函数与方程的数学思想在解题中的运用 (2).doc

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1、函数与方程的数学思想在解题中的运用函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，它从量的方面刻画了宏观世界的运动变化、相互联系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画变量是函数的基础，对应(映射)是函数的本质。函数思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究自然界中具体问题量的依存关系，剔除问题中的非数学因素，抽象其数学特征，用函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，运用函数的性质使问题获得解决的思想。与函数思想相联系的就是方程的思想。方程的思想，是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，这就是方程的方法

2、。所设的未知数，沟通了变量之间的联系。方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁。中学数学，特别是中学代数，可谓是以函数为中心(纲)，集合的学习，为求函数定义域和值域打下了基础；映射的引入，使函数的核心对应法则更显现其本质；单调性、奇偶性、周期性的研究，是对映射更深入更细致的刻画；函数与反函数的研究，辩证地全面地看待事物之间的制约关系。各种具体函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及由它们通过有限次的加减乘除和简单的复合构成了初等函数：代数函数与超越函数；代数函数中，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、多项式函数、有理分式函数等等琳琅满目

3、。数列也可以看成是特殊的函数。解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点；解不等式f(x)0或f(x)O，就是求函数y=f(x)取正值、负值的区间；对函数解析式f(x)的研究为研究y=f(x)的分类、性质奠定了基础。函数的图象，从另一个方面刻画了函数的本质，单调性与升降，奇偶性与对称，定义域、值域与图象展布范围，最大值和最小值与最高点最低点的坐标，周期性与图象的重复出现，以函数为纲，就带动起了高中代数的“目”函数极限的研究，导数、微分、积分的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数、二次函数、三角函数等基本初等函数的图象和性质，是应用函数思想解题的基础。善

4、于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。一句话，抓住了函数，就牵起了中学代数的“牛鼻子”。例1已知(1-2x)7=a0+alx+a2x2+a7x7，求al+a2+a7=_.分析：此题可应用二项展开式定理展开求出a1，a2，a7然后求和去做，但运算量大，十分麻烦，且易出错如果用函数思想和整体性思想看问题，视(1-2x)7为以x为自变量的一元多项式函数f(x)，把离散的问题转化为连续的问题，利用赋特殊值法，可以使问题的解决变得十分巧妙。解：设f(x)=(1-2x)7=a0+alx+a2x2+a7x7，则f(0)=1=a0，f(1)=(1-2)7=-l=a0+a1+a2+a7，al+

5、a2+a7=-1-a0=-2例2如果二次函数f(x)=x2+px+q满足f(x+1)=f(1-x)，xR，试比较f(sin/7)和f(sin/5)的大小。解：由f(x+1)=f(1+x)=f(1-x)，xR，得函数f(x)的图象的对称轴方程为x=(1+x+1-x)/2即x=1又x2项的系数为10，故抛物线开口向上，函数f(x)在(-，1上为减函数。0/7/5/2，0sin/7sin/51，f(sin/7)f(sin/5)评注：本题的解决用到了正弦函数和二次函数的单调性，思维十分顺畅。例3已知T1=(1/2)1/3，T2=(1/5)1/3，T3=(1/2)2/7，下列关系式中正确的是（)。(A)

6、TlT2T3 (B)T3TlT2 (C)T2T3Tl (D)T2T1T3分析与解：这类几个实数值(幂值)比较大小的问题，解决它的关键是建立与之相应的函数模型，然后利用函数的单调性比较大小。观察比较题设的三个数值的底数和指数特征。T1与T3的底数相同而指数不同，T1与T2的指数相同但底数不同。这样，构造指数函数y=(1/2)x和幂函数y=x1/3.对于T1与T3，因为指数函数y=(1/2)x在(-，+)上是减函数，而1/3=2/62/7，所以T3T1；对于Tl和T2，因为幂函数y=x1/3在第一象限内是增函数，而1/21/5，所以T1T2因此T2T1T3，故选(D)例4若关于x的方程cos2x+

7、sinx+a=0有实数解，求实数a的取值范围分析与解：利用二倍角公式将原方程变形为1-2sin2x+sinx+a=0，即2sin2x-sinx-1-a=0原方程关于x有实数解，等价于方程关于sinx有-1，1中的实数解，设t=sinx-l，1，即相当于方程2t2-t-1-a=0有区间-1，1内的实数解。这牵涉到一元二次方程的实根分布，可用数形结合方法解之，但稍繁。如果换一个观点，视a=-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1，即a为x的函数，则原方程关于x有实数解等价于sinx-l，1，求a的值域，配方得a=2(sinx-1/4)2-9/8，由sinx-l,1,1/4-l，l,ami

8、n=-9/8,amax=2(-1-1/4)2-9/8=2，故a-9/8,2例5要开辟一个面积为800m2的长方形鱼池，并在四周修出宽分别为lm，2m的小路(如图1)，则占地面积最小是_m2解：设鱼池的长为xm，则宽为800/xm，占地总面积s=(x+4)(800/x+2)=2x+3200/x+8082(2x3200/x)+808=968(m2)，此时2=3200/x，x=40(m)故占地面积最小是968m2评注：这是一个实际应用问题，通过选择适当的自变量，建立目标函数，把几何图形问题转化为函数问题，借助函数求最值的均值不等式定理得出结论例6m为何值时关于x的二次方程7x2-(m+13)x+m2

9、-m-2=0的两个实根满足：(1)一根小于1，另一根大于1；(2)分别在区间(0，1)与(1，2)内分析与解：这本是一个一元二次方程实根分布问题，容易想的思路是由判别式大于零和求根公式求出两根，让两根满足题设条件去解不等式组，但实现起来较难注意到f(x)=0的实根实即函数y=f(x)的零点即y=f(x)图象与x轴交点的横坐标，由此数形结合，则解法简洁明快。设f(x)=7x2-(mx+13)x+m2-m-2(1)70，所以函数y=f(x)图象开口向上，方程7x2-(m+13)x+m2-m-2=0的两根一个大于1，一个小于1，等价于f(1)0，即7-(m+13)+m2-m-20，(n2)即a-(1

10、/n)x+(2/n)x+(n-1)/n)x,x(-,1k/n(k=1，2，3，n-1)1，(k/n)x在(-，1上都是减函数，从而-(k/n)x在(-，1上都是增函数，-(1/n)x+2/nx+(n-1)/n)x,在(-，1上也是增函数故当x在其变化区间(-,1的右端点取值即x1时，-(1/n)x+2/nx+(n-1)/n)x,取得最大值-n/1+2/n+(n-1)/n=-1/n1+（n-1）/2(n-1)=(1-n)/2a的取值范围是aa(1-n)/2评注：本题是利用指数函数的单调性解不等式的问题，由函数概念引起的一系列转化实现了问题的解决例12设圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段

11、圆弧，其弧长的比为31在满足条件的所有圆中，求圆心到直线l：x一2y=0的距离最小的圆的方程分析：本题要求圆的方程，需要求出圆心坐标(a，b)和半径r，就要依据题设条件，运用方程的思想方法探求三个含有未知数的方程画个简图可以帮助打开解题思路解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别是b,a。由题设知圆P截轴所得劣弧对的圆心角为90，故知圆P截轴所得的弦长为2r，故有r2=2b2又圆P截y轴所得弦长为2，有r2=l+a2从而得2b2-a2=1又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=a-2b55d2=a-2b2=a2+4b24ab由得2b2=a2+1，代人，得5d2=a2+(a2+1)+2b2-4ab=2(a-b)2+11因此，当且仅当a=b时，5d2(从而d)取最小值由a=b,2b2-a2=1解得a=1,b=1或a=-1,b=-1,r=2.故所求圆的方程是(x1)2+(y1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2评注：本题在得到2b2a2=l，5d2=a2+4b24ab后如何求d的最小值，关键在于利用条件2b2a2=1上述解法利用了配方法，也可运用均值定理：a2+b22ab进一步变形求解6