2、2、4平面与平面平行的性质基础知识精讲.doc

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1、【基础知识精讲】两个平面平行的性质可以类比线面平行的性质在线面平行中,可由“线面平行”推出“线线平行”于是联想到由“面面平行”也可推出“线面平行”或“线线平行”我们来看下面的命题：命题1：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行进一步思考，如果两个平面平行，能否说一个平面内任一条直线都与另一平面内任一直线平行？想想由“线面平行”推出“线线平行”的情形，上述结论显然不成立，还需增加一个共面的条件，于是得到了下面的命题：命题2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行这就是“面面平行”的性质定理利用“面面平行”和“线线平行”的类比，还可以找到“面面平行”的其

2、他一些性质：经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行；一条直线垂直于平行平面中的一个，必垂直于另一个；夹在两个平行平面间的平行线段相等判定两平面平行的方法有哪些？平行之间的转化有哪些？判定两平面平行的方法有：（1）依定义采用反证法；（2）依判定定理通过说明一面内有两相交直线与另一平面平行来判定两平面平行（即线面平行面面平行）；（3）依据“垂直于同一直线的两平面平行”来判定平行之间的转化要理清：线线、线面、面面平行的相互关系为：从上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时要把握这一点，灵活确定转化思路和方向【典型例题讲解】【例1】

3、已知a和b是两条异面直线，a ，b ，且a，b求证：证明 如图1-63过a作平面=a，a，aaa aa，b是异面直线a与b是相交直线又b，a，b 注：至此，空间的平行关系都学完了，无论证哪种元素平行，都是在这几种平行关系中推理如此题即经过了如下的转化推理过程：线面 线线 线面 面面其每一步的依据均为相关的定义、判定定理或性质定理【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面AMN平面EFBD(3)求平面AMN与平面EFBD之间的距离证明 如图1-64，(1)连结B1D1E，F是B1C1

4、，C1D1的中点D1D B1BD1B1BD是矩形D1B1DBEFDBEF与DB确定一个共面故E，F，D，B四点共面(2)M，N是A1B1，A1D1的中点MND1B1EFMN面EFDB连结NE，则NE A1B1 ABNEBA是平行四边形ANBEAN面BEDFAN，MN都在面AMN内，且ANMN=N面AMN面EFBD(3)解 如图1-65取BB1，CC1的中点Q，P，连结A1Q，A1PPQBC，PQ面AB1又M为A1B1的中点，AMA1Q由三垂线定理得，A1PAM又PC1面A1C1，M，N分别为A1B1，A1D1的中点，A1C1MN由三垂线定理得，A1PMN而AMMN=M，A1P面AMN由(1)知

5、面AMN面EFDB，A1PEFDB设A1P与这两平行平面交于O1、O2，如图1-66，则O1O2的长为两平行平面的距离，在平行四边形AA2A3A4中，由平行四边形AA4A2A2的面积可知【例3】已知，点A，C在内，点B，D在内，且AB与CD是异面直线段，若P，Q分别是AB，CD的中点求证：PQ证明 如图1-67AB，CD为异面直线过C，AB作平面=AC，=BEACBE取BF=AC，连结FD；取CF的中点R，连结PR，RQAB，CD异面，CFABP，R，Q，不共线又PRBF，PR 又RQFD， RQ面RPQ面面 面RPQ面PQ 面PRQ，PQ【例4】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a

6、(1)求证平面B1AD1平面BC1D(2)求平面B1AD1与平面BC1D间的距离(1)证明 如图1-68，在平面B1AD1和平面BC1D中AD1BC1AD1平面BC1DAB1DC1AB1平面BC1D又AD1AB1=A平面AD1B1平面BC1D(2)解 设上、下底面中心分别为O1，O，分别连结AO1，OC1，A1CC1C平面A1B1C1D1，A1C1是A1C的射影D1B1A1C1A1CD1B1同理 A1CAD1平面B1AD1平面BC1DA1C平面BC1D设A1C平面BC1D=F则EF的长是平行平面的距离在平面A1ACC1中，如图1-69A1E=EF=CFA1C2=AA12AC2=C1C2AB2十

7、AC2=3a2注：1由于立体几何中的求值问题，无论求角，还是求距离，都是转化成平面问题来解决，所以将相关元素所在的平面在空间图形外重新画出它的真实形状，对快速准确求值十分有益2此题中若要求异面直线D1B1与BC1间的距离时，只要得出两条异面直线所在的平面平行，转化成求平行平面间距离即可，这比直接求简便可行【学习方法指导】两平面平行的判定方法1依据定义，通常采用反证法；2依据判定定理，证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行；3依据判定定理的推论，证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面内的两相交直线平行证明两直线平行的方法1依据公理4；2依据直线与平面平行的性质定理，即通过“线面平行”得到“线线平行”；3依据两个平行平面的性质定理，即通过“面面平行”推出“线线平行”