2022年相似三角形经典例题解析3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、如何证明三角形相像例 1、如图： 点 G 在平行四边形ABCD 的边 DC 的延长线上 ,AG 交 BC、BD 于点 E、F,就 AGD D；A42FDAAB3E1CDCGBCBEF例 2、已知ABC 中, AB=AC , A=36 , BD 是角平分线,求证：ABC BCD例 3：已知,如图,D为 ABC内一点连结ED、AD,以 BC为边在ABC外作 CBE=ABD, BCE=BAD 求证：DBE ABC 例 4、矩形 ABCD 中, BC=3AB ,E、 F,是 BC 边的三等分点,连结 角形？请证明你的结论；二、如何

2、应用相像三角形证明比例式和乘积式AE 、AF、 AC,问图中是否存在非全等的相像三例 5、 ABC 中,在 AC 上截取 AD,在 CB 延长线上截取BE ,使 AD=BE ,求证： DFAC=BCFE 交 BA的延ADFDA1EEBKCB2CM例 6：已知：如图,在ABC中, BAC=90 0,M是 BC的中点, DMBC于点 E,长线于点 D；求证：（ 1）MA 2=MD ME；（ 2）AE2MEAD2MD例 7：如图 ABC中, AD为中线, CF为任始终线,CF交 AD于 E,交 AB于 F,求证： AE：ED=2AF： FB；三、如何用相像三角形证明两角相等、两线平行和线段相等；例

3、8：已知：如图E、F 分别是正方形ABCD的边 AB和 AD上的点,且EBAF1；求证： AEF=FBD A32CABAD3AFDDRCCEDCE1GSQAFEFOEA CPBOBFDAGBBDB例 9、在平行四边形ABCD 内, AR、BR、CP、 DP 各为四角的平分线,求证： SQ AB ,RP BC 例 10、已知 A、C、E 和 B、F、D 分别是 O 的两边上的点,且AB ED,BC FE,求证： AF CD 例 11、直角三角形 ABC 中, ACB=90 , BCDE 是正方形, AE 交 BC 于 F,FG AC 交 AB 于 G,求证： FC=FG 例 12、Rt ABC

4、锐角 C 的平分线交 AB 于 E,交斜边上的高 AD 于 O,过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F,求证：AE=BF （答案）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 1 分析： 关键在找“ 角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,仍应结合详细的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角；本例除公共角G 外,由 BC AD 可得 1=2,所以 AGD EGC；再 1= 2（对顶角）,由 AB DG 可得 4=G,所以EGC EAB ；例 2 分析： 证明相像三角形应先找相等的角,明显

5、运算也是一种常用的方法；证明： A=36 , ABC 是等腰三角形,C 是公共角,而另一组相等的角就可以通过运算来求得；借助于 ABC= C=72 又 BD 平分 ABC ,就 DBC=36 在 ABC 和 BCD 中, C 为公共角, A=DBC=36 ABC BCD 例 3 分析：由已知条件 ABD=CBE, DBC公用；所以 DBE=ABC,要证的DBE和 ABC,有一对角相等,要证两个三角形相像,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例；从已知条件中可看到CBE ABD,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决；证明： 在 CBE和 ABD中, CBE=ABD,

6、 BCE=BAD CBE ABDBC =BE 即：BC =ABAB BD BE BD DBE和 ABC中,CBE= ABD, DBC公用 CBE+ DBC=ABD+DBC DBE=ABC且BC =AB DBE ABC BE BD例 4 分析： 此题要找出相像三角形,那么如何查找相像三角形呢？下面我们来看一看相像三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“ 平行线型” 的相像三角形BDAECBEADCDBACE2如图：其中 1=2,就 ADE ABC 称为“ 相交线型” 的相像三角形；B2EAD4BEADBD1AE112C2CC3如图： 1=2, B=D,就 ADE ABC ,称为“ 旋转型” 的

7、相像三角形；观看此题的图形,假如存在相像三角形只可能是“ 相交线型” 的相像三角形,及解：设 AB=a ,就 BE=EF=FC=3a ,EAF 与 ECA 由勾股定理可求得 AE= 2 , 在 EAF 与 ECA 中,AEF 为公共角, 且 AE EC 2 所以 EAF ECA EF AE例 5 分析 ：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF：FE=BC ：AC,再利用相像三角形或平行线性质进行证明：证明：过 D 点作 DK AB ,交 BC 于 K ,ADK AB , DF： FE=BK ：BE 又 AD=BE , DF：FE=BK ：AD ,而 BK ：AD=BC ：AC D 2 1

8、即 DF：FE= BC ：AC, DF AC=BC FE 例 6 证明： （1） BAC=90 0,M是 BC的中点, MA=MC, 1=C,EDMBC, C=D=90 0- B, 1=D, 2=2, MAE MDA,MA ME, MA 2=MD ME,B CMD MA2（2） MAE MDA,AE MA,AE MEAE2 MA ME MEAD MD AD MA AD MD MA MD评注： 命题 1 如图,假如 1=2,那么ABD ACB,AB 2=AD AC；命题 2 如图,假如 AB 2=AD AC,那么ABD ACB, 1=2；名师归纳总结 第 2 页,共 6 页- - - - - -

9、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 7 分析 ：图中没有现成的相像形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考虑作平行线构造相像形；怎样作？观看要证明的结论,紧紧扣住结论中“AE：ED” 的特点,作 DG BA交 CF于 G,得 AEF DEG,AE AF；与结论DE DGAE 2 AF AF 1相比较,明显问题转化为证 DG FB；ED FB 1BF 22证明： 过 D点作 DG AB交 FC于 G就 AEF DEG；（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相像）AEAF（1）AF2AFDEDGD为 BC的中点,且 DG BF

10、G为 FC的中点就 DG为 CBF的中位线,DG1BF（2）将（2）代入（1）得：AE2DE1 2BFFB例 8 分析： 要证角相等,一般来说可通过全等三角形、相像三角形,等边对等角等方法来实现,此题要证的两个角分别在两个三角形中,可考虑用相像三角形来证,但要证的两个角所在的三角形明显不行能相像（一个在直角三角形中,另一个在斜三角形中）,所以证明此题的关键是构造相像三角形,证明： 作 FGBD,垂足为 G；设 AB=AD=3k就 BE=AF=k,AE=DF=2k,BD= 3 2 k ADB=45 0, FGD=90 0 DFG=45 0DG=FG= DF2 kBG= 3 2 k 2 k 2 2

11、 kAF FG 12 AE BG 2又 A= FGB=90 0 AEF GBF AEF=FBD 例 9 分析： 要证明两线平行较多采纳平行线的判定定理,但本例不具备这样的条件,故可考虑用比例线段去证明；利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标,挑选适当的比例线段；要证明 SQ AB ,只需证明 AR：AS=BR ：DS；证明：在ADS 和 ARB 中； DAR= RAB= 1 DAB , DCP= PCB= 1 ABC ADS ABR AR BR2 2 AS DSAR BR但 ADS CBQ , DS=BQ ,就, SQ AB ,同理可证, RP BC AS BQ例 10 分析：要证明

12、 AF CD ,已知条件中有平行的条件,因而有好多的比例线段可供利用,这就要进行正确的挑选；其实要证明 AF CD ,只要证明 OA OF即可,因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可胜利；OC OD证明： AB ED,BC FEOA OB,OE OF两式相乘可得：OA OFOE OD OC OB OC OD例 11 分析：要证明 FC=FG ,从图中可以看出它们所在的三角形明显不全等,但存在较多的平行线的条件,因而可用比例线段来证明；要证明 FC=FG ,第一要找出与 FC、FG 相关的比例线段,图中与 FC、FG 相关的比例式较多,就应挑选与 FC、FG 都有联系的比作为过渡,最

13、终必需得到 FC FG（“ ？” 代表相同的线段或相等的线段）,便可完成；. .证明：FG AC BE, ABE AGF 就有 GF AF 而 FC DE AED AFC BE AE就有 CF AFGF CF AF又 BE=DE （正方形的边长相等）DF GF,即 GF=CF；DE AE BE DE AE BE BE例 12 证明： CO 平分 C, 2= 3,故 Rt CAERt CDO,AE ACOD CD又 OF BC,BF AB又 Rt ABD Rt CAD ,AC AB,即 AE BFAE=BF ；OD AD CD AD OD OD一、挑选题1（20XX 年滨州）如下列图,给出以下条

14、件：BACD ；ADCACB ；AC CDAB；AC2AD AB 第 3 页,共 6 页BC其中单独能够判定ABCACD的个数为（）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1 B2 C3 D4 学习必备欢迎下载【关键词】三角形相像的判定. 【答案】 C 2. （20XX年上海市 如图,已知ABCDEF,那么以下结论正确选项（）AAD DFBCBBC CEDFCCD EFBCDCD EFADCEADBEAF【关键词】平行线分线段成比例【答案】 A 3.2022成都 已知 ABC DEF,且AB：DE=1：2,就 ABC 的面积与 DEF 的面积

15、之比为 A1：2 B1：4 C2：1 D4：1 【关键词】【答案】 B4. 20XX 年安顺 如图,已知等边三角形 ABC 的边长为 2,DE 是它的中位线,就下面四个结论：（1）DE=1 ,（ 2） CDE CAB ,（ 3） CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1：4.其中正确的有：A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【关键词】等边三角形,三角形中位线,相像三角形【答案】 D 5.（2022 重庆綦江）如ABC DEF, ABC 与 DEF 的相像比为2,就ABC 与 DEF 的周长比为（）A14 B12 C21 D2【关键词】【答案】 B 6. （20XX 年杭州市）假如一个直角三角

16、形的两条边长分别是6 和 8,另一个与它相像的直角三角形边长分别是3 和 4 及 x,那么 x 的值（）A只有 1 个B可以有2 个C有 2 个以上但有限D有很多个【关键词】相像三角形有关的运算和证明【答案】 B7.20XX 年宁波市） 如图,菱形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,M、N 分别是边AB、AD 的中点,连接OM 、ON、MN,就以下表达正确选项（）A AOM 和 AON 都是等边三角形B四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形第 4 页,共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C四边形AMON 与四边形ABC

17、D 是位似图形学习必备欢迎下载D四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形A B M O N D C 【关键词】位似【答案】 C8. （20XX年江苏省）如图,在 5 5方格纸中,将图中的三角形甲平移到图中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平移方法中,正确选项（）A先向下平移 3 格,再向右平移 1 格B先向下平移 2 格,再向右平移 1 格C先向下平移 2 格,再向右平移 2 格D先向下平移 3 格,再向右平移 2 格【关键词】平移【答案】 D 9.20XX年义乌 在中华经典美文阅读中,小明同学发觉自己的一本书的宽与长之比为黄金比；已知这本书的长为20cm,就它的宽约为A1

18、2.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 【关键词】黄金比【答案】 A10.（20XX 年娄底）小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点 B 时,要使眼睛 O、准星 A 、目标B 在同一条直线上,如图 4 所示,在射击时,小明有稍微的抖动,致使准星 A 偏离到 A ,如 OA=0.2 米, OB=40 米,AA =0.0015 米,就小明射击到的点 B 偏离目标点 B 的长度 BB 为（）A 3 米 B 0.3 米 C0.03 米 D0.2 米【关键词】相像三角形【答案】 B 11.（2022 恩施市）如图,在ABC中,C90,B60,D是 AC

19、上一点, DEAB 于 E ,且CD2,DE1,就 BC 的长为（）A2 B4 33C 2 3D 4 3【关键词】解直角三角形、相像【答案】 B 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12.（20XX 年甘肃白银）如图3,小东用长为学习必备欢迎下载3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,就旗杆的高为（）A12m B10m C8m D7m 【关键词】 相像三角形判定和性质【答案】 A 13.（20XX 年孝感）如图,将放

20、置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕 O 点顺时针旋转90 得 AOB已知 AOB=30 ,B=90 , AB=1,就 B 点的坐标为A3 3B3 23C1 23D3 1 ,2 22222【关键词】旋转【答案】 A 14.（20XX 年孝感）美是一种感觉, 当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时,越给人一种美感 如图,某女士身高 165cm,下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60,为尽可能达到好的成效,她应穿的高跟鞋的高度大约为A4cm B6cm C8cm D10cm 【关键词】黄金比【答案】 C15. （ 20XX 年新疆）如图,小正方形的边长均为1,就以下图中的三角形（阴影部分）与ABC相像的是（）A.名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页