2012年高考专题复习——空间角(教师)2.doc

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1、 学科网( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站！ 2012年高考专题复习空间角一、 1.异面直线所成的角的范围：2异面直线的判定方法：3异面直线所求的角的求法：平移法构造三角形解三角形余弦定理平移二、线面成角的问题：1.直线与平面成角的范围：0o，90o.2求直线与平面所成的角常用方法:(1)几何法：作垂线找射影（2）用最小角定理：cos q =cos q cosq（3）向量法：是平面的斜线，为 l Pa b ABAP a b l 图3二、 三、二面角平面角的问题：1. 二面角的平面角的范围：ABa blP图1三、 2求二面角的平面角的常用方法定义法(图1)

2、三垂线(逆)定理法:（图2）垂面法L(图3)DCPAB图4图6图2投影法（图4）向量法：（图5）例题1空间四边形ABCD中，AB=CD，且异面直线AB和CD成300的角，E,F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成角等于A150B750C300D150或 750棱长为 的正方体中，与其中一条棱所在直线异面且距离为 的棱共有（ ）A4条B5条C6条D7条已知异面直线a与b成800的角，p为空间一定点，则过点p与a,b所成的角都是500的直线有且仅有（ ）A1条B2条C3条D4条EAFBCMND正方体中 正方体棱所在的直线中与直线是异面直线有几条？方体棱所在的直线中与直线CC/垂直的直

3、有几条？（5）.右图是正方体平面展开图，在这个正方体中BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）（A）（B）（C）（D）（6）设异面直线a与b所成的角为50o,O为空间已定点，试讨论过点O与a,b所成的角都是的直线L的条数（7）PA,PB,PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60o,那么直线PC与PAB所成角的余弦值是（ ）A, B C D(8)设斜线和平面所成的角为，那么斜线和此平面内过谢足的所有直线的夹角中，最大的角是 ，最小的夹角是 DCBA例2、如图，三棱锥DABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三

4、角形，ABC=BAD=900，其腰BC=a，且二面角DABC=600.（1） 求异面直线DA与BC所成的角； （2） 求异面直线BD与AC所成的角；（3） 求D到BC的距离；（4） 求异面直线BD与AC的距离.解析：（1）DA与BC成600角（2）设BE中点为O，DE中点为F，连OF，则OF/BD，求AOF即为异面直线BD与AC成角在AOF中可求得AOF =arccosFOMDECNBA （3） BA平面ADE 平面DAE平面ABC故取AE中点M，则有DM平面ABC；取BC中点N，由MNBC，根据三垂线定理，DNBC DN是D到BC的距离在DMN中，DM=a，MN=a DN=a （4） BF平

5、面BDF，AC平面BDF，ACBF AC平面BDF； 又BD平面BDF AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离 ， ，即异面直线BD与AC的距离为评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法.例3、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=CC1=2. （I）证明：AB1BC1； （II）求点B到平面AB1C1的距离. （III）求二面角C1AB1A1的大小5、（1）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），因为，所以AB1BC1. （2）设是平面AB1C1的法向量，由得所以令，则

6、，因为，所以，B到平面AB1C1的距离为.（3）设是平面A1AB1的法向量.由 令=1，则因为所以，二面角C1AB1A1的大小为60例4、四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知,（）证明：；（）求直线SD与平面SBC所成角的大小解:（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得（）由（）知，依题设，DBCASE故，由，又，作，垂足为，则平面，连结为直线与平面所成的角直线与平面SBC所成的角为例5在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点 (1)求证 四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；

7、(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABCD所成的角 命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由BE=ED=DF=FB就断定BEDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B、E、D、F四点共面 技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 (1)证明 如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、

8、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形 BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形 AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形 (2)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角 在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos 另法（向量法） 如图建立坐标系，则故AC与DE所成角为arccos (3)解 ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角

9、为ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos 另法（向量法） ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，如图建立坐标系，则，故AD与平面BEDF所成的角是arccos (4)解 如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心 作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角 在RtDOE中，OE=a

10、,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin 另法（向量法） 如图建立坐标系，则，所以面ABCD的法向量为 下面求面BEDF的法向量 设，由 故面BEDF与面ABCD所成的角为 例6：如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点. ABCDEFxyzP（）求证：EF平面PAB；（）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小. （）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,

11、0), P(0,0,1), .得，. 由，得，即， 同理，又， 所以，EF平面PAB. （）解：由，得，即. ABCDEFxyzP得，. 有，. 设平面AEF的法向量为，由，解得. 于是. 设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为. 则. 得. 所以，AC与平面AEF所成角的大小为. 点评：设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角为。例7、 已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D平面AA1D；（3）若ABAA1=，求平面AB1D与平面AB1

12、A1所成角的大小. C1_B1_A1_BCA分析：本题结论不定，是“开放性”的，点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行移动，BC1取AE1位置，则平面AB1E1一定平行BC1，问题可以解决.（1）解：如下图，将正三棱柱ABCA1B1C1补成一直平行六面体ABCEA1B1C1E1，由AE1BC1，AE1平面AB1E1，知BC1平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点. AE1B1C1BCEDA1（2）证明：连结B

13、1D，则B1DA1C1;从直三棱柱定义知AA1底面A1B1C1，AA1B1D, 又A1DAA1=A1，B1D平面AA1D，又B1D平面AB1D，平面AB1D平面AA1D.（3）解：因为平面AB1D平面AA1D=AD，所以过A1作A1HAD于点H.作HFAB1于点F，连结A1F，从三垂线定理知A1FAB1.故A1FH是二面角A1AB1D的平面角.设侧棱AA1=1，侧棱AB=.于是AB1= .在RtAB1A1中，A1F=，在RtAA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=，AD= .A1H=.在RtA1FH中，sinA1FH=，A1FH=45.因此知平面AB1D与平面AB1A1所成角为450或135

14、0.例8在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.解析1.定义法过D作DE PC于E，过E作EF PC，交BC于F，连接FD，则 是所求二面角B-PC-D的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解DEF即可.所求角为BDPCAEF解析一解析2.垂面法易证面PAB面PBC，过A作AM BP于M，显然AM 面PBC，从而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM与AN相交与A得PC 面AMN.设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；MAN为它的补角，在三角形AMN中可解.计算较繁.BDPCA解析二解析3

15、.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D.易证面PEDA PDC，过E作EF PD于F，显然PF 面PDC，在面PCE内，过E作EG PC于G，连接GF，由三线得GF PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可.BDPCA解析三EFG解析4. 射影面积法。由解析3知，PFC为 PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得 ，所求角为BDPCA解析四EFG解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE PC于E，BF PC于F，连接EF即可.利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间

16、余弦定理求出q 即可.BDPCA解析五例9（2006年江西高考）如图,在三棱锥ABCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD,BDCD1,另一个侧面是正三角形(1)求证：ADBC(2)求二面角BACD的大小(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30角？若存在,确定E的位置；若不存在,说明理由.分析：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，考查了余弦定理尤为突出的是本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。解析： (1)方法一:作面于,连又,则是正方形.则方法二:取的中点,连、,则有(2)作于,作交于,则就是二面角的平面角.

17、是的中点,且则由余弦定理得(3)设为所求的点,作于,连.则就是与面所成的角,则.设,易得解得故线段上存在点,且时,与面成角.解法二:（1）作面于,连、,则四边形是正方形,且,以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,则(2)设平面的法向量为则由知:;同理由知:可取同理,可求得平面的一个法向量为由图可以看出,三面角的大小应等于则,即所求二面角的大小是.(3)设是线段上一点,则平面的一个法向量为要使与面成角,由图可知与的夹角为,所以则,解得,则故线段上存在点,且,时与面成角.拓展提升：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.联想平面几何命题，运用类比猜想得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后

18、再根据条件给出证明或计算。【变式训练】 1. （2006年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.（）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；（）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。解法：（）故.所以.又.故在,即.故当时,直线与平面所成的角的正切值为.（）依题意,要在上找一点,使得.可推测的中点即为所求的点.因为,所以又,故.从而解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0

19、,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由知为平面的一个法向量.设与所成的角为,则依题意有：,解得.故当时,直线与平面所成的角的正切值为.（）若在上存在这样的点,设此点的横坐标为,则.依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等价于即为的中点时,满足题设的要求.A2(2007安徽文) 如图，在三棱锥中，是的中点，且，（I）求证：平面平面；（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为解法1：（），是等腰三角形，又是的中点，又底面于是平面又平面，平面平面（） 过点在平面内作于，则由（）知平面连接，于是就是直线与平面所成的角依题意，所以在中，；在中，故当时，直线与平面所成的角为解法2：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即ADBCVxyz同理，即又，平面又平面平面平面（）设平面的一个法向量为，则由得可取，又，于是，即，故交时，直线与平面所成的角为解法3：（）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又，平面又平面，平面平面ADBCVxy（）设平面的一个法向量为，则由，得可取，又，于是，即故交时，即直线与平面所成角为北京学易星科技有限公司 版权所有学科网