2022年投资组合中的可行集与有效边界问题研究.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 投资组合中的可行集与有效边界问题争论王晓乐常州工学院 经济与治理学院,江苏 常州 213002摘要 ：本文从从马科维茨的投资组合理论思想动身,在已有结论基础之上,利用均值方差模型分别争论了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式,随之引入 CAPM 模型着重分析了资本市场中,投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系；文末就 CAPM 的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延长问题进行了简单的探讨；关键词： 投资可行集有效边界CAPM 模型一、引言一课题争论的背景面对五花八门的投资对象,大家都明白 “ 鸡蛋不要都放在

2、同一个篮子里”的简洁道理,那么“ 鸡蛋” 应当放在几个“ 篮子” 里,这些“ 篮子” 各有什么特点？在资本市场中,马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上进展形成的CAPM 模型,历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据；投资者在资本市场中, 如何平稳风险与收益之间的关系,如何有效决策资产组合,这些都是关键问题；二课题争论的价值投资有效组合, 使资产风险合理分散化,通过充分利用数学学问,借助计量经济学的帮助,分析投资理论中的风险类型和收益模型,推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界,风险最小的情形下,使得投资组合获得最大利益,从而更好地服务于现代证券市场；二、已有相关争论观点评介

3、关于资产定价的原理和模型的争论,国内不乏众多学者；合肥工业高校经济治理学院的邓英东教授 2004在他的文章中评述：Markowitz 的证券组合选择理论,在今日已经成为现代金融经济学的基石,人们在处理证券组合的收益-风险分析时, Markowitz 理论始终是一种基本工具；1 东华高校理学院的陈静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题；2 在论述有关 CAPM 模型的作用时,中国人民高校金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM 给出了一个特别简洁的结论,只有一种缘由会使投资者得到更高回报,那就是投资高风险的股票；不容疑心, 这个模型在现代金融理论里占据3

4、着主导位置；三、马科维茨投资组合理论风险资产的投资第一需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险,那么如何测定_ 作者小传：王晓乐1994- ,女 ,常州工学院经管学院,同学,争论方向：经济学- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 组合投资的风险与收益和如何平稳这两项指标进行资产安排是市场投资者迫切需要说明的问题；在这样的背景下,1952年,马科维茨 H.M.Markowitz 在金融月刊 上发表了 “ 资产选择的有效分散化”一文；他在这篇文章中, 第一采纳风险资产的期望收益率和用方差或标准差 代表风险来争论组

5、合投资问题,1959年,他又出版了同名著作进一步阐述了他的组合投资理论； 在此以前, 金融学通常以定性争论为主,马科维茨的投资组合选择理论从今成 为金融定量分析的开端,马科维茨创立的现代证券组合理论,实际上市帮忙投资者从假设干 可供选择的证券中,选择出假设干证券组成有效组合的理论和方法,争论了如何利用投资组 合,即同时购买多种证券,使得在肯定的预期收益率下,使投资风险到达可能的最小程度；其核心思想是分散风险,并从风险资产的收益率与风险之间的关系动身,争论在不确定经济系统中最优资产组合该如何选择的重要问题；四、投资组合中有效边界的确定一均值 - 方差思想理论 马科维茨的投资组合理论是从风险资产的

6、收益率和风险之间的关系动身,在马克维茨 均值 方差的模型中,每一种证券或证券组合可由均值 方差坐标系中的点来表示；其中,他以期望收益率 收益率均值 来衡量将来实际收益率的总体水平,以收益率的方差 即偏离 收益的程度来衡量收益率的风险,将收益和风险量化,用数理统计的方法来进行决策,其 决策目标本质上可以这样概括：在肯定的风险水平上,投资者期望收益最大,相对应地,在 肯定的收益水平上,投资者期望风险最小；二投资组合中的可行集和有效边界问题可行集 Feasible Set是指资本市场上由风险资产可能形成的全部投资组合的总体；在马克维茨均值 方差模型中,每一种证券或证券组合可以用坐标系中的点来表示,全

7、部存在的证券组合在平面上构成一个区域,这个区域就是所谓的可行集；投资者可以实现的既定风险下,最高收益的投资组合或者在肯定收益水平,风险最小的投资组合的集合即有效边界,又称有效前沿；整个可行集呈雨伞状,可行集的左侧边界即有效边界；如图1 所示,阴影部分代表资产组合的可行域,黑线边界即为有效边界,也是最小方差资产组合；依据有效边界定理,在各种可行的投资组合中,投资者在选择最优的组合时往往遵循以下两个原就： 1 在肯定的风险水平条件下,获得最大的期望收益率；2 在肯定期望收益率水平条件下,接受最小的投资风险；投资者将依据自己的风险偏好取决于无差异曲线,选择有效边界上的点进行投资；假设一投资者对 n

8、支股票进行投资,每只股票的收益率记为 rii=1,2, n ,其中 ri 视为随机变量,将其期望值记为 Ri ,方差记为 2；假设投资于第 i 只股票的资金比例- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为n nWi, 比例系数向量系数为 W=W 1, W2, W 3, W nT W i 1 , 就收益率 r w ir i , 期望收益率 Rp为： Rp= WT R =wR1+w2R2+ +wnRn其中 R=R1,R2, Rn i 1 t , 再设 r i 和 r j 的协方差为 ij,协方差矩阵为 G=ijn x

9、 n , 就投资组合的方差 2p W TGW；由于在肯定的期望收益条件下, 投资者追求的是投资风险最小,转换成数学思想也就是在肯定的约束条件下n的线性规划问题求解,即在 W i R i R p 的条件之下,求 2p W T GW 的最小值；i 1运用矩阵的学问,记 A r 1 r 2 r nAG 1A T m 11 m 12E r,就求I 1 I m 21 m 22 1有效边界表达式的问题就可以表示为：min 2p W T GW,S.t. AW E；建立拉格朗日函数求解,得有效边界的数学表达式为：2p m 11 R 2p 2 m 12 R p m 22,1 T依据以上数学表达式,已知 AG A

10、 是正定对称阵, 所以我们可以得出以下结论：多种风险资产,投资组合的有效边界用直观图形表示,即纵坐标为 E R p ,横坐标为 2 的坐标系内图 1第一象限内上凹的一段曲线；E Xp均方有效前沿可行资产组合最小方差资产组合2 图 1 3. 具有无风险资产投资组合有效边界的确定无风险资产其收益率是比较稳固的,一般由政府发行,比方国债,其风险较低,在均值方差坐标系中, 其方差为零； 当某投资者对风险资产和无风险资产进行投资组合时,假设他用于风险投资的比例为 ,那么用于无风险投资的比例是 1- ；无风险资产的收益率为 R ,风险为 0,选择的某一股票投资组合的收益率为 R ,风险为 n,那么有总收益

11、为：R z 1 R f R n,且总风险 z n- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 通过上面两式将 排除,有R zR nRf.ZR f,给定R 时,R 和z成线性关系,方程为：R z 1 R f R N 0,z nN 0；图 2 中,当不存在无风险资产时,投资者面对的有效边界即曲线 AB一段；当风险资产和无风险资产并存时,投资者以无风险利率借贷时,此时有效边界变为图 2 所示的过点 F0,R 且与原有效边界曲线 AB相切于点 T的切线 FT；F 图 2 切线 FT 的斜率 K dR n R n R f,已知

12、风险资产组合的有效边界表达式是：d n n2p m 11 R 2p 2 m 12 R p m 22,其中 m 0, m 22 0, 两边同时对 p求导：dR p dR p dR p p2 p 2 m 11 R p 2 m 12,所以 FT 与 AB于 T 点相切d p d p d p m 11 R p m 12p R p R f dR p dR p, 令 2 p 2 m 11 R p 2 m 12 一式中 R n R p,n p , m 11 R p m 12 p d p d p与 2p m 11 R 2p 2 m 12 R p m 22 并联,可以得出 : m 12 R f m 22 2R

13、T , r m 11 R T 2 m 12 R T m 22m 11 R f m 12即切点 T 的坐标为m 12 R f m 22,m 11 R 2T 2 m 12 R T m 22m 11 R f m 12综合以上推导过程,我们可以得出以下结论：当投资者的偏好是逃避风险时,此时的投资组合就是 R 为收益率的无风险资产和风险资产,其有效边界为图 2 中的射线 FT,其表达式为：R p R f 2 Tp p 0 ；当投资者偏好风险投资时,有效边界即图 2中的直线 FT 和曲线 TB 段,其表达式为：m 11 R T m 12 2p m 11 R 2 P2 m 12 R p m 22 p r 4

14、- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据以上两种投资组合各自有效边界的运算和分析,结合图1 和图 2,我们不难发觉有效集曲线具备以下几个特点：向右上方倾斜,表达了“ 高收益、高风险” 的原就；是一条向上凸的曲线, 曲线上不行能有凹陷的地方；厌恶风险程度较高的投资者,其无差异曲线的斜率较陡,那么其最优投资组合越接近A 点图 2,厌恶风险程度较低的投资者,其无差异曲线的斜率较小,其最优投资组合越接近 B点图 2；五、 CAPM模型一 CAPM模型产生基础马科维茨开创的均值- 方差模型有效解决了应当如何最优持有有

15、效证券组合的问题,正是由于这一开创性的重要关系式,使得夏普等人能够在此基础上,利用竞争均衡定价的概念,在具有众多资产和众多投资者的资本市场中导出每种资产的超额收益率和市场资产组合超额收益率之间的关系,也就是后来的资产定价模型CAPM；二 CAPM的基本假设和表达形式标准的 CAPM是在抱负的资本市场中建立的,建立模型的基础性假设有以下九种：投资者具有均值方差效用函数；对全部投资者信息充分且畅通无阻,对资产收益概率分布模式一样认同,因此市场有效前沿曲线只有一条；全部投资者都有相同投资日期和固定的投资期限； 资产是无限可分的,而投资者可以以任意金额投资于各种资产,市场上的资产数量是固定的；市场没有

16、卖空限制；市场存在无风险资产,投资者能以固定无风险利率借入任意数量的这种资产；资本市场没有税收,交易成本,资产没有红利安排；没有通货膨胀和利率变化；市场上的任何投资者均不能通过其投资行为影响资产价格；假设市场存在无风险资产时,那么任意风险资产的超额收益率可以表示为：E R iRfMiER MR f,其中ER MR f是市场风险资产组合的超额收益率,E R iR f,Mi用向量表示成：ER RflME R MR f,这里的McovR ,RMvarRMMi是其第 i重量,且MicovR i2w,RM,表示证券 i收益率和市场组合收益率的协方差,其M值的大小可以说明单个证券与市场组合风险的相关程度,

17、varR M表示市场组合收益率的方差 ,由此可以推导出CAPM 的表达形式就是：E RiRfERMRfiM,其实质是关于风险补偿的精确描述；5 用夏普的思想说明就是,系统风险可以带来收益的补偿,而非系统风险就得不到收益补偿；三资本市场线CML和证券市场线SML上文争论到马科维茨“ 均值 - 方差模型”中引入风险资产并答应风险资产卖空的情形下,曾得出有效边界变为一条射线 FT图 2,那条射线就被称为资本市场线CML；资本市场- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线是指说明有效组合的期望收益率和标准差之间的一种简

18、洁的线性关系的一条射线；它是沿着投资组合的有效边界,由风险资产和无风险资产构成的投资组合；其表达式为：图 3 资本市场线图 4 证券市场线E RpRfERmRfp,揭示的是“ 持有不同比例的无风险资产和市场组合情形下”m风险和酬劳的权衡关系,位于资本市场线上的点就是有效组合；证券市场线 SML其实也就是资本资产定价模型CAPM 的图示形式,如图 4 所显示的在以 Ep 为纵坐标、 p 为横坐标的坐标系中的一条直线,其中 R 和 分别表示证券组合 的 必 要 报 酬 率 和 系 数：E R i R f E R M R f i , i CovVar R R i , Rm m 2 imm,其中 系数

19、表示某证券对于市场组合的风险度量,也就是测量风险的工具；证券市场线揭示的是“ 证券的本身的风险和酬劳”之间的对应关系, 由于证券市场线说明的是任何一种单个资产或者组合的期望收益与其系统风险之间的关系,所以证券市场线上的点不肯定在资本市场线上；6 需要说明的是,资本市场线实质是证券市场线的一个特例；当一个证券组合与市场组合的相关系数等于 1,此时,证券市场线与资本市场线便是相同的；六 CAPM的有用性和有效性争论一 CAPM的重要含义与广泛应用依据上述对 CAPM 模型的推导和表述, 我们不难发觉 CAPM 的重要含义大致有以下几点：股票系统风险的衡量指标是 值, =1 时系统性风险等于市场组合

20、风险, 1 和 1 时股票的系统性风险就相应大于和小于市场组合风险；股票风险处于均衡状态时,- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 每只股票与股票组合的预期收益率呈线性关系；系统性风险打算股票价格是唯独变量,非7系统性风险可以通过持有充分分散的组合趋向零；CAPM 实质是一个可以衡量风险大小的模型,来帮忙投资者打算所得到的额外回报是否与当中的风险相匹配,从理论上来看, 我们利用资本资产定价模型,就可以对任一证券的预期收益率的作出估量,关键因素是要估算出 的值,假如证券市场的进展是平稳、有秩序的,我们就可以利用有

21、关历史数据来作回来分析,从而得到 系数估量值,在现实中, 值的运算量很大,过程也比较复杂；CAPM 模型在金融投资理论的位置显著,得到了普遍认可,证券投资界投资专家用它来对证券的预期收益进行度量；立法机构用它来标准基金界人士的费用率；评级机构用它来测定投资治理者的业绩对资金成本进行估量等等,应用特别广泛；二关于 CAPM 有效性的争论由于受到一系列假设条件的限制,CAPM模型的有用性在不同的现实市场中受到不同程度的挑战, 国内外学者就 CAPM模型在各国资本市场上的适用程度进行了大量的实证争论：闻名经济学家法玛和弗兰奇 Kenneth French 在争论 1963年到 1990年期间纽约证交

22、所,美国证交所, 以及纳斯达克市场里的股票回报时发觉：在短时间内, 单个股票的 Beta和回报率之间的线性关系并不存在,而从长时期来看, 值并不能充分说明股票的表现,好像在现实资本市场, CAPM的有效性并不高；我国学者通过 CAMP的构造争论上海股票市场,通过回来分析结果,发觉拟合出的 SML运算出的收益率和实际值的吻合程度并不高, 值对收益率有肯定的说明力, 但对市场风险度量缺乏显著作用,如此看来, CAPM对我国股票定价的有效性不够明显；8 深究其中缘由, 我国股市进展仍不成熟,存在投资者的短期投机动机很强,禁止卖空,市场缺乏退出机制,无法实现上市公司的优胜劣汰等问题,这些导致在这样的股

23、市环境与 CAPM成立的假设条件相差甚远,导致 CAPM有效性不显著；七、结论一 CAPM在答应卖空和退出的长期投资组合中有效性显著实证的有效性检验,只能用来说明CAPM 在某个证券市场上是否适用,而不能冲击这个模型在理论上的正确性；详细来说,当资本市场环境基本符合CAPM 成立的假设条件,比方资本主义国家发达成熟的资本市场,CAPM 有效性是显著的；在禁止卖空,缺乏退出机制,短期投机动机强的资本市场中,CAPM 有效性就很低；二风险不是打算收益的唯独因素,股本规模、可流通股占总股本的比例等产因素均生不同程度的影响CAPM 自产生起,传达给众投资者的重要结论就是：风险打算收益,只有一种缘由会使

24、投资者得到更高回报,那就是投资高风险的股票；然而,在现实资本市场中,是否“ 高风险=高收益” ,低风险收益注定就很小呢？在现实股票市场中争论后就会发觉,风险和收益的关系并不完全是CAPM 理论所预期的那样,其中, 系统风险并不是打算收益的唯独因素,- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其他因素如如股本规模、可流通股占总股本的比例等都对股票收益产生不同程度的影响作用,这些因素对收益的详细影响有待以后的进一步争论；该文系 2022 暑期社会实践课程 II 的作业参考文献1 邓英东 资本定价理论的进展 J 合肥工业

25、高校学报 2004 , 5:75-76 ；2 陈静 胡良剑 证券收益与风险的投资可行集与有效边界数学刻画 J 科技与工程 2022 ,12:78-83 ；3 吴晓求 中国资本市场分析要义 M 出版社 2005 年；4 唐小我 曹长修 组合证券投资有效边界的争论 J 猜测 1998,15:53-56 ；5 叶中行 林建忠 数理金融 M 科学出版社 2002 年；6 史树中 杨杰 证券组合投资的有效子集 J 应用数学学报 2002 , 25:176-185 ；7 唐红兵 赵新俊 有风险投资与无风险投资组合的争论 J 新疆农业高校学报 2000,23:25-43；8 李剑峰 资本资产定价模型CAPM对上海股市的实证争论 J 江苏统计 2002 , 6:12-17 ；- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页