几何概型与方程的交汇与整合问题例析.doc

《几何概型与方程的交汇与整合问题例析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何概型与方程的交汇与整合问题例析.doc（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、几何概型与方程的交汇与整合问题例析王勇 （湖北省襄樊市第一中学，441000）几何概型是高中数学的新增内容，是新课程高考的一大亮点和热点，是中学数学知识的一个重要交汇点，已成为联系多项内容的媒介本文仅展示几何概型与方程的交汇与整合问题，从中可以看到二者联袂使呆板、平淡的数学题充满活力和无穷魅力例1（2010济南市模拟题） 设在上随机地取值，求方程有实数根的概率分析：由于在上随机地取值，样本点有无数个，所以是属于几何概型的问题只要求出使方程有实数根的的取值范围，则问题便迎刃而解解析：方程有实数根或，方程有实数根时，的取值范围为故方程有实数根的概率为.例2（2010广州市质检题） 已知，为向量与的

2、夹角，求关于的方程有实根的概率分析：把方程有实根的条件一步步进行转化为事件“一个角的范围”的概率从而总的基本事件也联想到是“两向量夹角的范围”，最后把概率的计算转化为角的区间长度的比解析：向量与的夹角范围是，而事件“方程有实根”等价于解得，所以关于的方程有实根的概率例3（2010烟台市调考题）设点在，中均匀分布，试求关于的方程的两根都是实数的概率分析：本题表面上看是一元二次方程问题，而求出条件来之后转化为关于参数的关系式问题我们可以构造平面图形来解决解析：由于点组成了边长为的正方形，所以由方程的两根都是实数，得，即所以当点落在正方形内且在圆外的阴影区域内时，方程的两根都是实数由图可知，阴影部分

3、面积图1故原方程的两根都是实数的概率为例（2010深圳市模拟题）在区间上随机取两个数，求关于的一元二次方程有实根的概率分析：把一元二次方程有实根所满足的关系，转化为坐标平面内对应的区域，进而把问题转化为几何概型问题图2解析：如图所示，在平面直角坐标系中，以，分别表示横、纵坐标，因为，是中任意取的两个数，所以点与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部实验结果的区域设事件表示“方程有实根”，则事件所对应的区域为，如图2中的阴影部分所示，且阴影部分的面积为，故由几何概型的概率公式得，即关于的一元二次方程有实根的概率为例（2007海南、宁夏卷）设关于的一元二次方程（1）若是从0，1，2，

4、3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率分析：（1）的基本事件有有限个，它属于古典概型，利用古典概型的概率公式求解；（2）中，均在相应区间取值，有无限个结果，属于几何概型，又由于有两个变量，故可通过“面积比”求概率解析：设事件为“方程有实根”当，时，方程有实根的充要条件为（1）基本事件共有12个：（0,0），(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2).其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取

5、值事件中包含9个基本事件，所以事件发生的概率为（2）如图3所示，试验的全部结果所构成的区域为，构成事件的区域为，所以事件发生的概率为图3点评：本题背景公平，新颖别致，将古典概型和几何概型融为一体同时加以考查出乎当时所有人的预料，而这正是命题者的“得意”之作两种概型的共同点是每个基本事件发生的可能性是相等的，即都具有等可能性；不同点是在一次试验中，古典概型可能出现的结果只有有限个，而几何概型的可能结果却有无限个根据这些特点，当两种概型出现在同一个问题中时，我们便不难区分它们分析出当，时，方程有实根的充要条件为是正确求解此题的关键例（2010南通市模拟题） 在区间上任取两实数，求二次方程的两根：（

6、）都是实数的概率；（）都是正数的概率分析：将方程的特征条件找出来转化为，的关系，作出几何区域，利用几何概型求解.图4解析：（）记事件表示“二次方程有两个实根”，因为二次方程有两个实根的条件为，结合，得画出区域如图所示事件的度量区域为图4中阴影部分，面积，全部基本事件的度量区域为正方形，面积由几何概型的概率公式可得,即方程的两根都是实数的概率为（2）记事件表示“二次方程的两根都是正数”，因为方程有两个正根的条件是图5即画出区域如图5所示事件的度量区域为图中阴影部分，面积，全部基本事件的度量区域为正方形，面积由几何概型的概率公式可得，即方程的两根都是正数的概率为变式题：（2010天津市联考题）在区

7、间上任取两实数，求二次方程的两根：（）都是实数的概率；（）都是正数的概率分析：将方程的特征条件找出来转化为，的关系，作出几何区域，注意到几何区域是曲边多边形，故可利用随机模拟法估算或先利用定积分的几何意义求有关面积后，再利用几何概型的概率公式求解法一：根据题意，以为横坐标，为纵坐标，得到一个边长为的正方形，如图6所示图6（）若两根都是实数，则，即，利用随机模拟法求概率利用计算机或计算器产生两组上的均匀随机数，；进行平移和伸缩变换，得到两组上的均匀随机数；统计试验总数（即点的个数）和落在阴影部分内的点数（满足条件的点数）；计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值（）若两根都是正数，则有图7即且，如图所示统计落在阴影部分内的点数（满足条件且，的点数）；计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值法二：（）由定积分的几何意义可知图中阴影部分的面积，正方形的面积，由几何概型的概率公式可知所求概率为（）由定积分的几何意义可知图中阴影部分的面积，正方形的面积，由几何概型的概率公式可知所求概率为通信地址：湖北省襄樊市第一中学邮 编：441000移动电话：13507271807E-mail：wy19651965第6页（共6页）