2022年高等代数第二章多项式教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章名师精编优秀教案多项式教学目的要求 一元多项式在本章中占有突出的重要位置它对培育、提高同学的数学素养是特别必要的.应着重把握以下问题：多项式的准确定义、多项式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项式与方程的联系与区分、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等教学内容及学时安排 多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多项式函数及多项式的根（4 学时

2、）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理数域上的多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时）重点、难点 懂得基本概念,把握一元多项式次数定理,多项式的乘法消去律；带余除法定理的证明及应用,多项式因式分解的存在唯独性定理,多项式的可约与数域有关,多项式没有重因式的充分必要条件,余数定理,综合除法,代数基本定理, C、R、Q 上多项式,多元多项式的字典排列法,初等对称多项式表示对称多项式教学手段 传统教学和多媒体教学相结合21 一元多项式的定义和运算教学目的把握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点一元多项式次数定理,多项式的乘法消去律教学过程讲授

3、练习.多项式的定义令 R 是一个数环 ,并且 R 含有数1,因而R 含有全体整数 .在这一章里 ,凡是说到数环,都作这样的商定,不再每次重复先争论 R上一元多项式名师归纳总结 定义 1 数环 R 上一个文字a 1x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式第 1 页,共 41 页a0xa 2x2,anxn,（）这里 n 是非负整数而a 0,a 1,a2,an都是R 中的数 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在多项式 1中,a 0名师精编x优秀教案aixi叫做 i 次叫做零次项或常数项, a1叫做一次项 ,一般 , 项, ia叫做i 次项的系数 . fx

4、 和 gx 有完全相同的项,或者只一元多项式常用符号fx,gx,来表示 . 2. 相等多项式 : 定义 2 如是数环R 上两个一元多项式差一些系数为零的项,那么 fx 和 gx 说是相等 ; f x=gx 2 n非负整数 n 叫做多项式 a 0 a 1 x a 2 x , a nx , a n 0 的次数 . 系数全为零的多项式没有次数 ,这个多项式叫做零多项式 .依据定义 2,零多项式总可以记为 0.以后谈到多项式 fx 的次数时 ,总假定 fx 0. 0多项式的次数有时就简洁地记作 f x . 3. 多项式的运算 : nf x a 0 a 1 x a nxmg x b 0 b 1 x b

5、mx是数环 R 上两个多项式,并且设 m n,多项式 fx 与 gx的和 fx+gx 指的是多项式这里当a0b0a 1b 1xamb mxmanb nxnm2 个多项式互素的情形如多项式 hx 整除多项 f 1 x , f 2 x , , f n x,中的每一个, 那么 hx 叫做这 n 个多项式的一个公因式；如是 f 1 x , f 2 x , , f n x 的公因式 dx 能被这 n 个多项式的每一个公因式整除,那么 dx 叫 f 1 x , f 2 x , , f n x 做的一个最大公因式 . 简洁推出：如 d0 x 是多项式如是 f 1 x , f 2 x , , f n x 的一

6、个最大公因式,那么d 0 x 与 f n x 多项式的最大公因式也是多项式如是 f 1 x , f 2 x , , f n x 的最大公因式 . 这样,由于两个多项式的最大公因式总是存在的,所以 在的,并且可以累次应用辗转相除法来求出 . n 个多项式的最大公因式也总是存与两个多项式的情形一样,n个多项式的最大公因式也只有常数因子的差别；我们商定n 个不全为零的多项式的最大公因式指的是最高次项数是 1 的那一个；那 n 个多项式f 1 x , f 2 x , , f n x 是最大公因式就是唯独确定的 .我们用符号（f 1 x , f 2 x , , f n x）表示这样确定的最大公因式 .

7、最终,如是多项式 f 1 x , f 2 x , , f n x 除零次多项式外,没有其它公因式,就说这一组多项式互素；我们要留意,n n2 个多项 f 1 x , f 2 x , , f n x 互素时,它们并不肯定两两互素；例如,多项式名师归纳总结 f 1x x23 x,2f2xx25 x6 ,f3xx24x3第 11 页,共 41 页是互素的,但f 1x,f2xx2作业： P48 ：1,2,3,4,5,6,10 2.4 多项式的分解教学目的把握有可约的多项式的概念及性质；把握唯独分解定理；会用两个多项式的典型分解式求出它们的最大公因式. 重点、难点两条主要定理（唯独因式分解的定理）证明及

8、应用；多项式的可约性与数域有关. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 教学过程讲授、练习 . 名师精编优秀教案1 . 不行约多项式的概念及性质给定 Fx 的任何一个多项式 fx, 那么 F 的任何不为零的元素 c 都是 fx 的因式 .另一方面, c 与 fx 的乘积 cfx 也总是 fx 的因式 .我们把 fx 的这样的因式叫做它的平凡因式 . 任何一个零次多项式明显只有平凡因式 .一个次数大于零的多顶式可能只有平凡因式,也可能仍有其它的因式 . 定义 令 fx 是 Fx的一个次数大于零的多项式 . 如是 fx在 Fx 中只有平凡因式, fx 就说是在

9、数域 F 上（或在 Fx中）不行约 . 如 fx 除平凡因式外,在 Fx 中仍有其它因式,fx 就说是在 F 上（或在 Fx 中）可约 . 假如 Fx 的一个 nn0 次多项式能够分解成 Fx 中两个次数都小于 n 的多项式 gx 与 hx 的积 : fx=gxhx, （1）那么 fx 在 F 上可约 . 如是 fx 在 Fx 中的任一个形如（么 fx 在 F 上不行约 . 1）的分解式总含有一个零次因式,那依据以上定义,对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的,也不能说它们是不行约的. Fx 中都存在不行约多项式,由于 Fx 的任何一个一次多项式在任一多项式环总是不行约的 . 留意,

10、我们只能对于给定的数域来谈论多项式可约或不行约 . 由于一个多项式可能在一个数域上不行约,但在另一数域上可约 . 一般指的是在数域 F 上不行约的多项式；（a） 假如多项式 px 不行约,那么 F 中任一不为零的元素 c 与 px 的乘积 cpx 也不行约 . 名师归纳总结 （b）设px 是一个不行约多项式而fx 是一个任意多项式,那么或者第 12 页,共 41 页px 与 fx 互至少,或者Px 整除fx. （c）假如多项式fx 与 gx 的乘积能被不行约多项式px 整除,那么至少有一个因式被px 整除 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编

11、 优秀教案互不相等,而其它每一因式都等于这 t 个因式中的一个,并且 p ixi=1,2, ,t 假定对于能分解成 r-1 个不行约因式的乘积的多项式来说,定理成立 .我们证明c 假如多项式 f 1 x , f 2 x , , f s x s 2 的乘积能够被不行约多项式整除,那么至少有一个因式被整除 . 2.唯独因式分解定理！定理 2.4.1 Fx 的每一个 nn0 次多项式 fx 都可以分解成 Fx 的不可约多项式的乘积 . 证 如是多项式 fx 理成立,这时可以认为 fx 是一个不行约因式的乘积：fx=fx 如 fx 可约,那么 fx 可以分解成两个次数较低的多项式的乘积：f x f 1 x f 2 x如因式 f 1x 与 f 2 x 中仍有可约的,那么又可