2022年数值分析课程设计含代码.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 成 绩 评 定 表同学姓名信息与运算班级学号数值分析算法案专业课程设计题目科学 例评语组长签字：成果日期20 年月日I 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课程设计任务书学院理学院专 业信息与运算科学同学姓名班级学号课程设计题目数值分析算法案例实践教学要求与任务 : 要求：格式以学校毕业论文格式要求为准,不准粘贴图片,特别公式；对每个试验,要求有：试验基本原理,试验目的,试验内容及数据来源和试验结论；以班级为单位统一装订封皮；6 月 25 日,十八周的周二交论文每人至

2、少四个试验,最少 15 页任务（试验项目） ：线性方程组数值解法 参考题目：（1 列主元 Gauss消去法（ 2） LU 分解法插值法和数据拟合 参考题目：（1）Lagrange 插值（ 2）Newton 插值（ 3）最小二乘拟合数值积分 参考题目：（1）复化 Simpon 积分（ 2）变步长的梯形积分公式（3）龙贝格求积公式常微分方程数值解 Runge-Kutta 方法数值方法实际应用 用数值方法解决实际问题（自选）工作方案与进度支配 : 线性方程组数值解法（4 学时）插值法和数据拟合（4 学时）数值积分（4 学时）常微分方程数值解（4 学时）数值方法实际应用（4 学时）答辩（4 学时）指导

3、老师：专业负责人：学院教学副院长： 201 年 月 日 201 年 月 日 201 年 月 日II 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 摘 要试验方法与理论方法是推动科学技术进展的两大基本方法,但有局限性； 许 多讨论对象, 由于空间或时间的限制, 既不行能用理论精确描述, 也不能用试验 手段实现；数值模拟或称为科学运算突破了试验和理论科学的局限,在科技进展中起到 越来越重要的作用； 可以认为, 科学运算已于试验、 理论一起成为科学方法上不 可或缺的三个主要手段；运算数学的讨论是科学运算的主要组成部分,而数值分析就是

4、运算数学的核心；数值运算是讨论使用运算机来解决各种数学问题的近似运算方法与理论,其 任务是供应在运算机上可解的、理论牢靠的、运算复杂性低的各种常用算法；数值分析的主要内容：1）、数值代数：求解线性和非线性方程组的解, 分直接方法和间接方法两大类；2）、插值、曲线拟合和数值靠近；3）、数值微分和数值积分；4）、常微分和偏微分方程数值解法；本文主要通过 Matlab 软件,对数值分析中的一些问题进行求解,如列主元Gauss消去法, Lagrange 插值多项式,复化Simpson 公式, Runge-Kutta 方法以及数值分析在实际问题中的应用, 并在求解的过程中更加熟识这门课程的主要内 容,以

5、及加强对课程学问的把握；在学习与设计运算方法时,从数学理论角度,学会分析方法的误差、 收敛性和稳固性, 保证运算方法的精确性； 从实际应用的 角度动身, 把握运算方法的结构与流程, 能够把运算方法转换为可在运算机上直 接处理的程序,保证算法的可用性；关键词：列主元 Gauss消去法； Lagrange插值；复化 Simpson 公式；Runge-Kutta III 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 目 录试验一 列主元 Gauss消去法 . 1.1 试验目的 . 1.2 基本原理 . 1.3 试验内容 . 1.4

6、试验结论 . 试验二 拉格朗日插值多项式 . 2.1 试验目的 . 2.2 基本原理 . 2.3 试验内容 . 2.4 试验结论 . 试验三 复化 Simpson 求积公式 . 10 3.1 试验目的 . 10 3.2 基本原理 . 10 3.3 试验内容 . 10 3.4 试验结论 . 12 试验四 龙格 -库塔 Runge-Kutta方法 . 13 4.1 试验目的 . 13 4.2 基本原理 . 13 4.3 试验内容 . 14 4.4 试验结论 . 15 试验五 数值方法实际应用 . 16 5.1 试验目的 . 16 5.2 基本原理 . 16 5.3 试验内容 . 16 5.4 试验

7、结论 . 22 参考文献 . IV 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 试验一 列主元 Gauss消去法1.1 试验目的1 懂得列主元消去法的原理；2 熟识列主元消去法的运算步骤,能用代码编写；3 解决实际问题；1.2 基本原理在次序 Gauss消去法中,必需要求 a kkk 0 k ,1 2 , , n ；否就无法进行运算；即使 a kk k 0,但其肯定值 a kk k 很小,由于舍入误差的影响,也可能会引起很大的误差,从而使上述方法失效；为了使消元过程中减小舍入误差和不至于中断,可以根据不同的自然次序进行消元；

8、在第k 步消元时,增广矩阵为AkBkk1 1 a 11a 1 a 111a 11 , 1a 1 n 1b 112k1 ka2a2 a2a2 2b 2222k12 k2nak1ak11ak1 b kk11（1.1）ak1 k1kkk1 na kkka kkn b kkakak kb n不肯定选取作为主元, 而从同列 ka kknknn1 ,ak1 ka nk1 中选取肯定值最大的作kkk,k为主元素,即 k 1 k 1 a r k m a xk i n a ik（1.2）k 如 a rk 0,此时矩阵不行逆,方程的解不确定,就停止运算；否就,当 rk时,就其增广矩阵中交换第 k 行和第 r 行,

9、即 k k k k a kj a rj j k , k ,1 , n b k b r（1.3）使 a rk k 成为主元；然后再按 Gauss消去法进行消元运算； 于是就得到列主元 Gauss消去法；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.3 试验内容1.3.1 程序来源第一建立一个 gaussMethod.m的文件, 用来实现列主元的消去方法； 文件内 容如下：function x=gaussMethodA,b %高斯列主元消去法,要求系数矩阵非奇特的 n = sizeA,1; if absdetA= 1e-8

10、 error系数矩阵是奇特的 ; return; end for k=1:n ak = maxabsAk:n,k; index = findA:,k=ak; if lengthindex = 0 index = findA:,k=-ak; end %交换列主元 temp = Aindex,:; Aindex,: = Ak,:; Ak,: = temp; temp = bindex;bindex = bk; bk = temp; %消元过程 for i=k+1:n m=Ai,k/Ak,k; %排除列元素 Ai,k+1:n=Ai,k+1:n-m*Ak,k+1:n; bi=bi-m*bk; end

11、end %回代过程 xn=bn/An,n; for k=n-1:-1:1; 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - xk=bk-Ak,k+1:n*xk+1:n/Ak,k; end; end 然后调用 gaussMethod 函数,来实现列主元的高斯消去法；建立一个文件gauss,内容如下：clear disp* x=gaussMethodinput请输入系数矩阵： ,input请输入常数列： disp* 1.3.2 实例分析例：在 Matlab 上,利用列主元法求线性方程组的解 : x 1 2 x 2 x 3 4 x

12、 4 132 x 1 0 x 2 4 x 3 3 x 4 284 x 1 2 x 2 2 x 3 x 4 203 x 1 x 2 3 x 3 2 x 4 6解：运行程序,根据提示输入方程的系数矩阵及常数列,如下所示：* 请输入系数矩阵： 1 2 1 4;2 0 4 3;4 2 2 1;-3 1 3 2 请输入常数列： 13;28;20;6 x = 3 -1 4 2 * 即该方程的解为：x3,14 ,21.4 试验结论把向量运算得到的解带入方程组,验证正确性, 和其他的方法比较, 列主元具有肯定的简洁性, 比较简洁实现； 防止使用其他方法的误差或不能进行性；而列主元也有肯定的限制,要求行列式的值

13、不为 0；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 试验二 拉格朗日插值多项式2.1 试验目的1）熟识简洁的拉格朗日插值多项式的基本概念；2）熟识 Lagrange公式及源代码,会利用它来运算基本函数；3）能构造出正确的插值多项式；2.2 基本原理设函数yynfx在区间 a,b上有定义,且已知在点ax 0x 1xxnb上的值y0,y 1,如存在一个次数不超过n 的多项式（2.1）Lnxa0a 1xanxn使其满意就称Lnx为fL nxkyk,k0 ,1,nxkk0 ,1,n（2.2）x 的 n 次插值多项式,称点为插值

14、节点,称条件（ 2.2）为插值条件；包含插值节点的区间成为插值区间；通过平面上不同的两点可以确定一条直线经过这两点,就是拉格朗日线性插值问题,对于不在同始终线的三点得到的插值多项式为抛物线；拉格朗日是比较基础的方法,本身比较简洁实现,简洁懂得；给定 n+1 个不同节点,构造fx0,x 1,x2,j,ix的 n 次拉格朗日插值多项式：nn1xxj,i,1,2,n1（2.3）Lx y ilix ,lixj j1 ixixi02.3 试验内容2.3.1 程序来源第一建立一个 Lagrange.m的文件,用来实现 Lagrange插值；文件内容如下：%输入： x 是插值节点横坐标向量；y 是插值节点对

15、应纵坐标向量%输出： C 是拉格朗日插值多项式的系数矩阵；L 是插值函数系数矩阵4 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - functionC,L=Lagrangex,y w=lengthx; n=w-1; L=zerosw,w; for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k=j V=convV,polyxj/xk-xj; end end Lk,:=V; end C=y*L 然后调用 Lagrange函数,来实现 Lagrange插值法；建立一个文件 Lg,内容 如下：clear disp* x=i

16、nput请输入已知点的横坐标组：; y=input请输入已知点的纵坐标： ; C,L=Lagrangex,y; yi=polyvalC,input 请输入需要运算得横坐标组： xx=1.5:0.05:6.5; yy=polyvalC,xx; plotxx,yy,x,y,o disp* 2.3.2 实例分析例 1 有 4 对数据（ 1.6,3.3）,（2.7,4.22）,（3.9,5.61）,（5.6,2.94）,写出这 4 个数据点的 Lagrange插值公式, 并运算出横坐标组5 xi=2.101,4.234时对应的纵名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资

17、料 - - - - - - - - - 坐标值；解： 4 个数据点的 Lagrange插值公式为：L 3（x）33.*x.27 *x3 . 9 *x5 . 6 *4. 22*x1 . 6 *x.39 *x5 . 6 16.2 . 7* 1 . 6.39 * 1 . 65 . 6 .27.16 * 27.3 . 9 *2 . 75 . 6 3 .9*x16.*x.27 *x5 . 6 2. 94x1. 6 *x2 . 7 *x.39 .39.16 * 39.27.*39.5 . 6 5 . 616.*.56.27 *16.3 . 9 运行程序,根据提示输入已知点的横坐标组、组,如下所示：* 纵坐

18、标组及需要运算得横坐标请输入已知点的横坐标组：1.6,2.7,3.9,5.6 请输入已知点的纵坐标： 3.3,1.22,5.61,2.94 C = -1.0539 11.0551 -34.4933 34.5053 请输入需要运算得横坐标组：2.101,4.234 yi = 1.0596 6.6457 * 即y-1 . 0539 x311 . 0551 x2-34 . 4933 x34 . 5053输出图形：1050-5-10-15 1.522.533.544.555.566.5图 2.1 输出拟合曲线6 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - -

19、 - - - - - - 例 2 将区间 -5,5等分 5 份、10 份,求函数y112拉格朗日差值多项式,做x出函数原图像,观看龙格现象；解：第一将区间五等分,取各端点坐标拟合曲线,输入：clear x=-5:2:5; y=1./1+x.2; C,L=Lagrangex,y; 输出结果：C = 0.0000 0.0019 -0.0000 -0.0692 0.0000 0.5673 即y0 . 0019 x40 . 0692 x20 . 5673然后输出图形,比较拟合成效；在matlab 中输入：xx=-5:0.1:5; yy=polyvalC,xx; hold on plotxx,yy,-,

20、x,y,o xp=-5:0.01:5; z=1./1+xp.2; plotxp,z,r legend拉格朗日插值曲线 ,插值点 ,原曲线 输出五等分插值龙格现象图形：1.2 拉 格 朗 日 插 值 曲 线1插 值 点 原 曲 线0.80.60.40.20-0.2-5-4-3-2-1012345图 2.2 五等分插值龙格现象图形7 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 十等分的过程与五等分基本相像,如下输入：clear,clf x=-5:1:5; y=1./1+x.2; C,L=Lagrangex,y; 输出：C =

21、-0.0000 -0.0000 0.0013 -0.0000 -0.0244 20.0000 0.1974 -0.0000 -0.6742 -0.0000 1.0000 .0 6742 x1即y.00013 x8.0 0244 x6.01974 x4然后输出图形,比较拟合成效；在matlab 中输入：xx=-5:0.1:5; yy=polyvalC,xx; hold on plotxx,yy,-,x,y,o xp=-5:0.01:5; z=1./1+xp.2; plotxp,z,r legend拉格朗日插值曲线 ,插值点 ,原曲线 输出十等分插值图形：2 拉 格 朗 日 插 值 曲 线 插 值

22、 点1.5原 曲 线10.50-0.5-5-4-3-2-1012345图 2.3 十等分插值龙格现象图形8 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.4 试验结论通过图像可以得出：1）并不是插值节点越多,插值多项式靠近函数成效就越好；2）误差较大的地方,是在插值区间两端点邻近显现；3）求插值多项式,不需要求解线性方程组,当数据比较多时,此公式才能 显示出优越性；4）函数值可以用符号形式表示, 数据点未确定的纵坐标可以用多项式表示；9 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 -

23、- - - - - - - - 试验三 复化 Simpson 求积公式3.1 试验目的1）明白单独的 Simpson 公式原理及几何意义；2）学会复化 Simpson 求积公式的编程与应用；3）把握 Mat lab 供应的运算积分的各种函数的使用方法；3.2 基本原理复化 Simpson 公式是一种比较有用的积分方法,区间 a,b N 等分,子区间的长度为可以给出误差估量； 第一将在每个子区间上采纳hnbNa（3.1）Simpson 公式,在用 Simpson 公式时,仍要将子区间再二等分,因此有 2N+1 个分点；即xkx 0khN,k01, ,2N,x0a .（3.2）2经推导得到,称为S

24、 Nd e fbfxdxhNfafb 2N1fx 2k4Nfx 2k1（3.3）a6k1k1S 为复化 Simpson 值,称（ 3.3）式为复化 Simpson公式；3.3 试验内容3.3.1 程序来源编写复化 Simpson 求积函数（函数名： s_quad.m）Function I=S_quadx,y % 复化求积公式 % x 为被积函数自变量的等距节点； y 为被积函数在节点处的函数值；n=lengthx; m=lengthy; % 积分自变量的节点数应与它的函数值个数相同；10 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - -

25、 - - if n=m error The length of X and Y must be equal; return; end if remn-1,2=0 % 假如 n-1 不能被 2 整除,就调用复化公式error 节点数不满意要求 ; return; end N=n-1/2; h=xn-x1/N; a=zeros 1,n; for k=1:N a2*k-1=a2*k-1+1; a2*k=a2*k+4; a2*k+1=a2*k+1+1; end I=h/6*suma.*y; 然后调用 s_quad函数,来实现复化Simpson 公式法；建立一个文件SPS,内容如下：clear disp

26、* x=input请输入积分上下限及点间的间隔（例如 y=input请输入被积公式： y=; I=S_quadx,y; disp得出积分值 I= dispI; -1:0.1:1）： ; disp* 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.3.2 实例分析：例 1 用复化 Simpson公式求积分1 e1x2dx,在积分区间中点与点之间的间隔取为0.1；解：运行程序,根据提示输入积分上下限、点间的间隔及被积公式,如下所示：* 请输入积分上下限及点间的间隔（例如 请输入被积公式： y=exp-x.2 得出积分值

27、I= 1.4936 -1:0.1:1）：-1:0.1:1 * 真值为： 1.4937 例 2 运算积分14xx2dx,将区间 8 等分；0解：运行程序,根据提示输入积分上下限、等分后的区间长度及被积公式,如下所示：* 请输入积分上下限及点间的间隔（例如 请输入被积公式： y=x./4+x.2 得出积分值 I= 0.1116 -1:0.1:1）：0:0.125:1 * 真值为： 0.111572 3.4 试验结论复化 Simpson 运算所得的结果误差较小, 精度较高,更适合科学运算与应用,且公式具有收敛性,稳固性良好；12 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 27 页精选

28、学习资料 - - - - - - - - - 试验四 龙格 -库塔 Runge-Kutta 方法4.1 试验目的1）熟识 Runge-Kutta 常微分方程初值问题的基本原理2）明白 Runge-Kutta 常微分方程初值问题的运算3）能编程实现 Runge-Kutta 常微分方程初值问题4.2 基本原理龙格 -库塔 Runge-Kutta方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法；由于此算法精度高, 实行措施对误差进行抑制, 所以其实现原理也较复杂； 该算法是构建在数学支持的基础之上的；对于一阶精度的欧拉公式有：y n 1 y n h * K 1K 1 f x n , y n 4.1 当用点 x 处的斜率近似值 K 与右端点 nx 1 处的斜率 K 的算术平均值作为平均斜率 K 的近似值,那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：*y n 1 y n h * K 1 K 2 / 2K 1 f x n , y n 4.2 K 2 f x n 1 , y n h * K 1依次类推,假如在区间 x n x n 1 内多预估几个点上的斜率值,并用他们