2012年全国各地中考数学解析汇编18图形的相似与位似.doc

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1、12999数学网 2012年全国各地中考数学解析汇编18 图形的相似与位似 15（2012北京，15，5）已知，求代数式的值【解析】【答案】设a=2k,b=3k，原式=【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质（2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）AB C D2考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：根据已知得四边形ABEF为正方形。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似所以

2、DF:EF=AB:BC 即 （AD-1）:1=1:AD 整理得：,解得由于AD为正，得到AD=，本题正确答案是B.点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。28.3相似三角形的判定 （2012山东省聊城，11，3分）如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（ ）A.BC=2DE B. ADEABC C. D. 解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE；因DE/BC，所以ADEABC，AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC，.所以选项D错误.答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例

3、关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在ABC中，C90，将ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MNAB，MC6，NC，则四边形MABN的面积是AB CD（第10题图）【解析】由MC6，NC，C90得SCMN=，再由翻折前后CMNDMN得对应高相等；由MNAB得CMNCAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得SCMN：S四边形MABN=1:3，故选C.【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查

4、了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E分别在AB、AC上，且ABC=AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_。10解析：ABC=AED，BAC=EADAEDABC，DE=10答案：10点评：本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比，通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。 28.4 相似三角形的性质 (2012重庆，12，4分)已知ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC与DEF的面积之比为_解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出

5、答案。答案：9：1点评：本题考查相似三角形的基本性质。（2012浙江省衢州，15，4分）如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若DEF的面积为a，则ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出DEFCEB，DEFABF，进而利用相似三角形的性质分别得出CEB、ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理（2012山东省荷泽市，16(1),

6、6）(1)如图，DAB=CAE，请你再补充一个条件_,使得ABCADE，并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】 -2分 理由：两角对应相等，两三角形相似-6分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.（湖南株洲市6,20题）（本题满分6分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）、求证：COMCBA； （2）、求线段OM的长度.【解析】要证明COMCBA就

7、是要找出COM=B即可，求线段的长就是利用第（1）问中的相似建立比例式，构造出OM的方程求解.【解】（1）证明： A与C关于直线MN对称ACMNCOM=90在矩形ABCD中，B=90COM=B-1分又ACB=ACB-2分COMCBA -3分（2）在RtCBA中，AB=6，BC=8AC=10- -4分OC=5COMCBA-5分OM=-6分【点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等，两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似及三边对应成比例，两三角形相似，求线段的长的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.（2012湖南娄底，25，10分）如图13，在ABC中，AB=A

8、C，B=30，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N. （1）求证：BMDCNE； （2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x 之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值.BDECNAFM【解析】（1）由AB=AC，B=30，根据等边对等角，可求得C=B=30，又由DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得MDB=NEC=120，BMD=B=C=CNE=30，即可判定：BMDCNE；（2）首先过点

9、M作MHBC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在RtDMH中，利用正弦函数，即可求得答案；（3）首先求得ABC的面积，继而求得BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案【答案】（1）证明：AB=AC，B=C=30.DEF是等边三角形，FDE=FED=60，MDB=NEC=120，BMD=B=C=CNE=30，BMDCNE；（2）过点M作MHBC，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，MH=MF，设BD=x，DEF是等边三角形，FDE=60，B=30，BMD=FDE-

10、B=60-30=30=B，DM=BD=x，MH=MF=DF-MD=4-x，在RtDMH中，sinMDH=sin60=，解得：x=，当BD=时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；（3）过点M作MHBC于H，过点A作AKBC于K，AB=AC，BK=BC=8=4。B=30，AK=BKtanB=4=，SABC=BCAK=8=，由（2）得：MD=BD=x，MH=MDsinMDH= x，SBDM=xx=.DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，BMDCNE，SBDM：SCEN=，SCEN=，y=SABC-SCEN-SBDM= =（0x4），当x=2时，y有

11、最大值，最大值为【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识此题综合性较强，注意数形结合思想与方程思想的应用 (2012重庆，12，4分)已知ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC与DEF的面积之比为_解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9：1点评：本题考查相似三角形的基本性质。（2012浙江省衢州，15，4分）如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若DEF的面积为a，则ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)【解

12、析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出DEFCEB，DEFABF，进而利用相似三角形的性质分别得出CEB、ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理（2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，DAB=CAE，请你再补充一个条件_,使得ABCADE，并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】 -2分 理由：两角对应

13、相等，两三角形相似-6分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.（2012山东泰安，17，3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则FC与DG的面积之比为（ ）A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：9【解析】设CF=x，则BF=3-x，由折叠得F=BF=3-x,在RtFC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可证RtFCRtDG，AR所以SFC与SDG的面积为（：1）2=.【答案】D.【点评】本题综合考查了折叠的

14、性质、勾股定理、相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。（2012年四川省德阳市，第11题、3分）如图，点D是ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么PBC的面积与ABC面积之比为A. B. C. D.【解析】连接FP, 延长AP交BC的延长线于H, 过点A、P分别作,垂足M、N.四边形BDEF是平行四边形，,又APBE，E、F、P共线，即,四边形APEB是平行四边形，EP=AB，又 EF=DB=AB=PF,PF=AB,ABHPFH,. 【答案】D.【点评】此

15、题应用了平行四边形，相似三角形和三角形面积的相关知识，能够合理作出辅助线是解决本题的关键，（2012山东省荷泽市，18,10）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形ABC为直角三角形；（2）判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，它的三个顶点为中的3个格点并且与ABC相似；（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）【解析】在网格中借助勾股定理求ABC三边的长，然后利用勾股定理的逆定理来判断ABC的形状.【答案】解：（1）根据勾股定理，得，BC=5

16、 ； 显然有，根据勾股定理的逆定理得ABC 为直角三角形（1） ABC和DEF相似根据勾股定理，得，BC=5ACBFEDP1P2P3P4P5，ABCDEF（3）如图：P2P4 P5【点评】在网格中计算线段的长，勾股定理是首先的计算方法，在网格中证明三角形相似，常用的方法是两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例.（2012安徽，22，12分）如图1，在ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；解：（2）求证：DG平分EDF;证：（3）连接CG，如图2，若BDG与DFG相似，求证：BGCG.证：解

17、析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知ABC的边长，由三角形中位线性质知，根据BDG与四边形ACDG周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.解（1）D、C、F分别是ABC三边中点DEAB,DFAC，又BDG与四边形ACDG周长相等即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=ABAGBG=（2）证明：BG=，FG=BGBF=FG=DF,FDG=FGD又DEABEDG=FGDFDG=EDGDG平分EDF（3）在DFG中，FDG=FG

18、D, DFG是等腰三角形,BDG与DFG相似,BDG是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,则CD= BD=DG,B、CG、三点共圆,BGC=90,BGCG点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.（2012山东泰安，28，10分）如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EFAE，EF分别交AC、CD于点M、F，BGAC，垂足为G，BG交AE于点H。（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得ABE=ECF=9

19、0，又由EFAE，利用同角的余角相等，可得BAE=CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：ABEECF；（2）由BGAC，易证得ABH=ECM，又由（1）中BAH=CEM，即可证得ABHECM；（3）首先作MRBC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，AEB=45，即可求得MR的长，又由EM=，即可求得答案【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABE=ECF=90AEEF，AEB+FEC=90AEB+BEA=90，BAE=CEF，ABEECF.（2）ABHECM证明：BGAC，ABG+BAG=90，ABH=ECM，由（1）知，BAH=CEM，ABHECM.（3）解：

20、作MRBC，垂足为R，AB=BE=EC=2，AB：BC=MR：RC=2，AEB=45，MER=45，CR=2MR，MR=ER=RC=，EM=【点评】考查了矩形的性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识解题时注意数形结合思想的应用，注意掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”定理的应用（2012贵州铜仁，8，4分如图，六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）AE=2K B. BC=2HI8题图C. 六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D.S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJK【解析】A、六边形ABCDEF六边形GH

21、IJKL，E=K，故本选项错误； B、六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，BC=2HI，故本选项正确； C、六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长2，故本选项错误；D、六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误【解答】B.【点评】本题考查相似图形的性质.两个图形相似，对应角相等，边长的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.解答此题应注意相似图形边长的比、周长的比、面积比与相似比之间的关系.（2012陕西5，3分）如图，在是两条中线

22、，则（）A12 B23 C13 D14【解析】由题意可知，为的中位线，则CEDCAB，故选D【答案】D【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义、中位线的性质、相似三角形的性质等.难度中等.（2012湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）（第6题）yxAOCBDEFA(，0)B(，)C(，)D(2，2) 【解析】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的倍【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似(2012山东日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于

23、点F, 若EC=2BE,则的值是（ ）ABCDFEA. B. C. D.解析：如图，由菱形ABCD得ADBE,，所以BEFADF, 又由EC=2BE,得AD=BC=3BE,故=.解答：选B点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.（2012湖南省张家界市10题3分）已知与相似且面积比为425，则与的相似比为 【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】与的相似比为=.【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.（2012山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： （用相

24、似符号连接）【解析】（）由于BDE=CDFBED=CFD=90，可得BDECDF。由于A=A，AFB=AEC=90，可得ABFACE。解：（1）在BDE和CDF中BDE=CDFBED=CFD=90，BDECDF（2）在ABF和ACE中，A=A，AFB=AEC=90，ABFACE【答案】BDECDF，ABFACE【点评】本题考查相似三角形的判定方法三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等 (2012贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，AOD的面积为3，则BOC的面积为_【解析】由题意知ADBC，所以OAD=

25、OCB，ODA=OBC，所以OADOCB又AD=1，BC=3，所以OAD与OCB的相似比为1:3，面积之比为1:9，而AOD的面积为3，所以BOC的面积为27【答案】27【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键（2012贵州遵义，7,3分）如图，在ABC中，EFBC，=，S四边形BCFE=8，则SABC=（）A9B10C12D13解析：求出的值，推出AEFABC，得出=，把S四边形BCFE=8代入求出即可解：=，=，EFBC，AEFABC，=，9SAEF=SABC，S四边形BCFE=8，9（SABC8）=SABC，解得：SABC=9故选A答案：A点评：本题考查

26、了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目（2012湖北省恩施市，题号20 分值 8）如图8，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B1，因而EB1=EB。类似的，在AB上折出点B11使AB11=AB1。这是B11就是AB的黄金分割点。请你证明这个结论。【解析】设BE=1，可知BC=AB=2，AE=，由EB1=EB得AB11=AB1= -1,根据黄金分割意义AB11：AB=（-1）：2，问题得证。【答案】证明：设BE=1，则BC=AB

27、=2，AE=，EB1=EB，AB11=AB1= -1,AB11：AB=（-1）：2，B11是AB的黄金分割点。【点评本题既考查学生阅读理解能力，又考查考查黄金分割点的意义，难度中等。数学新课程标准非常重视培养学生的动手操作能力，提倡让学生在操作中感受和体验数学知识的形成和发展 把握折叠过程中的等边是解答此类问题的关键，勾股定理是计算折叠问题中线段长度的重要工具。（2012南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE= 厘米.解析：BCE与CDE均为等腰三角形，且两个底角DEC=BCE，BCECDE，=, =,DE

28、=3.6厘米.答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.（2012湖北黄冈，25，14）如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m0)与x 轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m的值(2)在(1)的条件下，求BCE 的面积(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角与BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）把M(2，2)代入y=-(x+2)(x

29、-m)即可求出m；（2）求出B、C、E三点坐标即可求出SBCE； （3）利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质可探索解题思路；（4）分两种情况来探讨解题过程，最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题.【答案】解：（1）依题意把M(2，2)代入y=-(x+2)(x-m)得：2=-(2+2)(2-m)，解得 m=4. （2）由y=0得：-(x+2)(x-4)=0 得 x1=-2，x2=4 B（-2，0） C（4，0）. 由x=0得：y=2 E（0，2） SBCE=BCOE=62=6. （3）当m=4时，C1的对称轴为x=（-2+4）=1，点B、C关于直线x=1对称.连EC交对称轴于点H，则H

30、点使得BH+EH最小.设直线EC的解析式为y=kx+b，把E（0，2）、C（4，0）代入得y=-x+2，把x=1代入得H（1，）.（4）分两种情况：当BECBCF时，则EBC=CBF=45， 即，作FTx轴于点T，可设F（x，-x-2）（x0），则-x-2=-(x+2)(x-m) x+20 x=2m，F（2m，-2m -2）.BF=，BE=，BC=m+2 . 解得m=，又m0，m=.当BECFCB时，则，EBC=CFB，BTFCOE，可设F（x，- （x+2）（x0），- （x+2）=-(x+2)(x-m)，x+20 x=m+2，F（m+2，- ），EC=，BC=m+2，BF=，整理得0=16

31、，显然不成立.综上：在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角与BCE相似，m=.【点评】本题综合考查了二次函数性质、轴对称性质、相似三角形性质等知识，但解题的关键要充分运用方程思想和分类思想，同时解题过程中大量的数学计算和代数式变形也是不小的考验.难度较大.（2012河南，22，10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值.（1）尝试探究 在图1中，过点E作交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和E

32、H的数量关系是 ，的值是 （2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若则的值是 （用含的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，则的值是 （用含的代数式表示）. 解析：（1）如图1，利用得EHFABF，对应边成比例得AB=3EH，然后利用中位线定理得CG=2EH，又CD=AB，得出CD与CG的关系；（2）与（1）方法道理都相同；（3）此问是（1）、（2）类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件，所以添加如图3，过点E作EHAB交BD的延长线于点H，则有,两式相比就可得出（1）(2)作EHAB交BG

33、于点H，则EHFABFAB=CD，EHABCD，BEHBCG，CG=2EH（3）点评：这是一道几何综合题，利用平行线截三角形相似，对应线段成比例，关键是研究问题的方法，类比、转化、从特殊到一般等思想方的渗透，这类题的一层一层推进，但方法总是类似的，原理是一样的.（2012湖北武汉，24，10分）已知ABC中，AB2，AC4，BC6（1）如图1点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使AMN与ABC相似，求线段MN的长；（2）如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的1010正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，请你在所给的网格中画出格点A1B1C1，使得A1B1C1与ABC

34、全等（画出一个即可，不需证明）试直接写出在所给的网格中与ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）解析：1、当AMNABC时，易证MN为中位线，MN=3，当AMNACB时,有,根据AM,AC,BC的值，可求出MN。2 从整数边BC出发,选定BC,然后分别过B、C作边2、4长即可，关键在于怎样在格点中找到面积最大的相似三角形，可考虑在格点中先画出最长的三角形最长边（AC的对应边）正方形对角线，从而找到最大三角形。解：1、如图，当AMNACB时,有M为AB中点，AB=2 AM=BC=6，AC=4 MN=当AMNABC时，有ANM=C,=MN=3MN的长为或32、（1）如图

35、3（答案不唯一）（2）8个，如图4（答案不唯一）点评：本题既考察了相似三角形的性质，也考察了图形的变换作图，在于学生需分两种情况讨论，学生容易忽略；（2）问难度在于怎样找到相似三角形中面积最大的以及找出所有这样的三角形的个数，解题时关键在于找到网格中的最长线段，让它与三角形最长边对应。题目难度较大。 (2012山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BFAE，垂足为H,交CD于F,作CGAE,交BF于G. (1)求证CG=BH;(2)FC2=BFGF;(3) =.BACDHEFG解析：(1)可证ABHBCG；(2)证CFGBFC可得；(3)先证BCGBF

36、C得BC2=BFBG,结合AB=BC可得.证明： （1）BFAE，CGAE, CGBF, CGBF. 在正方形ABCD中，ABH+CBG=90o, CBG+BCG=90o, BAH+ABH=90o,BAH=CBG, ABH=BCG, AB=BC,ABHBCG,CG=BH; (2) BFC=CFG, BCF=CGF=90 o,CFGBFC, ,即FC2=BFGF; (3) 由（2）可知，BC2=BGBF,AB=BC,AB2=BGBF, =即= 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.（2012，黔东

37、南州，21）如图，O是ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作O的切线交AC的延长线于点D。（1）求证：ABCBDC。（2）若AC=8，BC=6，求BDC的面积。解析：第（1）小题要证三角形相似，由题意只需证两角相等即可.第（2）小题要利用相似三角形的对应边成比例求出 的长，这样就可以求出BDC的面积 .解：(1)证明：., . 又, ABCBDC.(2)ABCBDC,.点评：本题以基本图形：三角形与圆相结合为背景，综合考察了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的面积计算等知识，是一道比较简单的题目，能让学生发挥自己的思维水平，难度较小.（2012四川宜宾，24，12分）如图，在ABC

38、中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。（1） 求证：ABEECM;（2） 探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3） 当线段AM最短时，求重叠部分的面积。【解析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得B=C，又由ABCDEF与三角形外角的性质，易证得CEM=BAE，则可证得：ABEECM；（2）首先由AEF=B=C，且AMEC，可得AEAM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全

39、等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）首先设BE=x，由ABEECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=+x=（x3）2+，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积【答案】（1）证明：AB=AC,B=C,又AEF+CEM=AEC=B+BAE又ABCDEF,AEF=B,CEM=BAE,ABEECM（2）解：AEF=B=C,且AMECAMEAEF,AEAM当AE=EM时，则ABEECMCE=AB=5，BE=BC-EC=1当AM=EM时，MAE=MEAMAE+BAE=MEA+CEM即CAB=CAE又C=C,CAECBA,CE=,BE=6

40、-=（3）解：设BE=x，又ABEECM,CM=+AM=5-CM=5-+=+,当x=3时，AM最短为，又当BE=x=3=,点C为BC的中点，AEBC,AE=4此时，EFAC,EM=,SAEM=【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键本小题也可以用几何法求解。（2012年广西玉林市，10，3）如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC=，若点A的坐标为（1，2），则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是（）分析：延长AB交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比解：在正方形ABCD中，AC=BC=AB=3，延长AB交BC于点E，点A的坐标为（1，2），OE=1，EC=AE=3-1=2，正方形ABCD的边长为1，正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是 故选B点评：本题考查了位