2022年数列高考知识点归纳4.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列高考学问点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重争论它的定义域、值域、 增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摇摆数列；数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：a n f n 2、等差数列 1、定义当 nN , 且n2时,总有a n1a nd,d常 ,d 叫公差；1,a 1为端点 , 斜率为 d 斜线上一些 2、通项公式ana 1n1 dd 是 n 的一次函数,其图象是以

2、点1）、从函数角度看andna 1孤立点；2）、从变形角度看ana nn1d , 即可从两个不同方向熟悉同一数列,公差为相反数；mn2d , 又ana 1n1 , d ama 1m1 d , 相减得anamnm d ,即ana mnm d . 如 nm,就以am为第一项,a 是第 n-m+1 项,公差为d；如 nn ,求 Sn+m的值； 思路 S n,S m,S m n下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质mnpqamanapa q是否有关？ 解题 由 Sn=a,S m=Sn+a n+1+an+2+ +am=b 得 a n+1+an+2+ +am =b-a, 即an12ammnbna,得

3、a n12a mbban .mn由n+1+m=1+n+m, 得 an+1+am=a1+am+nam故S mna 1amnman12ammn2mn 请你试试 1 3 1、在等差数列 an 中,S615,S955,求S15；3n 项和第 5 页,共 22 页2、在等差数列 a n 中,S31,S93,求S12；第 3 变已知已知前n 项和及前 2n 项和,如何求前名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变题 3 在等差数列 a n 中,S1020,S2040,求S30a20, 思路 由S 10,S 20,S 30查找S 10,S 20S 10,S

4、30S 20之间的关系；解 题 设 数 列 a n 公 差 为d ,QS 10a 1a2La 10,S 20S 10a 11a 12LS 30S 20a 21a22La 30, S 20S 10S 1010 10d , S 30S 20S 20S 1010 10d , 得所 以S 10,S 20S 10,S 30S 20成 等 差 数 列 , 公 差100d , 于 是2S 20S 10S 10S 30S 20S 303S 20S1032060；a20, 收成 1 、在等差数列an 中,S 10,S 20S 10,S 30S 20成等差数列,即a 1a 2La 10,a 11a 12La21a

5、22La 30, ,成等差数列,且S 303S 20S10；3、 可推广为S 5 n5S 3 nS2n,S 7n7S 4nS3n, ,S 2k1n2k1S knSk-1n； 请你试试 1 4 1、在等差数列 a n 中,a 1a23,a 3a46,求a7a 82、在等差数列 an 中,a 1a2La 1010,a 11a 12La2020,求a31a 32La403、在等差数列 a n 中,S1020,S2030,求S50 及 S100 ；4、数列 a n 中, S na, S 2nb,求S3n ；5、等差数列 a n 共有 3k 项,前 2k 项和S2k25,后 2k 项和S2k75,求中间

6、 k 项和 S中；第 4 变 迁移变换重视 Sx=Ax 2+Bx 的应用 变题 4 在等差数列 an 中, Sn=m,Sm=n,mn ,求 Sn+m的值； 思路 等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数,如所求问题与a d无关时,常设为S=An 2+Bn形式； 解题 由已知可设 Sn=An 2+Bn=m Sm=Am 2+Bm=n , 两式相减,得 An+mn-m+Bn-m=m-n , 又 mn , 所以A nm B1,得S m nA mn2B mn mn A mnBmn ； 收成 “ 整体代换” 设而不求,可以使解题过程优化； 请你试试 1 5 1、 在等差数列 a n 中,S1284,S2

7、0460,求S32第 6 页,共 22 页2、 在等差数列 an 中,S mS n,mn,求Sm+n3、 在等差数列 a n 中,a10,S 10S 15,求 当 n 为何值时, Sn 有最大值名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 5 变 归纳总结,进展提高 题目 在等差数列 a n 中, Sn=a,S m=b,mn ,求 Sn+m的值；（仍以变题 2 为例）除上面利用通项性质 m n p q a m a n a p a q 求法外,仍有多种方法；现列举例如下：1、 基本量求解：由Snna 1nn1 da ,S mma 1m m1 db,

8、n, Sn , nna,22相减得nm a 1mn1dab, S mnmna 1mn mn1 d22代入得S mnmnab；nmBmn nmab 2、利用等差数列前x 项和公式 Sx=Ax 2+Bx 求解由 Sx=Ax 2+Bx,得 Sn=An 2+Bn, Sm=Am 2+Bm 两式相减,得 An+mn-m+Bn-m=a-b 即Anm Bab故S mnAmn2nmnm3、利用关系式SnAnB求解n, Sn 中的点共线,即 nn由SnAnB知Sn 与 n 成线性关系,从而点集 nns ns ms mns nabs mm, Sm ,m+n, mS mn 共线,就有nmmnn, 即nmmnnmnnm

9、mnnnmm化简 , 得mnns mnmanbananb,即s mnnmab. nmnmnm4、利用定比分点坐标公式求解由sAn, Sn , nBm, . Sm , mPm+n, S mn 三 点 共 线 , 将 点P 看 作 有 向 线 段 AB 的 定 比 分 点 , 就mnns n1m s mn mm nabAPmnnm,可得s mmnn mab, n即PBmmn nnnm1nnmabmnnm 请你试试 1 6 如 Sn是等差数列 a n 的前 n 项和, S2=3,S6=4 ,就 S12_. 题根二其次节a等比数列的概念、性质及前n 项和等比数列 a n ,54,a76, 求 a9；

10、思路 1 、由已知条件联立,求,从而得2、由等比数列性质,知成等比数列； 解题 1 由a5a q44,a 7a q69, 两式相除,得q23,a 9a q2639；第 7 页,共 22 页22名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解题 2 由a 5,a a9成等比,得a 9a 722 69；a 54 收成 1 、敏捷应用性质,是简便解题的基础；2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列； 请你试试 2 1 a 30_；等比数列 an ,a 10,q2,如a 1a2a 3La30230,就a 3a6a 9L 变题 2 等比数列 an ,a 1第

11、 1 变连续如干项之和构成的数列仍成等比数列；a2a 32,a4a 5a 66,求a 10a 11a 12 思路 等比数列中,连续如干项的和成等比数列； 解题 设 b 1 a 1 a 2 a b 2 a 4 a 5 a , ,b 4 a 10 a 11 a 12,就 bn 是等比数列,b 1 2, q 3,b 4 b q 32 3 354,即 a 10 a 11 a 12 54； 收 获 等 比 数 列 a n ,q 1 时 ,S k , S 2 k S k , S 3 k S 2 k, 成 等 比 数 列 , 但 总 有S k S 3 k S 2 k S 2 k S k 2；当 k 为偶数时

12、,q k0 恒成立； 请你试试 2 2 1、等比数列 an ,q 1 时,S 2 2, S 4 6,求 S ；2、等比数列 a n ,q 1 时,S 2 1, S 6 21,求 S ；第 2 变 S 3 , S 9 , S 成等差,就 a a 9 , a 成等差 变题 3 等比数列 a n 中,S S 9 , S 成等差,就 a 3 , a a 成等差； 思路 S 3 , S S 成等差,得 S 3 S 6 2 S ,要证 a a 9 , a 等差,只需证 a 3 a 6 2 a ； 解题 由 S 3 , S S 成等差,得 S 3 S 6 2 S ,当 q=1 时,S 3 3 a S 6 6

13、 a S 9 9 a , 由 a 1 0 得 S 3 S 6 2 S ,q 1；3 6 9a 1 1 q a 1 1 q 2 a 1 1 q 由 S 3 S 6 2 S ,得,1 q 1 q 1 q整理得 q 3q 62 q ,9Q q 0,得 1 q 32 q ,6两边同乘以 a , 得 a 3 a 6 2 a ,即 a a 9 , a 6 成等差； 收成 1 、等比数列 an 中,S 3 , S S 成等差,就 a 2 , a a 成等差；2、等比数列 a n 中,S n , S m , S 成等差,就 a n d , a m d , a k d（其中 m d n d k d N *, d

14、 Z）成等差名师归纳总结 第 8 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、等比数列 a n 中,an,a m,a 成等差,就a n d,am d,ak d（其中md nqd kdN*,dZ ）成等差； 请你试试 2 3 1 ,求证 a nn2 也是等比1、 等比数列 a n ,q1,a a5,a6成等差,求a 11a 9a 10的值；2、等比数列 a n ,a a7,a 成等差,求证2S S 6,S 12S 成等比；第 3 变S n是等比,an也是等比数列 变题 4 数列 an中,a 10且S S 2,L,S n,L,是等比数列,公比 q

15、 数列； 思路 Q a n S n S n 1 , 欲证 a n 为等比数列,只需证 a n 为常数；a n 1 解题 Q a n S n S n 1,a n 1 S n 1 S ,（n 2）, 得 a n 1 S n 1 S n,而 S n S n 1 q ,S n 1 S n 1 q ,2a n S n S n 1a n 1 S n 1 q q 1q,（n 2）, 故 a n 从其次项起,构成等比数列,公比为 q ；a n S n 1 q 1第 4 变 等比数列在分期付款问题中应用问题 顾客购买一售价为 5000 元的商品时,采纳分期付款方法,每期付款数相同,购买后 1 个月付款一次,到第

16、 12 次付款后全部付清；假如月利润为 0.8%,每月利息按复利运算,那么每期应对款多少？（精确到 1 元）分析一：设每期应对款 x 元,就第 1 次付款后,仍欠 50001+0.8%-x（元）第 2 次付款后,仍欠 50001+0.8% 2-x1+0.8%-x=50001+0.8% 2-x1+0.8%-x（元）第 3 次付款后,仍欠 50001+0.8% 2-x1+0.8%-x1+0.8%-x=50001+0.8% 3-x1+0.8% 2-x1+0.8%-x（元） 最终一次付款后,款已全部仍清,就 50001+0.8% 12-x1+0.8% 11-x （1+0.8%）10- -x1+0.8%

17、-x=0 ,12移项 50001+0.8% 12=x1+0.8% 11+x（ 1+0.8%）10+ +x1+0.8%+x, 即 x 1 1.008 5000 1.008 121 1.00812算得 x 5000 1.00812 1.008 1 438.6（元）1.008 1一般地,购买一件售价为 a 元的商品,采纳分期付款时,要求在 m个月内将款仍至 b 元,月利润为 p,分 n（nm是 m的约数）次付款,那么每次付款数运算公式为 x 1 p mb 1m p n 1 . 1 p 1分析二：设每月仍款 x 元,将商家的 5000 元折算成 12 个月后的钱要运算 12 个月的利息,而顾客第一次仍

18、的钱也应运算 11 个月的利息,其次次仍的钱应运算 10 月的利息 ,于是得方程50001+0.8% 12=x1+0.8% 11+x（1+0.8%）10+ +x1+0.8%+x ,解得 x 438.6（元）分析三：设每次仍款 x 元,把仍款折成现在的钱,可得x x x5000 2 L 11, 解得 x 438.6（元）；1 0.8% 1 0.8% 1 0.8%名师归纳总结 第 9 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将上述方法应用到其他实际问题中,如木材砍伐,人口增长等； 请你试试 2 4 某地现有居民住房的总面积为a m2,其中需要拆除

19、的旧住房面积占了一半；当地有关部门打算在每年拆除一那定数量旧住房的情形下,仍以 10%的住房增长率建设新住房；假如 10 年后该地的住房总面积正好比目前翻一番,么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少？（取1.110为 2.6 ）第三节常见数列的通项及前n 项和 题根 3 求分数数列1 1 1, ,1 2 2 3 3 4,L 的前 n 项和S n 思路 写出数列通项公式,分析数列特点：分母中两因数之差为常数1； 解题 数列通项公式an11,亦可表示为an1n11,n nn所以S n1111L1n111n11nn1；223n 收成 将数列每一项裂为两项的差,再相加,使得正负抵消；第 1 变分母中两因数之差由常数1 由到