第25讲古典概型与几何概型.doc

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1、 第25讲 古典概型与几何概型 新课标考试大纲对概率的考查要求（1）事件与概率 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. 了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型 理解古典概型及其概率计算公式. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. 了解几何概型的意义. （4）条件概率（文科不要求）了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.1.古典概型【例1】(2008山东卷,理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为的18

2、名火炬手若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A BCD 【解】B. 古典概型问题，基本事件总数为。选出火炬手编号为，时，由可得4种选法；时，由可得4种选法；时，由可得4种选法。【例2】(2008江西卷,理，文)电子钟一天显示的时间是从0000到2359，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A B C D【解】C. 一天显示的时间总共有种,注意到,分钟的两个数字的和最大为,所以只能有因此,和为23总共有4种,故所求概率为.【例3】（2007山东卷，文）设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点

3、落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（ ）A3B4C2和5D3和4【解】D，所以，【例4】（2007广东卷，文）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）【解】A.从个小球取出个的所有可能情形有(或),又,数字之和为3或6的共种,所以,概率为,故选A.【例5】(2007四川卷,理)已知一组抛物线，其中为2、4、6、8中任取的一个数，为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）（A） （B） （C） （

4、D）【解】选B这一组抛物线共条，从中任意抽取两条，共有种不同的方法它们在与直线交点处的切线的斜率若，有两种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有四种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有两种情形，从中取出两条，有种取法由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有种，故所求概率为 【例6】(2008海南,宁夏卷,文)为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查6人得分情况如下： 5，6，7，8，9，10把这6名学生的得分看成一个总体（）求该总体的平均数；（）用简单随机抽样方法从

5、这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率【解】（）总体平均数为（）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，共15个基本结果事件包括的基本结果有：，共有7个基本结果所以所求的概率为【例7】(2008广东卷,文)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373男生377370已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知，求

6、初三年级中女生比男生多的概率【解】1），（2）初三年级人数为，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：名（3）设初三年级女生比男生多的事件为，初三年级女生男生数记为；由（2）知，且，基本事件空间包含的基本事件有：，共11个事件包含的基本事件有：，共5个 【例8】(2008山东卷,文)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组（）求被选中的概率；（）求和不全被选中的概率【解】（）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间，,，由18个基本事件组成由于每一个基本事件

7、被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用表示“恰被选中”这一事件， 事件由6个基本事件组成，因而（）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于，事件有3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得【例9】(2004浙江卷,文)某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）.假定工厂之间的选择互不影响.()工厂均选择星期日停电的概率；（）至少有两个工厂选择同一天停电的概率. 【解】 ()设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,则.()5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,则因为至少有两个工厂选择同一天停电的

8、事件是, 所以 【例10】(2007安徽卷,文)在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔（I）求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；（II）求笼内至少剩下5只果蝇的概率【解】（I）以表示恰剩下只果蝇的事件以表示至少剩下只果蝇的事件可以有多种不同的计算的方法解法1（组合模式）：当事件发生时，第只飞出的蝇子是苍蝇，且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以解法2（排列模式）：当事件发生时，共飞走只蝇子，其中第只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不

9、同可能在前只飞出的蝇子中有只是果蝇，有种不同的选择可能，还需考虑这只蝇子的排列顺序所以由上式立得；（II）笼内至少剩下5只果蝇的概率为【例11】有5副不同的手套，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再取一只求甲正好取到两只配对手套的概率【解】基本事件总数是包含的事件数为 取一双，方法数为， 到1、3位，方法数为2 剩下的8只中取两只放到2、4位，方法数为由乘法原理，包含的事件数为，由每种取法均是等可能的，得到2.几何概型（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：=；（3）几

10、何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等【例1】方程有实根的概率为（ ）A、 B、 C、 D、【解】由一元二次方程有实根的条件，而，由几何概率得有实根的概率为答案：【例2】某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于分钟的概率【解】假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到

11、站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.设事件等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件恰好是到站等车的时刻位于50,60这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得即此人等车时间不多于10分钟的概率为在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从0,60上的均匀分布，X为0,60上的均匀随机数【例3】(2007海南和宁夏卷,文) 设有关于的一元二次方程（）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率【解

12、】设事件为“方程有实根”当，时，方程有实根的充要条件为（）基本事件共12个：其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为（）试验的全部结束所构成的区域为构成事件的区域为所以所求的概率为【例4】(2008江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率【解】.区域表示边长为的正方形的边界和内部,区域表示单位圆的边界和内部,则【例5】（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货

13、运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？【解】设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，于是则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满足不等式的

14、数对组成，此不等式等价于右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为，于是有.【例6】(意大利比萨问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时可得到一个大比萨；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中比萨；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小比萨，如果击中靶上的其他部分，则得不到比萨，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，

15、并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：（1）一张大比萨，（2）一张中比萨，（3）一张小比萨，（d）没得到比萨的概率【解】我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明R和子区域r1、r2、r3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。；.【例7】如图,在等腰直角三角形中,过直角顶点在内部任作一条射线与边交于点,求的概率.【解】在边上,作,则落在内,则【例8】 把长为米的线段分成三段，能组成三角形的概率是多少？【解】设分成的三段为则如果这三段能组成三角形，则满足 解得所以，所求的概率为3.条件概率和n次独立重复试验的模型定义:设为

16、两个事件,且,称 为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率(conditional probability),一般地，把读作发生的条件下,事件概率. 【例1】(2007山东卷,理)设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（）求方程有实根的概率；（）求的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率【解】（）由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件，“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程有两个相异实数”为事件，则，所以是的基本事件总数为36个，中的基本事件总数为17个，中的基本事件总数为个，中的基本事件总数为17

17、个又因为是互斥事件，故所求概率（）由题意，的可能取值为，则，故的分布列为：所以的数学期望（）记“先后两次出现的点数有中5”为事件，“方程有实数”为事件，由上面分析得，.【例2】老张的妻子一胎生了3个孩子，已知老大是女孩，求另两个也是女孩的概率（假设男孩，女孩出生的可能性相同）。 【解】3个孩子的所有可能情况是 （其中，表示男孩，表示女孩）共8种. 老大是女孩已经发生的情况下的事件是,则， 三个都是女孩的情况的事件是,则，则所求的概率是在事件发生的条件下,事件发生的条件概率为 .【例3】(2007山东卷，理)位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且

18、向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位于点的概率是（ ）A BCD【解】B. 如下图，P【例4】 (2007江苏卷)某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后第2位）：（）5次预报中恰有2次准确的概率； （）5次预报中至少有2次准确的概率； （）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率 【解】（）次预报中恰有次准确的概率为（）次预报中至少有次准确的概率为（）“次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确”的概率为【例5】(2007辽宁卷,文)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组500，90

19、0)900，1100)1100，1300)1300，1500)1500，1700)1700，1900)1900，)频数4812120822319316542频率（I）将各组的频率填入表中；（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率【解】（I）分组500，900)900，1100)1100，1300)1300，1500)1500，1700)1700，1900)1900，)频数4812120822319316542频率0.0480.1210.2080.

20、2230.1930.1650.042 （II）由（I）可得，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6（III）由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率，根据在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式可得所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648【例6】(2007全国卷,文)某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元（）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（）求3位顾客每人购买1

21、件该商品,商场获得利润不超过650元的概率【解】（）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”，（）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”则，【练习题】1.(2008浙江卷,文)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是求：（）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；（）袋中白球的个数2.(2008北京卷,文18)甲、乙等五名

22、奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率3.(2008辽宁卷,文18)某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030（）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；（）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率4.(2007北京卷,文)某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的

23、一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的求：（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；5.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率6.在集合内任取一个元素,能使不等式成立的概率是多少?7.在直角坐标系中,射线落在角的终边上,任作一条射线,求落在内的概率.8.在道题中,有道理科题和道文科题,如果不放回地依次抽取道题,求: () 第1次抽到理科题的概率; ()第1次和第次都抽到理科题的概率; ()在第1次抽到理科题的条件下, 第次抽到理科题的概率

24、.9.某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,求至少有2次命中目标的概率.10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.()求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;()求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;()假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?【练习题参考答案】1.本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力0（）由题意知，袋中黑球的个数为记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑

25、球”为事件A，则（）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，设袋中白球的个数为，则，得到2.（）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是（）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是3.（）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3（）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为 （） （）因为，所以4.（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为5.解法1.把“硬币不与任一条平行线相碰”的

26、事件记为事件，为了确定硬币的位置，由硬币中心向靠得最近的平行线引垂线，垂足为，如图所示，这样线段长度（记作）,则，因此,只有当r时,硬币不与平行线相碰，所以所求事件的概率就是=解法2.把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件，由题意,硬币中心位于图中的阴影部分时, 硬币不与任何一条平行线相碰,于是有6.集合为矩形,其面积为能使不等式成立的区域为阴影部分,面积为所以,7.以为起点做射线是随机的,因而, 射线落在任何位置是等可能的, 设落在内的事件为,则 8.设第1次抽到理科题为事件,第次抽到理科题为事件,第1次和第次都抽到理科题为事件. ()从道题中不放回地依次抽取道题的事件数为 . , 于是 . ()因为 ,所以 . () 解法1. 由(1),(2)得,在在第1次抽到理科题的条件下, 第次抽到理科题的概率为 .解法2.因为,所以 9. 10.()设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件为“4次均击中目标”，则()设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。故14