2022年数列知识点所有性质总结3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、等差数列1. 等差数列的定义：anan1d（d为常数）（n2）；2等差数列通项公式：ana 1anna1 dndna 1d nN*d,首项 :a ,公差 :d ,末项 :an推广：mm d从而anam；nm3等差中项（1）假如 a , A , b 成等差数列,那么A叫做 a 与b的等差中项即：Aa2b或2Aab（2）等差中项：数列an是等差数列2 anan1-an1n2 2a n1anan24等差数列的前n 项和公式：S n n a 1 a n na 1 n n 1d d n 2 a 1 1d n An 22 2 2 2（其中 A、B是常数

2、,所以当 d 0时, Sn是关于 n的二次式且常数项为Bn 0）特殊地,当项数为奇数2 n1时,an1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项S 2n12n1a 1a 2n12n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）25等差数列的判定方法（1） 定义法：如anan1d或an 1and 常数nNan是等差数列n2（2） 等差中项：数列an是等差数列2an1ana2anan-1an1n2a nknb数列an是等差数列（其中k,b是常数）；（4）数列an是等差数列S nAn2Bn , （其中 A、B是常数）；6等差数列的证明方法定义法：如a nan1d或an 1and 常数nNan

3、是等差数列7. 提示 ：（1） 等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5 个元素：a 、 d 、 n 、a 及S ,其中a 、 d 称作为基本元素；只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余2 个,即知 3 求 2；（2）设项技巧：一般可设通项ana 1n1 dd ；奇数个数成等差,可设为 ,a2 , d ad a ad a2d （公差为 d ）；偶数个数成等差,可设为 ,a3 , d ad ad a3 d , （ 留意；公差为2d ）8. 等差数列的性质：（1）当公差d0时,等差数列的通项公式ana 1n1 ddna 1d 是关于n的一次函数,且斜率为公差前 n 和S nna 1n

4、 n1dd2 na 1dn 是关于 n 的二次函数且常数项为0. 2220,就为常数列；（2）如公差d0,就为递增等差数列,如公差d0,就为递减等差数列,如公差d（3）当 mnpq 时, 就有amanapaq,特殊地,当mn2p时,就有ama n2a . 注：a 1ana 2an1a3a n2,- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）如 a n、nb 为等差数列,就 a n b,1 a n 2 b n 都为等差数列5 如 a 是等差数列,就 S n , S 2 n S n , S 3 n S 2 n, 也

5、成等差数列（6）数列 a n 为等差数列 ,每隔 kk N 项取出一项 *a m , a m k , a m 2 k , a m 3 k , 仍为等差数列（7）设数列 a n 是等差数列, d 为公差,S 奇 是奇数项的和,S 偶 是偶数项项的和,S 是前 n 项的和1. 当项数为偶数 2时,n a 1 a 2 n 1S 奇 a 1 a 3 a 5 a 2 n 1 na n2n a 2 a 2 nS 偶 a 2 a 4 a 6 a 2 n na n 12S 偶 S 奇 na n 1 na n n a n 1 a nS 奇 na n a nS 偶 na n 1 a n 12、当项数为奇数 2n

6、1 时,就S 2 n 1 S 奇 S 偶 2 n 1 a n+1 S 奇 n 1 a n+1 S 奇 n 1S 奇 S 偶 a n+1 S 偶 na n+1 S 偶 n（其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） （8）、 nb的前 n 和分别为A 、B ,且A nf n ,mnnN*；Bn就a n2n1 anA 2 n1f2n1. b n2n1 b nB 2 n1（9）等差数列 a n的前 n 项和S mn ,前 m 项和S nm,就前 m+n 项和S m n10 求S 的最值但要留意数列的特殊性法一：因等差数列前n 项是关于 n 的二次函数, 故可转化为求二次函数的最值,法二

7、：（1）“ 首正” 的递减等差数列中,前n 项和的最大值是全部非负项之和即当a10,d0,由an100可得S 达到 最大值 时的 n 值an（2） “ 首负” 的递增等差数列中,前n 项和的最小值是全部非正项之和；a n 0即 当 a 1 0,d 0,由 可得 S 达到 最小值 时的 n 值或求 a n 中正负分界项a n 1 0法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数,故 n取离二次函数对称轴最近的整数时,S 取最大值（或最小值） ；如 S p = S q就其对称轴为 n p q2留意：解决等差数列问题时,通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于

8、 a 和 d 的方程；奇妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,削减运算量二、等比数列- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 等比数列的定义：a n1q q0n2,且nN*, q 称为 公比a n2. 通项公式：a na qn1a 1qnA Bna 1q0,A B0,首项：1a ；公比： qa nq推广：ana qnm,从而得qn man或qn ma ma m3. 等比中项（1）假如a A b 成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项即：A2ab 或 Aab留意： 同号的 两个数 才有 等比中项,

9、并且它们的等比中项（2）数列an是等比数列an2an1a n14. 等比数列的前n 项和S 公式：a 1a q1 当q1时,S nna 1S na 11n q2 当q1时,1q1q有两个 （两个等比中项互为相反数）1a 11a 1qqnAA BnA BnA（A B A B 为常数）q5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有a n1qan或an1q q 为常数,a n0an为等比数列a n（2） 等比中项：an2an1an1（an1an10）a n为等比数列为常数a n为等比数列（3） 通项公式：a nA BnA B0an为等比数列（4） 前 n 项和公式：S nAA Bn 或S

10、nA BnAA B A B6. 等比数列的证明方法依据定义：如an1q q0n2,且nN*或an1qana n为等比数列a n7. 留意（1）等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素：a 、 q、 n 、a 及 S ,其中 a 、 q 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；n 1（2） 为削减运算量,要留意设项的技巧,一般可设为通项；a n a q如奇数个数成等差,可设为 ,a2, a a aq aq 2 （公比为 q ,中间项用 a 表示）；q q8. 等比数列的性质1 当q1时- 3 - 名师归纳总结 - - - -

11、 - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 等比数列通项公式ana qn1a 1qnA BnA B0是关于 n 的带有系数的类指数函数,底为公比qq前 n 项和S na 11qna 1a qna 1q1a 1qqnAA BnA BnA,系数和常数项是互为相反1q1q1数的类指数函数,底数为公比qa na qn m,特殊的 ,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式.因此 ,此公式2 对任何 m,n* N ,在等比数列 an中,有比等比数列的通项公式更具有一般性；* 23 如 m+n=s+t m, n, s, t N ,就 a n a m a s a .特

12、殊的 ,当 n+m=2k 时,得 a n a m a k注：a 1 a n a 2 a n 1 a a n 24 列 a n , b n 为等比数列 ,就数列 k , k a n , a n k , k a n b n a n k 为非零常数 均为等比数列 . a n b n*5 数列 a n 为等比数列 ,每隔 kk N 项取出一项 a m , a m k , a m 2 k , a m 3 k , 仍为等比数列6 假如 a n 是各项均为正数的 等比数列 ,就数列 log a a n 是等差数列7 如 a n 为等比数列 ,就数列 S ,S 2n S ,S 3 n S 2,成等比数列8 如

13、 a n 为等比数列 ,就数列 a 1 a 2 a , a n 1 a n 2 a 2 n , a 2 n 1 a 2 n 2 a 3 n 成等比数列9 当 q 1 时,当 0 q 1 时, aa 11 0 0,就,就 aa nn 为递增数列为递减数列, aa 11 00,就,就 aa n n 为递减数列为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当 q0 时,该数列为摇摆数列 . 10在等比数列 a n中, 当项数为 2n n* N 时,S 奇S m1,.S 偶q11如a n是公比为 q 的等比数列 ,就S n mS nqn三、等差数列与等比数列性质的比较1、定义等差

14、数列性质1 ；a -an-1=dn2等比数列性质a n=qn2an+1-a =dna n+1=qn1,anan-1a na 1n1 d2、通项a na 1n q1mn q公式ana mnmd n mNa na m- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、前 n 项和s na 1a 2nn1 dq=1 , S =na ; =a -a qq1,S =n a 1-q nns nna 11-q1-q24、中项a、 A、b 成等差数列A=a+b 2；a、A、b 成等比数列AbaAa 是其前 k 项an-k与后 k 项a

15、n+k的等差中项,（不等价于2 A =ab ,只能）; 即：a = nan-k+an+ka 是其前 k 项an-k与后 k 项an+k的25、下标和公式如 m+n=p+q,就a ma napa q等比中项,即：2 a =an-kan+k如 m+n=p+q,就a ma napa q特殊地 , 如特殊地 , 如 m+n=2p,就a ma n2apm+n=2p,就amana2p6、首尾项性质等差数列的第k 项与倒数第 k 项的和等于首尾等比数列的第k项与倒数第 k 项的积等于两项的和 , 即：首尾两项的积 , 即：a 1a na 2a n1a ka nk1 a 1a na2a n1a ka nk1

16、an 为等差数列 , 如 m,n,p 成等差数列 , 就 an 为等比数列 , 如 m,n,p 成等差数列 , 就7、结论a m,a n,ap成等差数列a m,a n,ap成等比数列q,（两个等差数列的和仍是等差数列）（两个等比数列的积仍是等比数列）等差数列 an ,bn 的公差分别为d,e,就数等比数列 an ,bn 的公比分别为p,列a nb n仍为等差数列,公差为de就数列 a nb n仍为等比数列,公差为pq取出等差数列的全部奇（偶）数项,组成的取出等比数列的全部奇（偶）数项,组成的新新数列仍为等差数列,且公差为2 d数列仍为等比数列,且公比为q2如a =n,a =mmn, 就a m

17、n0无此性质；如S =n,S =mmn, 就S m n（mn无此性质；如s ms nmn ,就s mm0无此性质；s m,s 2ms m,s 3 ms 2m,成等差数列,s m,s 2ms m,s 3 ms 2m,成等差数公差为m2d列,公比为 qm当项数为偶数2 时,s 偶s 奇nd当项数为偶数2 n时,s 偶qs 奇当项数为奇数2n1时,- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8、等差 等比 s 奇s 偶a a nn1s 奇a 1qs 偶当项数为奇数2n1时,s 奇s 偶a 中定义法：anqs 2n1 2n

18、1a 中,s 奇s 偶nn1定义法：a na n1dn2an1等差中项概念；2 a nan1a n1n2等差中项概念；a a n2an2 1a n0函数法：a npnq p q , 为常数 关于 n 的函数法：anncq c,q均为不为0 的一次函数数列 an是首项为 p+q,公差为常数,nN,就数列a n是等比数列数列的判定方法p0 的等差数列； 数列an的前 n 项和形如数列an的前 n 项和形如S nan2bnS nAqnA A,q均为不等于0 的常a,b 为常数 ,那么数列an是等差数列,数且 q 1,就数列na是公比不为1 的等比数列 9、共性 非零常数列既是等差数列又是等比数列- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页