2022年文科高考数学试卷中的经典数列题透析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高考文科数学试卷中的数列题浅析数列,在高中数学教学大纲中只有 12 课时,在考纲中也只是要求,懂得数列的概念,明白数列通项公式的意义,明白递推公式是给出数列的一种方法,并能依据递推公式写出数列的前几项；懂得等差数列的概念,把握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简洁的实际问题；懂得等比数列的概念,把握等比数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简洁的实际问题,等等但是,在历年的高考中,都把数列当作重要的内容来考查,题目有肯定的难度、深度和综合程度,在考查演绎推理才能中发挥着越来越重要的作用纵观 2022 年全国各省的高考文科数学试卷,涉

2、及数列的题目大都是“ 一小一大” ,分值 17 分左右,约占试卷总分值的1,难度大都为中低档,但也有少数省份将数列题作为把关、压轴题,如 安徽卷、上海卷的第 21 题,重庆卷的9第 22 题 等下面,我们仅对其中的一些题目进行简要的分析例 1 设 an是等差数列,如 a2=3,a 7 =13,就数列 an 前 8 项的和为（）A 128 B80 C64 D56 （福建卷第 3 题）略解：a2 +a 7 = a 1 +a 8 = 16, an 前 8 项的和为 64,故应选 C例 2 已知等比数列 a n 满意 a 1 a 2 3,a 2 a 3 6,就 7a（）A64 B81 C 128 D2

3、43 （全国卷第 7 题）答案： A例 3 已知等差数列a n中,a 26,a 515,如b na 2n,就数列nb的前 5 项和等于（）（安A 30 B45 C90 D186 （北京卷第7 题）略解： a 5 -a 2 =3d=9, d=3 ,b 1 =a 26,b 5 =a 10 =30,b n的前 5 项和等于 90,故答案是C例 4 记等差数列的前n 项和为S ,如S 24,S 420,就该数列的公差d（）A 2 B3 C6 D7 （广东卷第4 题）略解：S 4S 2S 24 d12,d3,应选 B. 例 5 在数列 a n中,an4n5,a 1a 2a n2 anbn,n* N ,其

4、中a b 为常数, 就 ab2徽卷第 15 题）答案： 1例 6 在数列 a n中,a 12,an1anln11,就a n（）nA 2ln n B 2n1lnn5 题）C 2nlnn D 1nlnn （江西卷第答案： A例 7 设数列a n中,a 12,a n1a nn1,就通项a na n_ （四川卷第16 题）1a nn1中a n1,a系数相同是找到方法的突破此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式,抓住口a 3略解：a 12,a n1a 2a na 1n1a na n1n11,a n1a n2以n21,a n2a n3n31,a 221,1 1,a 121 1将上各式相加,得名师归纳

5、总结 第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a nn1n2n321n1n1nn1n n11,故应填n n1+1222例 8 如 x+1 2xn的绽开式中前三项的系数成等差数列,就绽开式中x4项的系数为 A6 B7 C 8 D9 重庆卷第 10 题 答案： B使用挑选题、填空题形式考查的文科数列试题,充分考虑到文、理科考生在才能上的差异,侧重于基础学问和基本方法的考查,命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用 为主,如,例4 以前的例题例5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特别函数的懂得；例 6、例 7 考查由给

6、出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的才能；例 8 就考查二项绽开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第 1 题,浙江卷第 4 题,陕西卷第 4 题,天津卷第 4 题,上海卷第 14 题,全国卷第 19 题等,都是关于数列的客观题,可供大家作为练习例 9 已知 an是正数组成的数列,a1=1,且点（a n , a n 1）（n N* ）在函数 y=x 2+1 的图象上 . 求数列 an的通项公式；如数列 bn满意 b1=1, bn+1=bn+ 2 a ,求证： bn bn+2b 2n+1. （福建卷第 20 题）略解：（）由已知,得 an+1-an=1,又 a1=1,所以数列 an是以

7、1 为首项,公差为 1 的等差数列故 an=1+n-1 1=n. 由（）知,an=n,从而bn+1-bn=2n,bn=bn-bn-1+bn-1-bn-2+ +（b2-b1） +b1=2n-1+2n-2+ +2+1=2n-1 . bn.bn+2-b21=2n-12n+2-1-2n+ 1-12= -2n0, bnbn+2b21nn对于第（）小题,我们也可以作如下的证明： b2=1,bnbn+2- b21=bn+1-2nbn+1+2n+1- b21=2n+1bn+1-2nbn+1-2n2 n+1 2 n（ bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2 n+1）=2nnn（bn-2n）= =2n（b1

8、-2）=-2n0, bn-bn+2b 2n+1.例 10 在数列a n中,a 11,a n12 a nn 2（）设b na n1证明：数列b n是等差数列；（）求数列a n2n的前 n 项和S （全国卷第19 题）略解：（）b n1b = nann1an1=an1n 22a = 2 2nnb为等差数列,b 11,b nn ,a nnn 21n=1,就2n 2（）S n0 1 21 2 2nn 1 22n2n1,2 S n1 1 22 22 n1 2n1n2n两式相减,得S nn2n0 1 21 22n1nn 2n 21= nn 121对于例 10 第（）小题,基本的思路不外乎推出后项减前项差相

9、等,即差是一个常数可以用迭代法,但不行由b2-b1=1,b 3 -b 2 =1 等有限个的验证归纳得到 b n 为等差数列的结论,犯“ 以偏盖全” 的错误第（）小题的“ 等比差数列” ,在高考数列考题中显现的频率很高,求和中运用的“ 错项相减” 的方法,在教材中求等比数列前 n 项和时给出,是“ 等比差数列” 求和时最重要的方法一般地,数学学习中最为重要的内容经常并不在结论本身,而在于获得这一结论的路径赐予人们的有益启示例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型,类似的题目仍有浙江卷第18 题,江苏卷第 19 题,辽宁卷第 20 题等,其共同特点就是以等差数列或等比数列为依

10、靠构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本学问,考查转化与化归思想,考查推理与运算才能考虑到文、理科考生在才能上的差异,与理科试卷侧重于理性思维,命题设计时以一般数列为主,以抽象思维和规律思维为主的特点不同；文科试卷就侧重于基础学问和基本方法的考查,以考查详细思维、演绎思维为主例11 等 差 数 列 a n的 各 项 均 为 正 数 ,a 13, 前 n 项 和 为S , b n为 等 比 数 列 , b 11, 且名师归纳总结 第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b S 264,b S 3960 求a 与nb ； 求和：111

11、（江西卷第19 题）S 1S 2S nd略解： 设 a n的公差为d , b n的公比为q ,依题意有1S b 2 26d q164,解之,得1dn2, 8;或nS b 393 d q2960.q6 , 5 舍去,为什么？ 故a n32n12 n1,b nn 81q40. 31（）S n35n,n1111111111112S 1S 2S n1 32435n n2232435n111n11n1232n2n322241n“ 裂项相消” 是一些特别数列求和经常用的方法使用解答题形式考查数列的试题,其内容仍往往是一般数列的内容,其方法是讨论数列通项及前 n 项和的一般方法,并且往往不单一考查数列,而是

12、与其他内容相综合,以表达出对解决综合问题的考查力度数列综合题对才能有较高的要求,有肯定的难度,对合理区分较高才能的考生起到重要的作用a n例 12 设数列a n的前 n项和为S n2 a n2n 2,（）求a a ；（）证明：a n12 a n是等比数列； （）求的通项公式 （四川卷第 21 题）略解：（）a 1S 1,2a 1S 12,所以a 12,S 12由 2 anS n2n知,2an1S n12n1a n1S n2n1得,an1S nn 21a2S 122226,S 28,a 3S 22383 216,S 324,a4S 32440（） 由题设和式知,an12anS n2n1S n2n

13、2n12n2n ,a n12 a n是首项为 2,公比为 2 的等比数列（）a na n2 a n12a n12 a n2n 22a 22 a 1n 21a 1n12n1S n此题重点考查数列的递推公式,利用递推公式求数列的特定项,通项公式等推移脚标,两式相减是解决含有的递推公式的重要手段,使其转化为不含S 的递推公式,从而有针对性地解决问题在由递推公式求通项公式时,首 n项是否可以被吸取是易错点同时,仍应留意到题目设问的层层深化,前一问常为解决后一问的关键环节,为求解下 一问指明方向例 13 数列a n满意a 10 ,a2,2an121cos2nan4sin2n 2,n1,2,3,k（I）求

14、 ,a 3,a 4,并求数列a n2的通项公式；（II ）设S ka 1a 3a 2k,T ka 2a 4a 2k,W k2S kN,求使W k1的全部 k2T k名师归纳总结 第 3 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的值,并说明理由 （湖南卷第 20 题）略解：（I）a31 cos22a 14sin22a 144,a 42 1 cosa 24sin22 a 24,一般地N, 当n=2 k1 kN时,时 ,a 2k11cos22k21a2k14sin22k21a 2k14,即a 2k1a 2k14.所 以 数 列a 2k1是 首 项 为

15、0 、 公 差 为4 的 等 差 数 列 , 因 此a 2k14k1.当n=2 k ka 2k212 cos2ka2k4sin22k2 a2k,所以数列a 2k是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此a 2kk 2 .故数22列a n的通项公式为an2n1,n2k1kN,n2 ,n2 k kN.（II）由（ I）知,S ka 1a 3a 2k1=044k12 k k1,T ka 2a 4a 2k22 2k 2k 212,即W k2S kk k1 1 .2T k2k于是,W 10,W 21,W 33 , 2W 43 , 2W 55 , 4W 615. 16下 面 证 明 : 当k6时 ,W k

16、1.事 实 上 , 当k6时 ,W k1W kk21 kk k11k3kk0,k2k2W k1W k.又W 61, 所以当k6时,W k1.故满意W k1的全部 k 的值为 3,4,5. 例 12、例 13 代表了另一种重要的题型,从比较抽象的数列入手,给定数列的一些性质,要求考生进行严格的规律推证,找到数列的通项公式,或证明数列的其他一些性质这些试题对恒等证明才能提出了很高的要求,要求考生首先明确变形目标,然后依据变形目标进行恒等变形在变形过程中,不同的变形方法也可能简化原先的式子,也可能使其更加复杂,所以仍存在变形路径的挑选问题从以上例子不难看出,在考查相关学问内容的基础上,高考对数列的考查把重点放在对数学思想和方法的考查,放在对思维才能以及创新意识和实践才能的考查上往往突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想、特别与一般 的思想、有限与无限的思想等数学思想和方法,除了考查教材中学习的等差数列与等比数列外,也考查一般数列,考 查由一般数列入手,构造等差数列与等比数列的推理和论证方法名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页