数学备考要在提高数学意识、审题和细节上给力-0.doc

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1、 数学备考要在提高数学意识、审题和细节上给力一数学备考必须具备的数学意识 什么是数学意识常常遇到这样的场面：在解某一道题目时，同学甲是构造一个函数解决的，而同学乙没能解出来，当同学甲向同学乙介绍自己的解法时，同学乙会感慨地说：“我怎么没有想到呢？”，在解一道选择题时，同学丙是通过计算解出来的，用了三分钟，而同学丁则是通过画图解决的，用了不到一分钟，这时，同学丙也会感慨地说：“我怎么没有想到呢？”，这里的想到和没想到，本质上就是具备不具备数学思想，有没有数学意识，同学乙实际上是没有考虑到用函数思想解题，没有函数和变量的意识，而同学丙则是没有图形意识因此有没有某种数学意识,就是在解题时对这个问题想

2、到还是没想到数学意识就是数学思想方法。解题时，不差知识，就差意识，在高考答题时，应该具备哪些数学意识呢？大体上有这样七个想到还是没想到：1. 条件意识：就是在解题的开始是否注意了仔细审题,是否想到题目给出了哪些条件,这些条件之间有什么关系,在解题过程中,是否想到题目中有没有隐含条件?是否想到题目给出的所有条件有没有都使用上?2. 目标意识：就是要明确对解题的目标是否弄明白?是否时刻想着解题目标,盯住解题目标不放? 3. 函数和定义域意识：对一些含有变量的等式能否用函数和变量来思考是否想到可以用函数的概念来解决,当你想到函数时是否特别关注了定义域?4. 图形意识：当你在解一个题目时,是否想到这个

3、题目的几何意义是什么?能不能画一个图帮助思考? 5. 分类意识：当一个题目遇到参数时,是否想到要对参数进行分类讨论,并且思考如何分类和整合.6. 转化意识：在解题的开始和解题过程中,是否想到对所遇到的式子或图形进行转化,把它变成你所熟悉或已经做过的题目?7. 检验意识:；在解题过程中,数学推理往往是一个求必要条件的过程,因此解题后或解题过程中是否想到要检验?这七个意识就是要在解题时，是需要时时想着的问题，是一秒钟也不能疏忽的问题解题中注意数学意识举例【例1】（2009辽宁卷理12）若满足，满足，则( ) 这个题目给出的两个式子：和，如果直接解出和根本不可能，你是否想到这个式子的几何意义是什么？

4、这就是图形意识一下子看不出来，能否对式子进行转化，这就是转化意识转化后得，即，发现每一个式子都是两个函数图象的交点，例如是函数的图象与函数的图象的交点，这就是函数意识这时，你是否想到画一个图帮助思考，这就是图形意识作出，的图象（如图），观察和分析图象，问题就迎刃而解了与的图象关于对称，它们与的交点A、B的中点为与的交点C，解得。，所以故选【例2】（2009山东卷文12）已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则( ) A B C D. 题目给出了函数，又给出函数的奇偶性和单调性，这就会启发我们用函数的性质进行思考，这就是函数意识因为定义在上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以

5、函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以为周期的周期函数,当得到上面的结论之后，如何比较，的大小呢？首先还是要有条件意识和定义域意识，条件是函数在区间上是增函数，所以要对，用函数的周期性进行转化，转化到区间上，这是转化意识，转化之后又如何比较大小呢？这时你是否想到用图形帮助思考，画出图象来，函数值的大小就一目了然了这就是图形意识，如图，故选【例3】已知两条曲线：椭圆和圆,若两条曲线没有公共点,求的取值范围.一般的解法是:从和的方程中消去一个未知数,比如消去,得到一个关于的方程, 因为两条曲线没有公共点,所以方程没有实数根,即判别式小于零,即 解得 或(由,舍去).这就是说, 若两条曲线没有公

6、共点, 的取值范围为.这个结果是否正确呢?我们可以画一个图来观察,如图,以为圆心,为半径的圆与椭圆没有公共点,但是这一结果在上面的计算中,并没有出现,显然,这种解法出了毛病!如果具备函数意识，即用函数思想来思考. 由方程变形为.把看作的函数。由椭圆可知,因此,求使圆与椭圆有公共点的的集合,等价于在定义域为的情况下,求函数 值域.由可得的值域是,即,它的补集就是圆与椭圆没有公共点的的集合,因此, 两条曲线没有公共点的的取值范围是或.【例4】 (2006全国卷,理)已知函数。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。()的定义域为.对求导数得 .这是一个含参数的函数，为研究的单调性,就

7、要根据的正负,对参数分类讨论.这就是分类意识(1)当时, ，在, 和均大于0, 所以在和 上均为增函数.(2)当时, , 在和 上均为增函数;(3)当时,，, 令 ,解得. .当变化时, 和的变化情况如下表: 增减增增 在, ,为增函数, 在为减函数.()在本问中,除对的正负进行分类外,还要对的正负进行分类.(1)当时, 由()知: 对任意恒有.(2)当时, 取,则由()知 .(3)当时, 对任意,恒有且,得 本题的两问都需要分类,但由于给出的条件不同,分类也有区别,主要还是根据参数与或的大小关系进行分类.分类讨论之后,还要对讨论的结果进行整合,当且仅当时,对任意恒有.【例5】已知向量,，,则

8、与夹角的最小值和最大值依次是（ ）.A B C D本题用直接法相当麻烦,而具备图形意识，想到根据向量的几何意义用图形解题就比较简单. 由则点在以为圆心,为半径的圆上,又由已知, ,则是轴上的一个向量,所以圆上的点与点的连线的倾斜角即为与的夹角. 如图,可以求出, ,. 因而, ,选(C).【例6】设,试比较和的大小.本题初看，不知如何下手，如果能够和图形联系起来，就会立竿见影图形意识可以帮大忙由式子的结构可知, 的的几何意义是连接两点 的直线的斜率.,于是,可以画出的图象（图3-20）,研究两点和与连线的斜率.由图象可知,即另一个思路是函数意识即研究函数的单调性为判断的正负，又要有分类意识：对

9、分为和两种情况讨论当时，有，则，当时，则，因而在上是减函数知【例7】 (2004全国卷)已知球的半径为,三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为,则球心到平面的距离为( ).A B C D 由已知条件,分析所给出的几何体的特征,可作如下转化:球心到平面的距离正三棱锥的高正方体的对角线. 这两个转化，都使问题从复杂变为简单，从生题变为熟题.这是转化意识的胜利由此，可立即得出球心到平面的距离=棱长为的正方体对角线的=. 【例8】（2006全国卷，理）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。函数意识：这是一个恒成立问题,由于不等式的两边都含有变量,所以可以构造函数于是问题转化为对所有的恒成立对所

10、有的成立.下面求的最小值.令得 减最小值 增由以上, 在上是减函数,而在上是增函数, 当时, 有最小值.有的同学这样解：因为当时, 有最小值,则需解,定义域意识：但是,这个解法是错误的,原因在于没有考虑到定义域,本题要求在时, 不等式成立.因此要研究与的相对位置.分类意识和图形意识： (1) 若,即,由的单调性可知,在时, ,(2) 若,即,由的单调性可知, .此时, 不恒成立.由以上, 实数的取值范围是. 二.审题决定成败我曾经问过不少在高考中数学成绩优秀的学生,“你们考试的诀窍是什么?”在他们的回答中几乎都有一个共同的结论：“注意审题.”我也曾问过一些高考中数学考试的失败者：“你们平时成绩

11、不错,为什么高考没有考好?” 他们的回答中几乎也都相同：“考试时没注意审题”的确，在高考这样十分紧张的考试中，对于平时已经进行了认真复习的同学来说，审题决定成败，或者说，成也审题, 败也审题注意审题是在高考中取得最佳成绩的关键 问题是数学的心脏。参加高考，就是要解答试卷中提出的各种问题。什么是审题？审题在解题中占什么地位呢？在这里，我想向大家介绍卓越的数学教育家G波利亚的一项研究成果：他把自己几十年教学和科研的经验集中体现在一张“怎样解题表”中。这张解题表是根据一般人们在解题过程中的心理活动特征和逻辑思维顺序出现的可能性，科学地列出来的。 全表共四部分，第一部分是“弄清问题”，第二部分是“拟定

12、计划”，第三部分是“实现计划”，第四部分是“回顾”。在第一部分和第二部分中，G波利亚都指出了“怎样审题”这样一个关键问题。我们不妨摘录其中一部分。“你必须弄清问题”“未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,，画张图引入适当的符号。把条件各部分分开，你能否把它们写出来？” 进一步的审题是：“你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？” “你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？” “看着未知数！试想出一个具有相同的未知数或相似未知数的熟悉问题”，“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。”“你能不能从已知数导出某些有用的东西？

13、”“你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念？” 以上这些就已经把审题的内容和步骤科学地展现在大家面前了。审题是对问题的初步感知和初步定向，是对题目信息的搜集和整理。只有在审题时主动地，最大限度地搜集有助于解题的信息，并对这些信息进行分析和综合处理，才能使解题有一个好的开始，才能找到解题的入口，使开局处于有利的地位。其实，不仅解题开始于审题，而且在解题的全过程中也必须一直伴随着审题，常常题目全部解完，审题才告结束。 第一.怎样审题： 审题的核心就是弄清问题和熟悉问题主要是弄清已知条件和解题目标,这里面包括如下几个内容：1已知条件是什么？有几个已知条

14、件,能否把各个已知条件分开,是否需要把题目中的自然语言转化为图形语言或符号语言.2已知条件之间有什么关系？当分清有几个已知条件之后,要分析这些已知条件之间有些什么联系,哪些条件的结合可以得出新的结果;3隐含条件是什么？注意和发掘题目的隐含条件：有些题目中有些条件给出的并不明显,，往往隐含在题设的条件或解题的过程之中，解题者却没有把它作为条件来使用，从而使解题遇阻, 需要对这些条件进行再认识，再加工,再发掘4解题目标是什么？能否把这个题目转化为曾经做过的题目解题的目标是什么?要求是什么?能否理解已知条件和求解目标的含义？根据已知条件和解题目标,要思考“你是否知道一个可能用得上的定理？”，由已知条

15、件可以推出哪些对解题目标有用的东西；所求解的题目与以前曾经做过的哪个题目相类似,即这个题目是否好像见过面?能否把这个题目转化为曾经做过的题目5能否画图帮助思考？是否需要画一个图,如果能画图,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件和解题目标的再认识的过程第二如何理解和实践审题步骤：下面举例说明1已知条件是什么？有几个已知条件,能否把各个已知条件分开,是否需要把题目中的自然语言转化为图形语言或符号语言.【例1】(2008浙江卷,理)已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ） ABCD从代数的角度理解已知条件，就是 （1）

16、；（2） ；(3) .为了求的最大值可以根据已知的条件设法求出，首先变形（3）,， 设与的夹角为，则, 而于是, 所以，. 则的最大值是.故选C.在解题中,把自然语言或符号语言转化为图形语言,有利于对解题的思考. 从几何的角度审题,是平面内两个互相垂直的单位向量，就可以使构成直径为的圆的两条互相垂直的弦, 成为圆内以为端点的弦,从而有第2个解法.解法2.如图，过三点作圆，则圆上的异于的任意点形成的向量，都满足，显然，直径最大，即的最大值是.【例2】(1999全国卷)给出定点和直线,是直线上的动点,的角平分线交于点,求点的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与值的关系.，本题的已知条件有几个： 定

17、点； 直线； 是的角平分线； 是的角平分线上的一点利用这些条件解本题时,首先设点,再利用角平分线的性质,或者三角形内角平分线的性质等都可以得到,但是根据题目的要求,求解的结果应是关于的方程,许多考生解到这里就解不下去了,是什么原因呢?就是因为忽略了一个审题的细节:三点共线,注意到这个隐含条件,题目给出的“的角平分线交于点”,这句话包含几个条件：上面的 是的角平分线； 是的角平分线上的一点，还有一个条件就是三点共线（或在上），有了这个条件，问题就容易解决了利用在直线上,或利用与的斜率相等,就可以得出,将这个式子代入式就可以得到方程 下面只剩下对方程的讨论了2已知条件之间有什么关系？【例1】（20

18、05年浙江卷，理）已知向量，|1，对任意 ,恒有 ，则（ ）.A. B. () C. D. ()()解这个题目时,如果,不仔细研究已知条件之间的关系,很容易采用下面的解法,即从不等式的计算入手, 有 ,即 ,因为该不等式对任意恒成立,则 因而 于是 所以 .故选(C). 这是一个非常好的解法,但是,运算量还是大了一些.如果,认真思考已知条件, 向量，且不等式对任意实数都成立,可以从向量本身的意义来思考. 如图,则,设,由题设,恒不小于,显然,仅当时,才能实现,因此,选(C).【例2】已知，且，则为（ ）.A. B. C. D. 或 下面的解法正确吗?因为，所以因为，则，所以，于是或.结果是错误

19、的.因为在审题时,没有研究已知条件之间的关系.已知条件和有什么关系? 和有什么关系?因为所以，由已知及得到的范围是；同样，由已知，所以，由已知及得到的范围是于是,因此.而是不存在的.【例3】(2007湖南卷,文) 已知函数在区间，内各有一个极值点求的最大值；首先要弄清函数在区间，内分别有一个极值点，与求的最大值有什么关系?函数在区间，内分别有一个极值点,就等价于在，内分别有一个实根，而恰为方程的判别式，即设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是163隐含条件是什么？注意和发掘题目的隐含条件：有些题目中有些条件给出的并不明显,，往往隐含在题设的条件或解题的过程之中，解题者却没

20、有把它作为条件来使用，从而使解题遇阻, 需要对这些条件进行再认识，再加工,再发掘【例1】 (2005辽宁卷)若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是( ).（A）（1，2）（B）（2，+） （C） 3，+ （D）（3，+） 由三角形三内角的度数成等差数列，可以立即得到的度数，。设三角形的三个内角为为钝角,且. 设角的对边依次为,则，但是下一步，如何判断m的范围，就不知如何做了.注意到,这里有一个隐含条件,即,则于是 若使对所有钝角恒成立,只需 故选B.【例2】函数有极值,又在其曲线上极大和极小的点分别为,若线段(不含端点)与曲线交于点,求的值.首先弄清已

21、知条件,已知一个含参数的三次函数,函数有极值,有极大和极小点,线段(不含端点)与曲线交于点.解题目标是求的值.由得.再由点在曲线上以及三点共线,解得这个结果是否正确?还是要注意题目的条件,即条件中有一点容易被忽略,这就是点应在线段的内部,因此应满足,于是第二组解应舍去.或者说,若,则点的坐标为与重合,这时候,成为线段的端点,与题意不符.【例3】已知双曲线上一点到右焦点的距离为11,是的中点,为坐标原点,求的值.本题可以画一个图帮助思考,设为左焦点,若点在双曲线的右支,则由得,因为是的中位线,则=同样, 若点在双曲线的左支,可得=于是=或在上面的解法中,又是审题出了毛病,这是因为由已知曲线方程可

22、知，左支上的点到的最近距离为12。而题设，点到右焦点的距离为11，则点不可能在左支上，因此，只有解 【例4】(1999上海卷)设椭圆的方程为,双曲线的方程为,且与在第一象限内只有一个公共点.（）试用表示点的坐标;（设是椭圆的两个焦点,当变化时,求的面积的值域;（）略.本题的第（）问比较简单,可以求出:,第()问也可得出 ,再往下做下去,就要求函数的值域,这就需要定义域,如何求的范围呢?许多考生不知所措,找不到头绪,其实,是在审题时,对于一个重要的隐含条件熟视无睹了,这就是,再结合()的结果就可以得到函数的定义域,下面的解题过程就不困难了.审题应该贯穿于解题的全过程,有些隐含条件是在解题的过程中

23、出现,也容易不被注意.4解题目标是什么？能否把这个题目转化为曾经做过的题目解题的目标是什么?要求是什么?能否理解已知条件和求解目标的含义？根据已知条件和解题目标,要思考“你是否知道一个可能用得上的定理？”，由已知条件可以推出哪些对解题目标有用的东西；所求解的题目与以前曾经做过的哪个题目相类似,即这个题目是否好像见过面?能否把这个题目转化为曾经做过的题目【例1】设， 求证：()()有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立如何理解这个求解目标?对于()有两个角度：第一个角度：化为，因而证明的问题就转化为求的最小值为求一个函数的最小值是一个熟悉的问题第二个角度：把看作是的函数，记作，则证明的问题就转

24、化为证明函数的最大值是求一个函数的最大值是一个熟悉的问题第一个角度：求得最小值令，则，当时，由，得，当时，为减函数，当时，为增函数，所以在内的最小值是故当，时，成立第二个角度：令，则，由，得当时，为增函数，当时，为减函数，所以当时，取得最大值故当，时，成立对于(),如何理解对任意正实数成立.实际上是.而由()可知关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即， 又因为，不等式成立的充分必要条件是，以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立【例2】已知,函数和的定义域均为区间,它们的值域依次是和,若存在使得成立，求的取值范围.如何理解“存在使得成立”，存在，使得成立这是一个能成立

25、的问题，即在区间上，即或于是，若存在使得成立，求的取值范围的问题就转化为解不等式或的问题容易证明,.于是, .【例3】已知,函数和的定义域均为区间,它们的值域依次是和，若对，使得成立，求的取值范围如何理解对，使得成立，实际上是的取值范围要大于的取值范围，即这就转化为是的子集时求的取值范围所以解得20090423【例4】已知函数 若函数在区间上不单调，求的取值范围函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 (1) 若在上有唯一解，根据零点存在定理，有 ， 即 ， 整理得：，解得(2) 当或,解得.当时,则在区间上单调,当时,则在区间上单调;而当时,则在区间上不单

26、调所以(3) 若在区间上有两个不相等的实数根,则解得且上.综合以上,另一种理解角度是因为函数在区间不单调，则极值点位于区间内，由,解得因而或解得或，所以从解题目标着眼，下面的一组形似质异的问题值得注意。【例1】(2000上海卷)(1)已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;(2)已知当的值域是,试求实数的值.这两问给出的函数的表达式相同,的范围相同,的取值区间也相同,但是,由于设问的含义不相同,所以解题的目标也不相同.所以,审题的关键在于弄清解题的目标,弄清“对任意恒成立, ”与“当的值域是,”的区别.本题的第(1)问是一个恒成立问题;第(2问目标是的值域是,这一点与恒成立不同,即仅仅要求是不行

27、的,还需的最小值恰恰等于,因此,是一个恰成立问题,【例2】已知函数.(1) 若不等式在区间内有解,求实数的取值范围;（2）若方程在区间内有解,求实数的取值范围. 这个题目给出的函数相同,自变量的取值区间相同,解题的目标相同,都是研究求解问题,都是求参数的取值范围问题,但是,“形似质异”,实际的解法也自然不同. 【分析及解】(1)不等式在区间内有解,是指只要有一个属于区间的值满足不等式就可以,因此是一个不等式能成立的问题, 由得,设, 则不等式在区间内有解,等价于在区间的最大值. 由在区间上是增函数,则,所以. 于是, 实数的取值范围是. （2）方程在区间内有解,是指对于的每一个取值,都使方程至

28、少有一个解在区间内,从另一个角度,就是在区间内的每一个值,都可以通过方程求出的值,由得,设,则方程在区间内有解,等价于在定义域的情形下,求函数的值域.由在区间上是增函数,则,而,所以,于是, 实数的取值范围是.【例3】（据2009广东卷理20，文21改）已知函数(1) 如何取值时，函数存在零点，并求出零点W.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）设，如何取值时，不等式有解，解题目标是：求使函数存在零点，即有解，也就是即方程有解，(这是转化意识).如何理解方程有解呢？我们用函数观点来思考（函数意识）方程有解，则每一个解得值就对应一个的值，因此可以转化为求函数的值域这样解题就有了思路令,则,于

29、是，其图象顶点的纵坐标为所以，当时，的值域是，当时，的值域是，即，且或，时，函数存在零点当时, 方程有一个解：，此即函数零点；当,此时，函数零点；当 且，或者且时，函数存在两个零点，顺便指出，如果把题目化成不等式有解，就不是一个求函数的值域问题了，而成为一个不等式能成立的问题，这时设，不等式有解就等价于的问题了这两个问题就是“形似质异”问题【例4】（1）若函数的定义域是,求的取值范围;（2）若函数的值域是,求的取值范围;【分析及解】设.(1)是指对所有,恒成立,即,解得.(2)是指要取遍所有正数,即,也就是说与轴至少有一个交点.解得.【例5】（1）已知对所有,使成立,求实数的取值范围;（2）已

30、知存在,使成立,求实数的取值范围;【分析及解】设.(1) 是不等式恒成立问题,等价于函数在的最小值大于,解得.(2) 是不等式能成立问题,等价于函数在的最大值大于,解得.【例6】（1）若函数的值域为,求的值;（2）若函数对定义域内的任意值,都有,求的取值范围;【分析及解】（1）是指的最大值为,最小值为时,求的值.已知函数可化为,该方程有实数解,则或,即和是方程的两个根,于是.(2)是指对定义域内的任意值,含的不等式恒成立,解得.【例7】已知两个函数，其中为实数.(1)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (2)若对任意的，都有，求的取值范围.【分析及解】 (1) 令,问题转化为 在 上恒成立,

31、为此只需在上的最小值 即可, 由, 得 或 . , 由, 解得 . (2)由题意可知当时,都有. 由 得., , . 由得, , , ,.则, 解得. 所以,第(1)问是一个函数的恒成立问题,而第(2)问是针对两个函数的恒成立问题.【例8】（1）在等比实数列中,求的值.（2）在等比实数列中,求的值.【分析及解】 (1)由得,再由得或.(2) 由得,再由得或,但与应同号,故应舍掉.【例9】(1)已知,求的最大值;(2) 已知,求的最大值.【分析及解】(1) .当且仅当时, 等号成立.所以, 的最大值等于.(2)如果用(1)的解法,有但是,不可能有且同时成立,解法有误.正确的解法是,.当且仅当且时

32、, 等号成立.【例10】甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球(1) 从甲袋中有放回地摸5次球,求恰有3次摸到红球的概率.(2) 从甲袋中有放回地摸5次球,求第2,3,5次摸到红球的概率.(3) 从甲袋中有放回地摸球,有3次摸到红球即停止,求恰好摸5次停止的概率.【分析及解】(1)(恰有3次摸到红球);(2)(第2,3,5次摸到红球);(3)前4次有2次摸到红球,第5次一定摸到红球,于是有(恰好摸5次停止).三细节决定成败 解题时，即使大方向都正确，但是不注意细节，照样会犯错误，照样会丢分，不注意细节既是思维品质问题，又是思维能力问题，也是基础知识理解和掌握得不够扎实的表现。在高考复习中，必须

33、关注细节，其中包括审题方面的细节，知识理解的细节，运用公式的细节，解题过程的细节等。1.细节出在对基本概念的掌握上【例1】设是由正数组成的等比数列，是其前项和.证明：【一个解法】欲证,只需证,即证：,由对数函数的单调性，只需证因为所以因此原不等式成立.【评析及正解】在利用等比数列前项和公式时，忽视了的情况.正确的解法是欲证,只需证2,即证：由对数函数的单调性，只需证,由已知数列是由正数组成的等比数列，所以.若,则 0；若,则所以因此原不等式成立.【例2】已知函数在点处取极值，且函数在区间内是减函数，求的取值范围.【一个解法】,由,得所以 当时,即在上递减,因此,即,解得.故的取值范围为【评析及

34、正解】可导函数的驻点可能是极值点,也 可能不是极值点.例如,函数,其导数在点处有,即点是函数的驻点,但从在上是增函数可知, 点不是函数的极值点,因此,满足的点是它为函数的极值点的必要而不充分条件. 本题由,得只能说是是函数的驻点的条件,它究竟是不是极值点,还需要验证. 把代入得 ,显然,时,此时, 不是极值点,与已知条件不符合,故的取值范围为.2.细节出在对定义域的忽视上【例1】已知函数 的值域为( ). A. B. C. D. 【一个解法】由已知设则,对当时有当时有因此, 的值域为,而选C.【评析及正解】这个解法有没有问题?解答错了,细节出在的定义域.事实上,由的定义域是,求的定义域时,应为

35、从而所以, 当时有因此, 的值域为,而选B.,【例2】（2009年全国卷理22第（I）问）设函数有两个极值点，且求的取值范围，并讨论的单调性；【一个解法】令，因为函数有两个极值点，则，(1) 当时，在内为增函数；(2) 当时，在内为减函数；(3) 当时，在内为增函数【评析及正解】细节出在定义域上，该函数的定义域为，因此，函数的两个极值点必须在定义域内，即满足，从而应满足，相应的单调区间也应在定义域内讨论，正确的解法是 令，其对称轴为，由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得(1) 当时，在内为增函数；(2) 当时，在内为减函数；(3) 当时，在内为增函数；【例3】求函数的值域

36、【一个解法】所以所以函数的值域【评析及正解】解题时没有注意定义域这一细节函数的定义域是因此，于是，所以函数的值域是3.细节出在没有弄清已知条件上【例1】（2009辽宁卷文12） 已知偶函数在区间单调增加，则满足的的取值范围是（ ）A B C D 【一个解法】因为在区间单调增加且，则，解得故选【评析及正解】本题忽略了函数是偶函数这个已知条件，由于是偶函数,故所以，得,再根据的单调性，得 解得故选【例2】已知，二项式按的降幂排列后，第二项不大于第三项，求的取值范围【一个解法】由得 ，即，因为，所以，又因为，所以，解得【评析及正解】这个解答看起来天衣无缝，完美无缺，但是这个结果正确吗？例如，则由得，

37、这个结果与已知的矛盾为什么呢？我们思考一下，有哪个细节除了毛病？从已知入手分析题目给出的条件是否在解题中得到充分利用？从解题过程中好像已经都用上了，但是不是充分利用了呢？这里有一个问题是：由已知条件是否也给出一个的取值范围？解得，即或，因此要得到正确的结果需要解或解得这是正确的结果.【例3】（2009全国1卷理19） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，已知前局中，甲、乙各胜局。（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设表示从第局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望。【一个解法】

38、记表示事件：第局甲获胜，；表示事件：第局乙获胜，；（I）记表示甲获得这次比赛胜利的事件甲获得这次比赛胜利的可能是或，其获胜的概率是（II），由于各局比赛相互独立，所以，。的分布列为。【评析及正解】本题的错误在于审题。题目已经明确地给出了“已知前局中，甲、乙各胜1局”，即前两局已经发生了因而在解答时就不需要考虑前两局的概率了，正确的解法是记表示事件：第局甲获胜，；表示事件：第局乙获胜，；（I）解法记表示甲获得这次比赛胜利的事件由于前两局中甲、乙各胜1局，所以，甲获得这次比赛胜利的条件是甲先胜局由于比赛结果相互独立,所以解法2甲获得这次比赛胜利的可能是或，其获胜的概率是（II）由于比赛结果相互独立

39、,所以,.(或)的分布列为.【例4】在等腰直角中，在斜边上任取一点，求的概率【一个解法】记“”为事件(1)由于点随机地落在线段上的任一点是等可能的，则它的所有等可能基本事件所在区域是线段在上截取，当点位于线段上时，因为，是等腰三角形，则，又，则【评析及正解】根据几何概型的概念，应该是对于一个随机试验，我们将每一个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而每一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定的点对于本题，由于点随机地落在线段上的任一点是等可能的，则它的所有等可能基本事件所在区域是线段上截取，当点位于线段上时，则随机事件中等可能基本事

40、件所在的区域是线段，则如果把题目改为：在等腰直角中，过直角顶点在内部任作一条射线，与线段交于点，求的概率上面的解法就是正确的这是因为所有等可能基本事件是“在内部任作一条射线”，所以，所有等可能基本事件所在区域是；当时，射线在内，则随机事件中等可能基本事件所在的区域是，则因此这是两个随机事件相同，但是由于基本事件不同，而概率不同的问题由此，可以看出解几何概型的问题的基本步骤是：(1) 找出所有等可能的基本事件；(2) 找出所有等可能的基本事件所在的区域；(3) 找出随机事件中等可能基本事件所在的区域；(4) 由区域决定测度；(5) 计算几何概率4.细节出在对解题目标的理解上【例1】（2009年山

41、东卷理11） 在区间上随机取一个数,的值介于到之间的概率为( )A. B. C. D. 【一个解法】在区间上随机取一个数,当 时, ，所以，又由题设， 则的值介于到之间的概率，故选【评析及正解】错误在于没有明确解题目标，目标是随机变量，因此是研究的取值区间，而不是研究的取值区间 在区间上随机取一个数,区间长度是，因为,则或，所以或，区间长度为，于是的值介于到之间的概率为.故选A.5.细节出在运算的过程上【例1】已知集合，若集合是集合的真子集，则正实数的取值范围是( )(A) (B) (C) (D) 【一个解法】由题设，因为集合是集合的真子集，则解得故选【评析及正解】解法错在忽略了端点是否重合的

42、情形正确的解法是上面解出解得之后，考虑的情形当时，此时，集合是集合的真子集，由以上，正实数的取值范围是，故选【例2】（2009年湖北卷文19）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足, .()求数列的通项公式：（）若数列和数列满足等式： ，求数列的前项和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【一个解法】 （）由()得因为 , 所以 , 得 ,所以,于是【评析及正解】解题过程中，忽视了的范围，在上面的解法中，式实质上是对的正整数恒成立的等式，因此，只对成立，而时，由等式，即，所以，因此【例3】（2004全国卷）已知数列，满足，则 有的同学是这样解的： 两式相减得 即 于是， 即.这个结果是不正确的.例如,由题意,而由 得.这里有一个细节,即式成立的条件是因此, 式的最后一个因式只能是,因而式的正确结果