2022年数学第十五讲二次函数的综合题及应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第十五讲 二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例 1 （2022.牡丹江）如图,已知二次函数y=x2+bx+c 过点 A（ 1,0）, C（0, -3 ）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使 ABP的面积为 10,请直接写出点P 的坐标y=x2+bx+c 中,即可算出b、c思路分析： （1）利用待定系数法把A（1,0）,C（0,-3 ）代入）二次函数的值,进而得到函数解析式是y=x2+2x-3 ；ABP的面积为 10 可以运算出n（2）第一求出A、B两点坐标,再算出AB的长,再设P（m,n）,依

2、据的值,然后再利用二次函数解析式运算出m的值即可得到P点坐标解： （1）二次函数y=x2+bx+c 过点 A（1,0）, C（ 0,-3 ）,1 cbc0,3解得b2,c3二次函数的解析式为y=x2+2x-3 ；（2）当 y=0 时, x2+2x-3=0 ,解得： x1=-3 ,x2=1；A（ 1,0）, B（-3 ,0）,AB=4,设 P（m, n）, ABP的面积为 10,1 2AB.|n|=10,解得： n= 5,当 n=5 时, m 2+2m-3=5,解得： m=-4 或 2,P（ -4 ,5）（ 2,5）；当 n=-5 时, m 2+2m-3=-5,方程无解,故 P（-4 ,5）（

3、2,5）；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式,以及求点的坐标,关键是把握凡是函数图象经过的点必能满意解析式对应训练1（ 2022.湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c 经过点 A（3,0）, B（-1 ,0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标1解：（ 1）抛物线 y=-x 2+bx+c 经过点 A（ 3,0）, B（-1 ,0）抛物线的解析式为；y=- （x-3 ）（ x+1）,即 y=-x 2+2x+3,（2）抛物线的解析式为 y=-x 2+2x+3=

4、- （x-1 ）2+4,抛物线的顶点坐标为：（1,4）考点二：二次函数与 x 轴的交点问题例 2 （2022.苏州）已知二次函数 y=x 2-3x+m（m为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1,0）,就关于 x的一元二次方程 x 2-3x+m=0 的两实数根是（）Ax1=1, x2=-1 Bx1=1,x2=2 Cx1=1,x2=0 D x1=1,x2=3 思路分析： 关于 x 的一元二次方程 x 2-3x+m=0 的两实数根就是二次函数 y=x 2-3x+m（m为常数）的图象与 x轴的两个交点的横坐标解： 二次函数的解析式是 y=x 2-3x+m（m为常数）,该抛物线的对称轴是：x=32又二

5、次函数 y=x 2-3x+m（m为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1,0）,依据抛物线的对称性质知,该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（2,0）,关于 x 的一元二次方程 x 2-3x+m=0 的两实数根分别是：x 1=1,x 2=2应选 B点评： 此题考查了抛物线与x 轴的交点解答该题时,也可以利用代入法求得m的值,然后来求关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0 的两实数根对应训练2（ 2022.株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如下列图,就m的值是（）A-8 B8 C 8 D6 2B 考点三：二次函数的实际应用例 3 （2022.营口）为了落实国务院的指示精神,某地方政府出

6、台了一系列“ 三农” 优惠政策,使农夫收名师归纳总结 入大幅度增加某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20 元,市场调查发觉,该第 2 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元 / 千克）有如下关系：y=-2x+80 设这种产品每天的销售利润为 w元（1）求 w与 x 之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）假如物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28 元,该农户想要每天获得150 元的销售利润,销售价应定为每千克多少元？思

7、路分析： （ 1）依据销售额 =销售量 销售价单 x,列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值；（3）把 y=150 代入（ 2）的函数关系式中,解一元二次方程求 x,依据 x 的取值范畴求 x 的值解： （1）由题意得出：w=（x-20 ）.y =（x-20 ）（ -2x+80 ）=-2x 2+120x-1600 ,故 w与 x 的函数关系式为：w=-2x 2+120x-1600 ；（2） w=-2x 2+120x-1600=-2 （x-30 ）2+200,-2 0,当 x=30 时, w有最大值 w最大值为 200答：该产品销售价定为每千克 30

8、元时,每天销售利润最大,最大销售利润 200 元（3）当 w=150时,可得方程 -2 （x-30 ）2+200=150解得 x =25,x2=353528,x2=35 不符合题意,应舍去答：该农户想要每天获得150 元的销售利润,销售价应定为每千克25 元点评： 此题考查了二次函数的运用关键是依据题意列出函数关系式,运用二次函数的性质解决问题对应训练 3（2022.武汉）科幻小说试验室的故事中,有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不 同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情形（如下表）：温度 x/ y/mm -4 -2 0 2 4 4.5 植物每天高度增长量41 49

9、 49 41 25 19.75 由这些数据,科学家估计出植物每天高度增长量 和二次函数中的一种y 是温度 x 的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数（1）请你挑选一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不挑选另外两种函数的理由；（2）温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大？（3）假如试验室温度保持不变,在10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么试验室的温度x 应当在哪个范畴内挑选？请直接写出结果3解：（ 1）挑选二次函数,设y=ax2+bx+c（a 0）,x=-2 时, y=49,x=0 时, y=49,x=2 时, y=41,名师归纳总结 4a2bc49,第 3 页

10、,共 33 页ca49c4142b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 1解得b2,y=-x2-2x+49 ；c49所以, y 关于 x 的函数关系式为不选另外两个函数的理由：点（ 0,49）不行能在反比例函数图象上,y 不是 x 的反比例函数,点（ -4 ,41）（ -2 ,49）（ 2,41）不在同始终线上,y 不是 x 的一次函数；（2）由（ 1）得, y=-x2-2x+49=- （x+1）2+50,a=-1 0,当 x=-1 时, y 有最大值为 50,即当温度为 -1 时,这种作物每天高度增长量最大；（3） 10 天内要使该植物高度增长量的总

11、和超过 250mm,平均每天该植物高度增长量超过 25mm,当 y=25 时, -x 2-2x+49=25 ,整理得, x 2+2x-24=0 ,解得 x1=-6 ,x2=4,在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,试验室的温度应保持在-6 x4考点四：二次函数综合性题目例 4 （2022.自贡）如图,已知抛物线 y=ax 2+bx-2 （a 0）与 x 轴交于 A、 B两点,与 y 轴交于 C点,直线 BD交抛物线于点 D,并且 D（2,3）, tan DBA= 12（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M为抛物线上一动点,且在第三象限, 顺次连接点 B、M、C、A,求四边形

12、 BMCA面积的最大值；（3）在（ 2）中四边形 BMCA面积最大的条件下,过点 M作直线平行于 y 轴,在这条直线上是否存在一个以 Q点为圆心, OQ为半径且与直线 AC相切的圆？如存在,求出圆心 Q的坐标；如不存在,请说明理由思路分析： （ 1）如答图 1 所示,利用已知条件求出点B 的坐标,然后用待定系数法求出抛物线的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -（2）如答图 1 所示,第一求出四边形BMCA面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）此题利用切线的性质、相像三角形与勾股定理求解如答图2 所示,第一求出直线AC与直线 x=2 的交点 F 的坐标,从而确定了R

13、t AGF的各个边长； 然后证明 Rt AGFRt QEF,利用相像线段比例关系列出方程,求出点Q的坐标解： （1）如答图 1 所示,过点D作 DEx 轴于点 E,就 DE=3,OE=2第 4 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - tan DBA=DE BE=1 2,BE=6,OB=BE-OE=4,B（ -4 ,0）点 B（-4 ,0）、 D（2, 3）在抛物线y=ax2+bx-2 （a 0）上,16 a4 a4 b20,2 b23解得a1,2b32抛物线的解析式为：y=1 x 2+ 3 x-2 2 2（2）抛物线的解析式为：y=1 x 2+ 3 x-2 ,2 2

14、令 x=0,得 y=-2 , C（0,-2 ）,令 y=0,得 x=-4 或 1, A（1,0）设点 M坐标为（ m,n）（ m0,n0）,如答图 1 所示,过点 M作 MFx 轴于点 F,就 MF=-n, OF=-m, BF=4+mS 四边形 BMCA=S BMF+S 梯形 MFOC+S AOC=1 2BF.MF+1 2（MF+OC）.OF+1 2OA.OC 1 2=1 2（4+m） （ -n ）+1 2（-n+2 ） （ -m）+1 2=-2n-m+1 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点 M（m, n）在抛物

15、线y=1 2x 2+ 32x-2 上,n=1 2m 2+ 32m-2,代入上式得：S四边形 BMCA=-m 2-4m+5=- （m+2）2+9,当 m=-2 时,四边形BMCA面积有最大值,最大值为9（3）假设存在这样的Q如答图 2 所示,设直线 设直线 AC的解析式为x=-2 与 x 轴交于点 G,与直线 AC交于点 Fy=kx+b,将 A（1,0）、 C（0, -2 ）代入得：kb20,b解得： k=2,b=-2 ,直线 AC解析式为： y=2x-2 ,令 x=-2 ,得 y=-6 , F（-2 , -6 ）, GF=6在 Rt AGF中,由勾股定理得：AF=2 AGGF2=2 32 62

16、3 5 n24设 Q（-2 ,n）,就在 Rt AGF中,由勾股定理得：OQ=OGQF2=设 Q与直线 AC相切于点 E,就 QE=OQ=2 n4在 Rt AGF与 Rt QEF中, AGF=QEF=90 , AFG=QFE,Rt AGFRt QEF,AF QFAG,即3 5 6 n=n34,AC相切的圆,点Q的坐标为（ -2 ,4）或（ -2 ,-1 ）QE2化简得： n2-3n-4=0 ,解得 n=4 或 n=-1 存在一个以Q点为圆心, OQ为半径且与直线点评： 此题是中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相 似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直

17、角三角形、图形面积运算等重要学问点,涉及考点众多,有一名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定的难度第（2）问面积最大值的问题,利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题,第一假设存在,然后利用已知条件,求出符合条件的点 Q坐标对应训练4（2022.张家界）如图,抛物线y=ax2+bx+c（a 0）的图象过点C（0,1）,顶点为Q（ 2,3）,点D在 x 轴正半轴上,且OD=OC（1）求直线 CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD绕点 C逆时针方向旋转 45 所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证

18、：CEQ CDO；（4）在（ 3）的条件下,如点 P 是线段 QE上的动点,点 F 是线段 OD上的动点,问：在 P 点和 F 点移动过程中,PCF的周长是否存在最小值？如存在,求出这个最小值；如不存在,请说明理由4解：（ 1） C（0,1）, OD=OC, D点坐标为（ 1,0）设直线 CD的解析式为y=kx+b（k 0）,10,将 C（0, 1）, D（1,0）代入得：b kb解得： b=1,k=-1 ,直线 CD的解析式为： y=-x+1 （2）设抛物线的解析式为y=a（x-2 ）2+3,将 C（0, 1）代入得： 1=a （ -2 ）2+3,解得 a=- 1 2y=-1 2（x-2 ）

19、2+3=- 1 2x2+2x+1（3）证明：由题意可知, ECD=45 ,OC=OD,且 OC OD, OCD为等腰直角三角形, ODC=45 , ECD=ODC, CE x 轴,就点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称,点 E 的坐标为（ 4, 1）名师归纳总结 如答图所示,设对称轴（直线x=2）与 CE交于点 F,就 F（2,1）,第 7 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ME=CM=QM=2, QME与 QMC均为等腰直角三角形,QEC=QCE=45 又 OCD为等腰直角三角形,ODC=OCD=45 , QEC=QCE=ODC

20、=OCD=45 , CEQ CDO（4）存在如答图所示,作点 C关于直线 QE的对称点 C ,作点 C关于 x 轴的对称点 C ,连接 CC ,交 OD于点 F,交 QE于点 P,就 PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,PCF的周长等于线段 CC 的长度（证明如下： 不妨在线段 OD上取异于点 F的任一点 F ,在线段 QE上取异于点 P的任一点 P ,连接 FC ,FP ,PC 由轴对称的性质可知,PCF 的周长 =FC +FP+PC ；而 FC +FP+PC 是点 C ,C 之间的折线段,由两点之间线段最短可知：FC +FP+PC CC ,即 PCF 的周长大于PCE

21、的周长）如答图所示,连接 CE,C, C 关于直线 QE对称,QCE为等腰直角三角形, QC E 为等腰直角三角形, CEC 为等腰直角三角形,点 C 的坐标为（ 4,5）；名师归纳总结 C,C 关于 x 轴对称,点C 的坐标为（ -1 ,0）2 13第 8 页,共 33 页过点 C 作 CN y 轴于点 N,就 NC=4,NC =4+1+1=6,在 Rt CNC 中,由勾股定理得： CC =NC2NC22 462综上所述,在P 点和 F 点移动过程中,PCF的周长存在最小值,最小值为213 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【聚焦山东中考】1（202

22、2.淄博） 如图, Rt OAB的顶点 A（-2 ,4）在抛物线 y=ax 2上,将 Rt OAB绕点 O顺时针旋转 90 ,得到 OCD,边 CD与该抛物线交于点 P,就点 P的坐标为（）A（2 ,2 ）B（2,2）C（2 ,2）D（2,2 ）1C 2（2022.滨州）某高中学校为高一新生设计的同学单人桌的抽屉部分是长方体形其中,抽屉底面周长为 180cm,高为 20cm请通过运算说明,当底面的宽x 为何值时,抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽视不计）2解：已知抽屉底面宽为x cm,就底面长为180 2 -x= （90-x ）cm由题意得： y=x（90-x ） 20=-2

23、0 （x 2-90x ）=-20 （x-45 ）2+40500 当 x=45 时, y 有最大值,最大值为 40500答：当抽屉底面宽为 45cm 时,抽屉的体积最大,最大体积为 40500cm 33（2022.日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100 辆公司在经营中发觉每辆车的月租金 x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x 3O00 3200 3500 4000 y 100 96 90 80 （1）观看表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关学问求出每月租出的车辆数 y（辆）与每辆车的月租金 x（元）之间的关系式（2）已知租出的车每辆每月需要保护费 150 元,未租

24、出的车每辆每月需要保护费 50 元用含 x（x3000）的代数式填表：租出的车辆数 未租出的车辆数租出每辆车的月收益 全部未租出的车辆每月的保护费（3）如你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益？恳求出公司的最大月收益是多少元名师归纳总结 3解：（ 1）由表格数据可知y 与 x 是一次函数关系,第 9 页,共 33 页设其解析式为y=kx+b由题：3000 kb100,解之得：k1,503200 kb96b160y 与 x 间的函数关系是y=-1x+16050- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如下表：租出的车辆数

25、-1 50x+160 未租出的车辆数1 50x-60 租出的车每辆的月收益x-150 全部未租出的车辆每月的保护费x-3000 （3）设租赁公司获得的月收益为W元,依题意可得：W=（-1 50x+160）（ x-150 ） -（x-3000 ）=（-1 50x 2+163x-24000 ）- （x-3000 ）=-1 50x2+162x-21000 =-1 50（x-4050 ）2+30705 当 x=4050 时, Wmax=307050,即：当每辆车的月租金为4050 元时,公司获得最大月收益307050 元x 轴交于 A、B 两点, A 点在故答案为： -1 50x+160,1 50x-

26、60 y=x2+bx+c 的图象与4（2022.枣庄）如图,在平面直角坐标系中,二次函数原点的左侧, B点的坐标为（ 3,0）,与 y 轴交于 C（0,-3 ）点,点 P 是直线 BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO、PC,并把POC沿 CO翻折,得到四边形 POPC,那么是否存在点 P,使四边形 POP C 为菱形？如存在,恳求出此时点 P的坐标；如不存在,请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC的最大面积4解：（1）将 B、C两点的坐标代入得93 bc0,c-3名师归纳总结 解得：b-2

27、；y=x2-2x-3 ；第 10 页,共 33 页c-3所以二次函数的表达式为：（2）存在点 P,使四边形POP C 为菱形；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,设 P点坐标为（ x,x 2-2x-3 ）,PP 交 CO于 E 如四边形POP C 是菱形,就有PC=PO；连接 PP ,就 PECO于 E,OE=EC=3 2,2-2x-3 ）,y=-3 2；x2-2x-3= - 3 2解得 x 1=2210,x 2=2210（不合题意,舍去）P 点的坐标为（2210,-3 2）；（3）过点 P 作 y 轴的平行线与BC交于点 Q,与 OB交于点 F,

28、设 P（x,x易得,直线BC的解析式为y=x-3 就 Q点的坐标为（ x, x-3 ）；S四边形 ABPC=S ABC+S BPQ+S CPQ名师归纳总结 =1 2AB.OC+1 2QP.BF+1 2QP.OF75第 11 页,共 33 页=1 2 4 3+1 2 -x2+3x 3=-3 2 x-32+ 75 8；2当 x=3 2时,四边形ABPC的面积最大此时 P 点的坐标为 3 2,-15 4 ,四边形 ABPC的面积的最大值为8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5（2022.潍坊）为了改善市民的生活环境,我市在某河滨空地处修建一个如下列图的休闲文

29、化广场,在Rt ABC内修建矩形水池 DEFG,使定点 D,E 在斜边 AB上, F,G分别在直角边BC,AC上；又分别以 AB,BC,AC为直径作半圆,它们交出两弯新月（图中阴影部分）,两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖,其中 AB=24 3 米, BAC=60 ,设 EF=x米, DE=y米（1）求 y 与 x 之间的函数解析式；（2）当 x 为何值时,矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？DEFG的面积及等于两弯新月面积的（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积,并求当x 为何值时,矩形1 3？5解：（ 1）在 Rt ABC中, ACB=90 , AB=24 3 米, BAC=60

30、,AC=1 AB=12 3 米, BC= 3 AC=36米, ABC=30 ,2AD= DG = 3 x,BE= EF = 3 x,tan 60 3 tan 30AD+DE+BE=AB名师归纳总结 3x+y+3x=243,x2+243 x=-4 3 3（x-9 ）3y=243 -3x-3 x=243 -4 3 3x,3即 y 与 x 之间的函数解析式为y=243 -4 3 3x（0x18）；（2） y=243 -4 3 3x,矩形 DEFG的面积 =xy=x（243 -4 3 3x）=-4 3 32+1083 ,第 12 页,共 33 页当 x=9 米时,矩形DEFG的面积最大,最大面积是10

31、83平方米；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）记 AC、BC、 AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3,两弯新月面积为S,就 S1=1 8 AC 2,S2= 18 BC 2,S3= 18 AB 2,AC 2+BC 2=AB 2,S1+S2=S3,S1+S2-S=S3-S ABC,S=S ABC,两弯新月的面积 S=1 AC.BC=1 12 3 36=216 3 （平方米）2 2假如矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的 1,3那么 -4 3（ x-9 ）2+108 3 =1 216 3 ,3 3化简整理,得（x-9 ）2=27,解得 x=9

32、 3 3 ,符合题意所以当 x 为（9 3 3 ）米时,矩形 DEFG的面积及等于两弯新月面积的 136（2022.烟台）如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC是边长为 2 的正方形,二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过点 A,B,与 x 轴分别交于点 E,F,且点 E的坐标为（ -2,0）,以 0C为直径作半圆,圆心为 D3（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线 BE是 D的切线；（3）如直线 BE与抛物线的对称轴交点为 P,M是线段 CB上的一个动点（点 M与点 B,C不重合）,过点 M作 MN BE交 x 轴与点 N,连结 PM,PN,设 CM的长为 t , PMN的面积

33、为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范畴 S 是否存在着最大值？如存在,求出最大值；如不存在,请说明理由6解：（1）由题意,得 A（0,2）,B（2,2）,E 的坐标为（ -2,0）,3名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就ca2ab2c0,解得a-9 8,924b44-2c293该二次函数的解析式为：y=-9 8x2+ 9 4x+2；（2）如图 1,过点 D作 DGBE于点 G由题意,得ED=2 3+1=5 3,EC=2+2 3=8 3,BC=2,BE=64 94=10 3 BEC=DE

34、G, EGD=ECB=90 , EGD ECB,DG BCDE,BEDG=1 D的半径是 1,且 DGBE,BE是 D的切线；（3）如图 2,由题意,得E（-2 3,0）,B（2,2）设直线 BE为 y=kx+h （k 0）就名师归纳总结 2 kh2,第 14 页,共 33 页2h03- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得,k3,4h12直线 BE为： y=3 4x+1 2P,对称轴直线为x=1,直线 BE与抛物线的对称轴交点为点 P 的纵坐标 y=5 4,即 P（1,5 4）MN BE, MNC=BEC C=C=90 , MNC BEC,CN ECM

35、C,C（0,-4 ）,与 x 轴交于点A,B,且 B 点的坐BCCNt,就 CN=4 3t ,823DN=5 4t-1 ,S PND=1 2DN.PD=1 2（4 3t-1 ）.5 4=5 6t-5 8S MNC=1 2CN.CM=1 24t.t=2 3t23S 梯形 PDCM=1 2（PD+CM）.CD=1 2.（5 4+t ）.1=5 8+1 2t S=S PND+S 梯形 PDCM-S MNC=-2 3t2+ 4 3t （0t 2）抛物线S=-2 3t2+ 4 3t （0t 2）的开口方向向下,S 存在最大值当t=1 时, S最大=2 37（2022.泰安）如图,抛物线y=1 2x2+b

36、x+c 与 y 轴交于点标为（ 2,0）（1）求该抛物线的解析式（2）如点 P 是 AB上的一动点,过点P作 PE AC,交 BC于 E,连接 CP,求 PCE面积的最大值名师归纳总结 （3）如点 D为 OA的中点,点M是线段 AC上一点,且OMD为等腰三角形,求M点的坐标第 15 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7解：（1）把点 C（0,-4 ）,B（ 2,0）分别代入y=1 2x2+bx+c 中,c-4得 1 2 22 b c 0,2b 1解得；c-4该抛物线的解析式为 y=1 x 2+x-4 2（2）令 y=0,即1 x 2+x

37、-4=0 ,解得 x 1=-4 ,x 2=2,2A（ -4 ,0）,S ABC=1 AB.OC=122设 P 点坐标为（ x,0）,就 PB=2-xPE AC, BPE=BAC, BEP=BCA, PBE ABC,名师归纳总结 S VPBEPB2,即S VPBE26x2,（2-x ）2第 16 页,共 33 页S VABCAB12化简得： S PBE=1 3（2-x ）2S PCE=S PCB-S PBE=1 2PB.OC-S PBE=1 2 （ 2-x ） 4 -1 3=-1 3x2- 2 3x+8 3=-1 3（x+1）2+3 当 x=-1 时, S PCE的最大值为3- - - - -

38、- -精选学习资料 - - - - - - - - - （3） OMD为等腰三角形,可能有三种情形：（I ）当 DM=DO时,如答图所示DO=DM=DA=2 OAC=AMD=45 ,ADM=90 ,M点的坐标为（ -2 ,-2 ）；（II ）当 MD=MO时,如答图所示过点 M作 MNOD于点 N,就点 N为 OD的中点,DN=ON=1,AN=AD+DN=3,又 AMN为等腰直角三角形,MN=AN=3,M点的坐标为（ -1 ,-3 ）；）当 OD=OM时,（III OAC为等腰直角三角形,点 O到 AC的距离为2 4=22 ,即 AC上的点与点O之间的最小距离为22 x+222 2, OD=O

39、M的情形不存在综上所述,点M的坐标为（ -2 ,-2 ）或（ -1 , -3 ）8（2022.威海） 如图, 在平面直角坐标系中,直线 y=1 2x+3与直线 y=x 交于点 A,点 B在直线 y=1 223上, BOA=90 抛物线y=ax2+bx+c 过点 A,O,B,顶点为点E2（1）求点 A,B 的坐标；名师归纳总结 （2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；D,过点 E 作 FE x 轴,交直线AB于（3）设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点C,直线 BC交抛物线于点第 17 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点 F,连接 OD,CF,