2k2x28k,就k2而yk28k在7 2, 1上是减函数2因此114.x 1x2方法二：由于x 11,0,所以kx 110；0,由于2 x 2kx 21x 2 ,12 ,所以2由消去 k,得22 x x 2x 1x 20,即112x 2. 又由于x 21,2,所以114.,解题时应留意x 1x 2x 1x 27.以集合为背景的不等式以集合为背景的不等式 ,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的

17、将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,精确解题 .例 11.（ 2007 年北京卷文 ）5 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 记关于 x 的不等式xa0的解集为 P ,不等式x1 的解集为Qx1（I）如a3,求 P ；. （II ）如 QP,求正数 a的取值范畴命题意图：此题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含肯定值的不等式的解法解：（ I）由x30,得Px1x3x1（II ）Qx x11x0x2由a0,得Px1xa,又QP ,所以a2,即 a 的取值范畴是2,8.以线性规划形式显现的不等式

18、以线性规划形式显现的不等式 ,重在考查数形结合的解题才能 .这种题目解题时要留意依据已知不等式组作出图形 ,分析求解 . 例 12.（2006 年辽宁卷） 双曲线 x 2y 24 的两条渐近线与直线 x 3 围成一个三角形区域 ,表示该区域的不等式组是（A ）xy0（B）xy0（C）xy0（D）xy0. xy0xy0xy0xy00x30x30x30x3命题意图： 此题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的学问,表达数形结合才能解：作图可知 三角形区域在第一象限.即满意xy0xy00x3应选 A 9.以简易规律为背景的不等式,来确定命题 ,用简易规律学问解决以简易规律为背景的不等式 ,解题时往

19、往以不等式为工具问题 .例 13.（2006 年山东卷 ） 设p:x2x200,q:1|2 x0,就 p 是 q 的|x2（ A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（ C）充要条件（ D）既不充分也不必要条件命题意图： 此题主要考查利用不等式和简易规律学问解决问题的才能. 解： 由题设可得 : 2 p x|xx20即0,即p x1,5,x4.x2.q:120,1x或x2,|x2应选 A 10.与函数学问结合的 不等式与函数学问结合的 不等式 ,解题时往往以不等式为工具 , 结合函数学问 ,通过推理来 解决问题 . 例 14.（2006 年山东卷 ） 设 f x 2log e x 1,x x2

20、,1,x 2.就 f f 2 的值为6 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 命题意图： 此题主要考查利用不等式和 函数学问解决问题的才能 .解：f 2 = f log 3 3 f 1 2 e 02. 应选 C 12.与平面对量学问结合的 不等式与平面对量学问结合的 不等式 ,解题时往往以不等式为工具 , 结合平面对量学问和坐标运算 ,通过 和坐标运算和 推理来 解决问题 .例 15.（ 2006 年辽宁卷） 设O0,0,A 1,0,B0,1,点 P 是线段 AB 上的

21、一个动点 , APAB,如OP ABPA PB,就实数的取值范畴是（A）1 21（B）1212（C）1 212（ D）1212222命题意图： 此题主要考查利用不等式和平面对量学问解决问题的才能.解： 设 Px,y, 就由 APAB得, APAB ,即 x1, 1,1,x1,解得xy1.,yOP ABPA PB , , 1,1 1x,y x ,1y ,x2y2y0,12 220,1212.22又点 P 是线段 AB 上的一个动点 ,01.121.2应选 B 13.与函数的导数学问结合的不等式函数的导数 为工具 , 结合函数学问 ,.与函数的导数学问结合的不等式 ,解题时往往以不等式和通过推理来

22、 解决问题 . 例 16.（2006 年江西 卷）已知函数f x 3 xax2bxc 在x2与x1时都取得极值 . 31 求 a、 b 的值及函数f x 的单调区间；2 如对x1,2,不等式f x c2恒成立 ,求 c 的取值范畴 . 命题意图： 本小题考查函数的导数,函数,函数极值的判定,给定区间上二次函数的最值等基础学问的综合运用,考查就数形结合的数学思想分析问题,解决问题的才能.解：1 x3ax2bxc f 3x22axb,7 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由f2124ab0,f132ab0,3

23、93得a1 , 2b2,通过f 3x2x23x2x1,函数f x 的单调区间如下表:x,222,111,333f 00f x 极大值微小值所以函数f x 的递增区间为,2与 1,；递减区间为2,1. 332f x x31x22xc2x1,2 ,当x2时,f x 22c 为极大值,327而f22c,就f22c 为最大值.要使f x f22c ,解得c2.14.与数列学问结合的不等式与数列学问结合的不等式 ,解题时往往以不等式和数列学问结合为工具 , 结合函数学问运算和推理来 解决问题 . 例 17.（2006 年湖北卷）设数列a n的前 n 项和为S,点n ,S nnN*均在函数yT n3x2的

24、图像上 . n（）求数列na的通项公式；nb的前 n 项和,求使得m对全部n* N 都成立的最小（）设b n3n1,T是数列a a20正整数 m . 命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础学问和基本的运算技能,考查分析问题才能和推理才能. 22 n. 6n5；,解： （I）依题意得,Sn3n2,即S n3 nn当 n2 时,anS nS n13 n22 3n122 n1111当 n=1 时,a 1S 132 1 -2 1-1-6 1-5. 所以a n6 n5nN. （II ）由（ I）得b n316n1na a n5 61526 n56 n111= 1 2111. 故Tnn

25、b11111.6151 127713n6 n6 n8 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因此,使得1111m n 20N成立的m 必需满意1 2m ,即 20m10,故满意要求的26 n最小整数 m 为 10. 15.不等式 的实际应用不等式 的实际应用题 ,解题时往往以不等式为工具 , 结合函数学问和函数的导数的应用 ,通过建立不等式模型 ,利用运算和推理来 解决问题 . 例 18（ 2007 年重庆卷 文）（本小题满分 12 分）用长为 18m 的钢条围成一个长方体外形的框架,要求长方体的长与宽之比为

26、 2：1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是多少？命题意图：本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础学问,以及运用不等式学问解决实际问题的才能解：设长方体的宽为 x（m）,就长为 2 x m ,高为18 12 x 3h 4 . 5 3 x m 0 x .4 2故长方体的体积为 V x 2 x 2 4 5. 3 x 9 x 26 x 3 m 3 0 x 3.2从而 V x 18 x 18 x 218 x 1 x 令 V x 0,解得 x 0（舍去）或 x=1,因此 x=1. 当 0 x 1 时,V x ;0 当 1 x 3时,V x 0,2故在 x=1 处 V x 取得

27、极大值,并且这个极大值就是 V x 的最大值 . 从而最大体积 V V 1 9 1 26 1 33 m 3,此时长方体的长为 2m,高为 1.5m 答：当长体的长为 2m,宽为 1m,高为 1.5m 时,体积最大,最大体积为 3m 3. 【专题训练与高考猜测】一.挑选题1.y=x22x3的单调递减区间为（）A. , 3 B. , 1 C.1,+ D. 3, 12.以下函数中,在区间 0, 1上是增函数的是（）A. y=x B.y= 1 C.y=32x D.y=x 2+2x+1 x 13.设 fx是定义在 A 上的减函数,且 fx0,就以下函数：y=32fx,y=1+ 2 ,y=f 2x,y=1

28、f x f x ,其中增函数的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 4关于 x 的方程 9 x+a+43 x+4=0 有解,就实数 a 的取值范畴是（）A （ -, -8 0,+） B、（ -, -4） -8,4） D、（ -, -8 5如 a0,b0,且 2a+b=1,就 S=2 ab -4a 2-b 2 的最大值是（）A 2 1 B、2 1 C、2 1 D、2 12 26已知不等式 m 2 cos 2 5m 4sin 2 0 恒成立,就实数 m 的取值范畴是（）A.0 m4 B.1m4 Cm4 或 x0 D.m1 或 m0 9 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 9

29、页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二.填空题7.设 fx=x 21x 2,就 f14=_. 8.已知 fx=3x2,就 f13x2=_. 9.已知 f（x）是奇函数,当x（ 0,1）时, f（x） lg11x,那么当x（ 1,0）时, f（x）的表达式是 _10. 记 S=1211y21012211,就 S 与 1 的大小关系是 . 210101111.当x0,2时 ,函数1 cos2x8sin2x的最小值是 _. sin2x12.实数x y 满意x yxy,就 x 的取值范畴是 _. 三.解答题13. 设函数 f（x）=log 2（ x+1）,当点（ x,y）

30、在 y=f （x）的反函数图象上运动时,对应的点（x,y）在 y=g（x）的图象上 . A 3231求 g（x）的表达式；2当 g（x） f 1（x）0 时,求 u（ x）=g（ x） f1（x）的最小值 . 14. 在某产品的制造过程中,次品率p 依靠于日产量x,已知 p1x,当0x100时;1011, 当x100时.其中 x 为正整数,又该厂每生产一正品可赢利A 元,但每生产出一件次品就要缺失元. 1 将该厂的日赢利额T（元）表示为日产量x（个）的函数,并指出这个函数的定义域；2为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少？15已知fxxx1x1.:fafc 3.50 千 M 处1求fx的单调

31、区间；（2）如ab0,ca1bb,求证416某人上午7 时乘摩托艇以匀速V 千 M/ 小时（ 4V20）从 A 港动身前往的 B 港,然后乘汽车以匀速W 千 M/ 小时（ 30W100）自 B 港向 300 千 M 处的 C市驶去,在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是 x 小时、 y 小时,如所需经费 p 100 3 5 x 2 8 y 元,那么 V、W 分别为多少时,所需经费最少？并求出这时所花的经费 . 10 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【参考答案】一

32、.1.A 提示：2 x2x30,就 x1 或 x3, f2,和fx都又2 x2x3x124可知当x1时 函数递减 .2.D 提示： 函数 y=x 2+2x+1 的图象开口向下,对称轴 x=1. 3.C 提示：由于fx是定义在 A 上的减函数,且fx0,所以其 2fx,x 是增函数 . 4.D 5.A 6.C 二.7.5 .8.x.11xlg（19. 提示： 当 x（ 1, 0）时, x（ 0,1）, f（x） f（ x） lgx）10. 111. 4 ；12. ,0 4,三.13. 1易求 f 1 x 2 x1 . g x 1 4 x1 . 32由 g（x） f1（x）0 得：2 x2,1 . u x 1 2 x 3 2 1 . 3 2 12故 2 x 3,1 2 , u x 1. 即 x log 2 3, u x min 1 . 2 12 2 1214. （1）易知 T Ax 1 p Axp Ax 1 4, x 0,100 , x N . 3 3101 x （ 2）求 T 的最大值是个难点 .须变换：T A x 4 x A x 404 4 A 101 4 101 x 404 易 知 当 且 仅 当3 101 x 3 101 x 3 3 3 101 x x 101 404