2022年高考数学一轮汇总训练《积分与微积分基本定理》理新人教A版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十四节 定积分与微积分基本定理 备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1. 明白定积分的实际背景,了1. 考查形式多为选择题或填空题解定积分的基本思想,明白定2. 考查简洁定积分的求解如20XX年江西 T11 等积分的概念3. 考查曲边梯形面积的求解如 20XX年湖北 T3,山东 T15,2. 明白微积分基本定理的含上海 T13 等20XX年福建 T6 等. 义. 4. 与几何概型相结合考查如 归纳 学问整合 1定积分1 定积分的相关概念在b af xd x 中, a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,b 叫做积分区

2、间, f x叫做被积函数,x 叫做积分变量,f xd x 叫做被积式2 定积分的几何意义b当函数 f x 在区间 a,b 上恒为正时,定积分af xd x 的几何意义是由直线 xa,xb a b ,y0 和曲线 yf x 所围成的曲边梯形的面积 左图中阴影部分 b一般情形下,定积分af xd x 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f x 以及直线 xa,xb 之间的曲边梯形面积的代数和 右上图中阴影所示 ,其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数3 定积分的基本性质名师归纳总结 b akf xd xkb af xd x. 第 1 页,共 22

3、页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b a f 1 x f 2 xd x学习必备欢迎下载b af 1 xd x b af 2 xd x. b af xd xc af xd xb cf xd x. b af t d t 是否相等？ 探究 1. 如积分变量为t ,就 b af xd x 与提示：相等2一个函数的导数是唯独的,反过来导函数的原函数唯独吗？提示： 一个函数的导数是唯独的,而导函数的原函数就有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于运算3定积

4、分 提示：由直线b a f xg xd x f xg x 的几何意义是什么？xa,xb 和曲线 yf x ,yg x 所围成的曲边梯形的面积2微积分基本定理假如 f x是区间 a,b 上的连续函数, 并且 F x f x ,那么 b af xd xF b F a ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼兹公式为了便利,常把F b F a 记成 F x |b a,即V t t2t 2,质点作直线运b af xd x F x |b aF b F a 自测 牛刀小试 1.21 xdx 等于 A2ln 2 B 2ln 2 C ln 2 D ln 2 解析：选 D 21 xdx ln x |4 2

5、ln 4 ln 2 ln 2. 2 教材习题改编 一质点运动时速度和时间的关系为动,就此物体在时间1,2内的位移为 A.17B.14632 117 6 . C.13D.1166解析：选 A S2 1 t2t 2dt 1 3t31 2t22t3 教材习题改编 直线x0,x2,y0 与曲线yx 2 所围成的曲边梯形的面积为_解析： 2 0x2dx1 3x3 |2 08 3. 答案：8 3名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 教材改编题 1 01x学习必备欢迎下载2dx_. 解析：由定积分的几何意义可知,11x 2dx

6、表示单位圆x 2 y 2 1 在第一象限内部0分的面积,所以1 10 1x 2dx4 . 1答案：41 55由曲线 yx,直线 y x2所围成的封闭图形的面积为 _1 1解析：作出图象如下列图解方程组可得交点为 A 2,2 ,B 2,2,所以阴影部分的面积,2x5 21 xdx121 2x 25 2xln x215 82ln 2. 12答案：15 82ln 2 利用微积分基本定理求定积分 例 1 利用微积分基本定理求以下定积分：3 11dxx 3 |2 1x 2 |1x |2 11 2 1 x 22x1d x；2 0 sin xcos xd x；3 2 0x x 1d x；4 2 1 e 2x

7、1 xdx；50 sin2x 2dx. 自主解答 1 2 1 x22x 1d x2 1x 2dx2 12xdx193 . 名师归纳总结 2 0 sin xcos xd x第 3 页,共 22 页0 sin xdx 0 cos xdx cos x |0 sin x | 0 2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 2 0x x 1d x2 0 x2xd x学习必备欢迎下载20x 2dx20xdx13x 3 | 2012x 2 | 2013 2 30 12 2 20 14 3 . 421 e 2x1xdx21e 2xdx211xdx1 2 1 12e 2

8、x | 1ln x | 12e 42e 2 ln 2 ln 1 1 12e 42e 2ln 2. 5 0 sin 2x2dx02 1212cos x dx02 12dx12 0cos xdx1 1 1 22x 02sin x 0424 . 求定积分的一般步骤运算一些简洁的定积分,解题的步骤是：1 把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；2 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；3 分别用求导公式找到一个相应的原函数；4 利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；5 运算原始定积分的值1求以下定积分：名师归纳总结 12 0| x1|d x；第 4

9、页,共 22 页2 2 01 sin 2 xdx. 解： 1| x1| 1x,x0 ,x1,x1 ,2故2 0| x1|d x1 01 xd x2 1 x1d x x2 x 2 |1 02 x 2 x |2 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 21 21. 学习必备欢迎下载2 2 01 sin 2 xdx0 cos xsin xd x2 sin xcos xd x0|sin xcos x|d x4sin xcos x0 cos xsin x 2421 12 222. 利用定积分的几何意义求定积分 例 2 1x22xdx_. x22x与 x0,x1

10、及 y0 所围成的图形0 自主解答 1x22xdx 表示 y0的面积由 yx 22x得 x12y21 y0 ,又0 x1,1 y x 2 2x与 x0,x1 及 y0 所围成的图形为 4个圆,其面积为 4 . 10x 22xdx 4 . 2在本例中,转变积分上限,求0x 22xdx 的值解： 0x 22xdx 表示圆 x1 2y 21 在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,2所以20x 22xdx 2 . 利用几何意义求定积分的方法1 当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分2 利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小名师归纳总结

11、- - - - - - -第 5 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 2022 福建模拟 已知函数 f x _解析：因 为 f xx 02sin 4t dtx 0cos t sin t d t x0 ,就 f x 的最大值为2cos 4t | x02cos 4 x 2cos 4sin xcos x12sin x 4121,当且仅当 sin x 41 时,等号成立答案：21 利用定积分求平面图形的面积 例 3 2022 山东高考 由曲线 yx,直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为 10A. 3 B 4 16C. 3 D 6 自主解答 由

12、 yx及 yx2 可得, x4,即两曲线交于点 4,2 由定积分的几何意义可知,由 yx及 yx2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为40 xx2d x3x3 21 2x 22x | 40163 . 答案 C 如将“yx2” 改为“y x2” ,将“y 轴” 改为“x 轴” ,如何求解？解：如下列图,由 yx及 y x2 可得 x1. 由定积分的几何意义可知,由 yx,y x2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为20f xd x10 xdx21 x2d x23x 32 | 10 2xx2 | 22176. 利用定积分求曲边梯形面积的步骤1 画出曲线的草图名师归纳总结 - - - - - - -第

13、 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限3 将“ 曲边梯形” 的面积表示成如干个定积分的和或差4 运算定积分,写出答案32022 郑州模拟 如图,曲线 yx2和直线 x0,x1,y 1 4所围成的图形 阴影部分 的面积为 1 2或B. 1 3A. 2 3C.1 2D.1 4解析：选 D 由y1 4,. x2 yxx1 2 舍 ,所以阴影部分面积S11 4x2 dx1x 21 4 dx2 0121 4x1 3x311 3x31 4x11 4. 012定积分在物理中的应用 例 4 列车以

14、72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a 0.4 m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开头制动？ 自主解答 a 0.4 m/s 2,v072 km/h 20 m/s. 设 t s 后的速度为 v,就 v200.4 t . 令 v0,即 200.4 t 0 得 t 50 s设列车由开头制动到停止所走过的路程为 s,50 50 就 s0 vdt 0 20 0.4 t d t 2 | 50 020 t 0.2 t20 500.2 50 2500m ,即列车应在进站前 50 s 和 进站前 500 m 处开头制动1变速直线运动问题名师归纳总结 - - - - - - -第

15、7 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如做变速直线运动的物体的速度学习必备欢迎下载vv t v t 0 ,那么物v 关于时间t 的函数是体从时刻 t a 到 t b 所经过的路程为b av t d t ；假如做变速直线运动的物体的速度v 关于时间 t 的函数是 vv t v t 0 ,那么物体从时刻t a 到 t b 所经过的路程为b av t d t . 2变力做功问题b物体在变力 F x 的作用下,沿与力 F x 相同方向从 xa 到 xb所做的功为 aF xd x. 10 x4一物体在力 F x 单位：N的作用下沿与力 F x 相同的方向3x4 x运动了

16、 4 米,力 F x 做功为 B 46 J A44 J C48 J 2 010dxD 50 J 解析：选 B 力 F x 做功为 4 23 x 4d x10x |2 03 2x 24x42202646. 1 个定理微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,互为逆运算3 条性质定积分的性质 1 常数可提到积分号外；2 和差的积分等于积分的和差；3 积分可分段进行3 个留意定积分的运算应留意的问题由此可知, 求导与积分是1 如积分式子中有几个不同的参数,就必需分清谁是积分变量；2 定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；3 面积非负,而定积分的结果可以为负. 易误

17、警示利用定积分求平面图形的面积的易错点名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 典例 2022 上海高考学习必备欢迎下载ABC,其中A0,0, 已知函数yf x 的图象是折线段B1 2,5 ,C1,0 函数 yxf x0 x1 的图象与x 轴围成的图形的面积为_ 解析 由题意可得10 3 3x15 4. f x 10x,0 x1 2,1010x,1 2x1,所以 yxf x 10x2,0 x1 2,10x10x 2,1 20. 如曲线 yx与直线 xa, y0 所围成封闭图形的面积为 a 2,就 a_. a 0a 2,解析

18、：由题意 a 0 xdxa 2. 又2 3x3 x,即2 3x2 |2即2 3a3 2 a2. 所以 a4 9. 答案：4 9一、选择题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 1. e 1ln x1x dx x 轴所围图形的Aln x1 2ln2xB.2 e1 C.3D.122解析：选 C e1ln xdx ln xln2 xe 13 2. 1x222022 湖北高考 已知二次函数yf x 的图象如下列图,就它与面积为 A.2B.453名师归纳总结 C.3 2B 由题中图象易知D. 221 0 x2 1d x第 10 页,共 22 页解析：选f x x 2 1,就所求面积为3 2

19、x 3 x1 04 3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3设函数 f xax学习必备欢迎下载 2b a 0 ,如 3 0f xd x3f x0 ,就 x0 等于 A 1 B. 2 C3 D 2 解析：选 C 0f xd x30ax 2bd x13ax 3bx 309a3b,2就 9a3b 3 ax 0b ,2即 x 03,x03. x 2,x0 ,1 ,24设 f x 就0f xd x 2x,x,2 ,3 4A. 4 B. 55C. 6 D不存在解析：选 C 如图2 0f xd x 1 0x2dx2 12 xd x名师归纳总结 1 3x3 |0 2

20、x1 2x 2 |2第 11 页,共 22 页11 3 422125 6. 5以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v40 10t2,就此物体达到最高时的高度为 A.160 3 m B.80 3 m C.40 3 m D.20 3 m 解析：选 A v4010t20,t 2,2 040 10t2d t 40t 10 3t3 |2 040 210 3 8160 3 m 62022 青岛模拟 由直线 x 3,x 3,y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 形的面积为 学习必备欢迎下载A.1B 1 3co

21、s xdx2C.3D.3 2解析：选 D 结合函数图象可得所求的面积是定积分3sin x 32 32 33. 3二、填 空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分 7设 a0 sin xdx,就曲线 yf x xa xax2 在点 1 ,f 1 处的切线的斜率为_解析： a0 sin xdx cos x | 0 2,yx 2x2x2. y 2 x x 2xln 2 2. 曲线在点 1 ,f 1 处的切线的斜率 答案： 42ln 2 k y |x142ln 2. 8在等比数列 an 中,首项a12 3,a44 11 2xd x,就该数列的前5 项之和 S5等于_解析： a44 11

22、2xd x xx2 |4 118,由于数列 an 是等比数列,故182 3q3,解得 q3,所以 S5235242 3 . 313答案：242 392022 孝感模拟 已知 a 0, 2,就当 a 0cos xsin xd x 取最大值时,a_. 解析： a 0cos xsin xd xsin xcos x |a0sin acos a1 名师归纳总结 2sina 41,2sina 41 取最大值第 12 页,共 22 页a 0, 2,当 a 4时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答案： 4 三、解答题 本大题共 3 小题,每道题 1

23、2 分,共 36 分 10运算以下定积分：名师归纳总结 10 sin2xdx；第 13 页,共 22 页2 3 2x1 x2dx；130e2xdx. 解： 1 0sin2xdx2 01cos 2 x 2 dx1 2x1 4sin 2 x2 0 41 4sin 0 4 . 23x12dx 2 x1 x2 dx2x1 2x 22xln x |329 26ln 3 2 4ln 2 9 2ln 3 ln 2 9 2ln 3 2. 3 1 0e 2 xdx1 2e 2x1 01 2e1 2. 11如下列图,直线ykx 分抛物线 yxx2与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值解：抛物线yxx2与

24、 x 轴两交点的横坐标为x10,x21,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S1 0 xx2d x2 x21 3x 3 |1 01 6. 又yxx 2,ykx,由此可得,抛物线yxx2与 ykx 两交点的横坐标为x3 0,x41k,所以,S 21k xx2kxd x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1kx 21 3x3 |1k 01 61 k学习必备欢迎下载3. 2又知 S1 6,所以 1 k31 2,yx 2 向点 A2,4 移动,直线OP与于是 k13 1 213 4 2 . 12如图,设点P 从原点沿曲线曲线 yx 2 围成图形的面积为S1,直线

25、 OP与曲线 yx 2 及直线 x2 围成图形的面积为S2,如 S1S2,求点 P的坐标4 3,16. 解：设直线OP的方程为 y kx,点 P 的坐标为 x,y ,就x 0 kxx2d xx x 2kxd x,即1 2kx21 3x3 |x 01 3x31 2kx2 |2 x,解得1 2kx21 3x 38 32k1 3x 31 2kx2 ,解得 k4 3,即直线 OP的方程为 y4 3x,所以点 P 的坐标为91一物体做变速直线运动,其vt 曲线如下列图,就该物体在1 2 s 6 s 间的运动路程为 _解析：由题图可知,名师归纳总结 2tt,61 3t 1 dt第 14 页,共 22 页v

26、 t 1 3t tt,因此该物体在1 2 s 6 s 间运动的路程为s6vt dt 12t dt 12dt 11322t2 12t |3 11 6t2t |6 349 4 m 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：49 4 m 学习必备欢迎下载2运算以下定积分：1 31 3 x 22x 1dx；21 x1 x 1 2 dx. 解： 1 31 3 x 22x1d x x 3x 2x 3124. 21 x1 x 1 2 dxe1xdx11 xdx11x 2dx12x 2 | 1ln x | e11x | e11 2e 21 ln eln 11e111

27、 1 32e 2e2. 13求曲线 yx,y2x, y3x 所围成图形的面积y2x,yx,解：由 得交点 A1,1 ；由 1 得交点 B3 , 1 y2x,y3x,1 1 1故所求面积 S0 x3x dx1 2 x3x dx2 3x3 2 1 6x2 |1 0 2x1 3x 2 |3 12 31 64 313 6 . 4某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v 单位：某公司拟购t2t,m/s 与时间 t 单位：s 满意函数关系式v t 4t t,t买一台颗粒输送仪,要求1 min 行驶的路

28、程超过7 673 m,问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟选择的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式,名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可得 s10 0 t2dt 学习必备欢迎下载20 104 t 60d t 60 20220dt1 3t3 |10 0 2 t260t |10140t |60207 133 1 3 m2 时, yminf aa 22. 点评 利用二次函数的性质求最值,要特殊留意自变量的取值范畴,同时仍要留意对称轴与区间的相对位置关系如此题化为含参数的二次函数后,求解最值时要留意区分

29、对称轴与定义域的位置关系,然后再依据不怜悯形分类解决2换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量,来替换原先的某些变量 或代数式 ,以便使问题得以解决的一种数学方法在学习中, 经常使用的换元法有两类,即代数换元和三角换元,我们可以依据详细问题及题目形式敏捷选择换元的方法,以便将复杂的函数最值问题转化为简洁的函数最值问题如可用三角换元解决形如 a 2b 21 及部分根式函数形式的最值问题名师归纳总结 例 2 设 a,bR, a 2 2b26,就 ab 的最小值是 _第 16 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 由于 a,bR,a学习必备欢迎下载6cos ,2b6sin , R. 22b 2 6,所以令 a就 ab6cos 3sin 3sin ,所以 ab 的最小值是 3.