2022年相似三角形提优导学案.docx

《2022年相似三角形提优导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年相似三角形提优导学案.docx（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载龙文训练学科导学案老师 :同学 : 日期 : 2022 年4 月30 日时段 : 15:0017:00 课题相像三角形的性质学情分析同学数学基础较好,需要在现学基础上进行深化学习目标与明白相像三角形的性质,学会利用相像三角形的性质解题考点分析学习重点明白相像三角形的性质学习难点学会利用相像三角形的性质解题学习方法老师一对一个 性 化 辅 导 过 程一、 基础巩固三角形相像的情形分类BDAECBDAECEADCEAD（2）斜截 A 型（3）平截 X 型（4）BC（1）平截 A 型斜截 X 型_A_CACAPC_D_EBPDBD_

2、B（6）反射型（ APC 90 ）（7）直角型（ 5）旋转型APC=90 ）（ APB=CPD）请你写出每种类型中的你认为的相像三角形以及它们的对应边及对应角；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、相像三角形的性质1相像三角形的对应角相等 2相像三角形的对应边成比例 3相像三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相像比4相像三角形周长的比等于相像比 5相像三角形面积的比等于相像比的平方AH 是A B C中 B C 边上的如图 5,ABC与A B C相像, AH 是ABC中 BC

3、边上的高线,高线,就有ABBCACkAH（ k 为相像比）进而可得A BB CA CA HAASABC1BCAHBCAHk22 1SA B CB CA HB CA H2四、相像三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长BHCBHC线）相交,所构成的三角形与原三角形相像2假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像可简洁说 成：两角对应相等,两个三角形相像3假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相 似4假如一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例,那么这两个三角形相像可简洁地说 成：三边对应成比例,

4、两个三角形相像5假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相像（常用但要证明）7假如一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等,那么这两个等腰三角形相 似；假如它们的腰和底对应成比例,那么这两个等腰三角形也相像五、相像证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“ 三点定形法”1横向定型法欲证AB BC,横向观看, 比例式中的分子的两条线段是BE BF的顶点；分母的两条线段是 BE 和 BF ,三个字母 B,EAB 和 BC ,三个字母

5、 A,B,C恰为ABC,F恰为BEF的三个顶点因此只需证ABCEBF2纵向定型法名师归纳总结 欲证AB BCDE,纵向观看,比例式左边的比AB 和 BC 中的三个字母A,B,C恰为ABC的顶点；第 2 页,共 18 页EFD,E,F恰为DEF的三个顶点因此只需证右边的比两条线段是DE 和 EF 中的三个字母ABCDEF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3中间比法A由于运用三点定形法经常会遇到三点共线或四点中BAC没有相同点的情形,此时可考虑运用等线,等比或等BHOGC积进行变换后, 再考虑运用三点定形法查找相像三角ED形这种方法就是等

6、量代换法在证明比例式时,常D用到中间比图 3： “ 燕尾 ”型图 2： “田字 ” 型 比例中项式的证明,通常涉及到与公共边有关的相像问题； 这类问题的典型模型是射影定理模型,模型的特点和结论要娴熟把握和透彻懂得倒数式的证明,往往需要先进行变形,将等式的一边化为 比值进行等量代换,进而证明之1,另一边化为几个比值和的形式,然后对复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换）,等比代换,等积代换,将 复合式转化为基本的比例式或等积式,然后进行证明六、相像证明中常见帮助线的作法在相像的证明中,常见的帮助线的作法是做平行线构造成比例线段或相像三角形,同时再结合等量代 换得到要证明的结

7、论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等如图： AD 平分BAC交 BC 于 D ,求证：BDABB1A3DEACDCAC证法一：过 C 作 CEAD,交 BA 的延长线于E 1E ,2312,3E ACAE 2 ADCE,BD BA BADC BE AC点评：做平行线构造成比例线段,利用了“A” 型图的基本模型DC证法二；过B 作 AC 的平行线,交AD 的延长线于 E 12E , ABBE BEAC,BD DCBEABBE12ACAC点评：做平行线构造成比例线段,利用了“X” 型图的基本模型七、相像证明中的面积法面积法主要是将面积的比,和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法

8、基本模型如下：名师归纳总结 ADABD1BCAHBC CDAO第 3 页,共 18 页如图：SABC2 1SACDCDAH2BCH如图：SABC1 2BC AHAH图 1： “ 山字 ”型SSBCD1 2BC DGDGODSAEDABAD如图：SABDAB ADSACESAEDSACEAEACAE AC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载八、相像证明中的基本模型CBDAECBADDFAEBAFCBPACEIEOBCBCBGBCDHGAEABAAFOCEFDDDCDBADCBABCEACEADEDHOBBCDDCAEAABCBCABDDD

9、DDCAAAADDGBDCEFGEFBEAFBMEFCGCBCAAGAHFNDGFDFDFPBECBECBECBHEC【例题精讲】名师归纳总结 【例 1】 如图,ABC中,ABC60,点 P 是ABC内一点,使得APBBPCCPA,第 4 页,共 18 页PA8,PC6,就 PB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】 如图,已知ABC 中,AE EB1:3学习必备欢迎下载AEC,BC CD2:1,AD 与 CE相交于 F ,就AF FCEF的值BC 的延长线于 P ,BFEDCFDA. 5 2 B.1 C.3 D.2 A2【例 3】 在ABC 中

10、, BDCE , DE 的延长线交求证： AD BPAE CP. ABEFDF【例 4】 如图,在ABC 的边 AB 上取一点 D ,在 AC 取一点 E ,使 ADAE ,BCD直线 DE 和 BC 的延长线相交于P ,求证：BPBDCPCEA【例 5】 如图, M 、 N 为ABC边 BC 上的两点,且满意DDECAPPBBMMNNC,一条平行于AC 的直线分别交AB 、 AM 和AN 的延长线于点D 、 E 和 F . A求证：EF3DE . 【例 6】 如图,已知AB/ /EF/ /CD ,如 ABa , CDb , EFc ,求证：1 c11. abBCEDE名师归纳总结 【例 7】

11、 如上图, ABBD , CDBD ,垂足分别为B 、 D , AC 和 BD 相交BMFNC第 5 页,共 18 页于点 E , EFBD ,垂足为 F . 证明：1 AB11. CDEF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AB DC【例 8】 如图, 已知三个边长相等的正方形相邻并排,求EBFEBGEGFA【例 9】 如图,已知AB/ /EF/ /CD ,找出SABD、SBED、SBCD之间的BMEPDNCF关系,并证明你的结论. HGA【例 10】如图,在四边形ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O ,直线 l 平行于BCD

12、EBD ,且与 AB 、DC 、BC 、 AD 及 AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、AECS 和 P . 求证： PMPNPR PS【例 11】已知,如图,四边形ABCD ,两组对边延长后交于BHFMDNE 、 F ,对角线 BDEF, AC 的延长线交 EF 于 G 求证： EGGF A【例 12】已知： P 为ABC 的中位线 MN 上任意一点,BODClMNPRSBP 、CP 的延长线分别交对边AC 、 AB 于 D 、 E ,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求证：ADAE1学习必备欢迎下载DC

13、EBDq2Cp2OA B【例 13】设 P 、 Q 分别是凸四边形 ABCD 的边 BC 、 AD 上的点,且 D AAQ QD BP PC AB CD,求证：直线 PQ 与 AB 之间的夹角等于直线 PQ与 CD 之间的夹角OC B【例 14】如图,ABC 内有一点 P ,过 P 作各边的平行线, 把ABC 分成三个三角形和三个平行四边形如三个三角形的面积S 1,S 2,S 3分别为 1, , ,就ABC的面积PBA是QE【例 15】如图,梯形CDp22,qFABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为,就梯形的面名师归纳总结 积是（）q2Bpq22FAC,那么A2 p2Cp2

14、q2pqDP2q22 p q2Ip2qS2EDS1PS3GBH【例 16】如图,梯形ABCD 中, ADBC,两条对角线:SCOB1: 9AC 、 BD 相交于 O ,如SAODSBOC:SDOC第 7 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 17】如下列图,在ABC 中,B60学习必备欢迎下载DEC80, D 是 BC 边,A100, E 为 AC 的中点,上的点,BC1,求ABC 的面积与2CDE 的面积的两倍的和BC. 【例 17】如图,已知DEAB,OAOC OE,求证：ADAEBDC【基础题型回忆】 1、恒相像三角形 第一：顶

15、角（或底角）相等的两个等腰三角形相像；其次：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相像；DEC原 三第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相像；第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和角形相像；第五：假如一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一AOB个 三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例,那么这两个三角 形相像；仍缺 2 、把握好相像三角形的判定方法,看题目中已有什么条件,少什么条件；名师归纳总结 有平行截线用判定定理第 8 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载有一对等角,找 另一对等角夹边成比例夹角相等判定三角

16、形相像的有两边对应成比例,找第三边也成比例思路直角三角形,找一锐角有一对直角斜边、直角边对应成比例顶角相等等腰三角形,找 一对底角相等底和腰成比例3、重心例题 1、以下每一组中两个图形相像的是-（）（ A）两个等腰三角形,每个三角形都有一个内角为 30（ B）邻边的比都等于 2 的两个平行四边形（ C）底角为 45 的两个等腰梯形（ D）有一个角是 120 的两个等腰三角形例题 2、判定题： 1两个顶角相等的等腰三角形是相像的三角形；. （） 2两个等腰直角三角形是相像三角形；（） 3底角相等的两个等腰三角形是相像三角形；（） 4两个直角三角形肯定是相像三角形；（） 5一个钝角三角形和一个锐角

17、三角形有可能相像；（） 6有一个角相等的两个直角三角形是相像三角形；（） 7有一个锐角相等的两个直角三角形是相像三角形；（） 8三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相像；（） 9全部的正三角形都相像；（） 10两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相像（）例题 3、矩形 ABCD,S ADE =9, S ACD =11,求阴影部分的面积；例题 4、如图 , 甲楼 AB高 18 米, 乙楼坐落在甲楼的正东面, 已知当地下午A D 0.5 :1,3 时, 物高与影长的比是已知两楼相距21 米, 那么甲楼的影子落在乙楼上有多高. ACEB DE 例题 5已知：如图,在ABC 中, C90 , P

18、是 AB 上一点,且点P 不与点 A 重合,过点P 作 PE AB 交 AC 于 E,点 E 不与点 C 重合,如 AB10,AC8,设 APx,四边形 PECB 的周长为 y,求 y 与x 的函数关系式名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AP例题 6.如图,在矩形BCNABCD中, AB=18cm,AD=9cm,点 M沿 AB边从 A 点开头向 B以 2cm/s 的速度移动,点沿 DA边从 D点开头向 A 以 1cm/s 的速度移动 假如点 M、N同时动身, 用 t（s）表示移动时间 （ 0 t

19、9）,求：（1）当 t 为何值时,ANM 45？（2）运算四边形 AMCN的面积,依据运算结果提出一个你认为合理的结论；（3）当 t 为何值时,以点 M、N、A 为顶点的三角形与BCD相像？D CNAMB三、本次课后作业：四、同学对于本次课的评判：特殊中意中意一般差同学签字：五、老师评定： 1 、 同学上次作业评判： 特别好 好一般需要优化2、 同学本次上课情形评判： 特别好 好一般需要优化老师签字：【例 1】PA如图,ABC中,ABC60,点 P 是ABC教诲主任签字：_ 内一点, 使得 龙文训练教务处 BPCCPA,8,PC6,就 PB【考点】相像三角形的性质与判定名师归纳总结 APBBP

20、C120BAP60ABPABCABPCBP,故A B PB,第 10 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PB2PA PC 学习必备欢迎下载【答案】 4 3【例 2】 如图,已知ABC 中,AE EB1:3,BC CD2:1, AD 与 CE 相交于 F ,就AF FCEF的FD值为（）3 D.2 A. 5 B.1 C.2【考点】相像三角形的性质与判定2【解析】这类题的解法：找适当的点,作适当的平行线,构造基本图形解题,或者直接运用梅氏定理来解题. BC 的延长线于P , 求BEAFD【答案】 C 【例 3】 在ABC 中, BDCE ,

21、 DE 的延长线交证： AD BPAE CP . EPCADBCABDEMPC【考点】相像三角形的性质与判定名师归纳总结 【答案】过 C 作 CMAB交 DP 于 M ,第 11 页,共 18 页 CMAB,PCMPBD,CM BDPC,PB CMAB,CEMAED,CM CEAD,AE BDCE ,CM CECM,BDPC PBAD,AE AD BPAE CP- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 4】 如图,在学习必备欢迎下载AE ,直线 DE 和 BC 的延ABC 的边 AB 上取一点 D ,在 AC 取一点 E ,使 AD长线相交于P ,求证：

22、BPBDBDAPBD1AMPCPCE2E 3 4ECC【考点】相像三角形的性质和判定名师归纳总结 【答案】过 C 作 CMAB交 DP 于 M ,NC,一条平行于AC 的直线第 12 页,共 18 页 CMAB,PCMPBD,BP CPBD,CM CMAB,14 ,又 ADAE ,12 ,24 ,23,34, CMCEBP CPBD CE【例 5】 如图, M 、 N 为ABC边 BC 上的两点,且满意BMMN分别交 AB 、 AM 和 AN 的延长线于点D 、 E 和 F . DA求证：EF3DE . 【考点】相像三角形的性质与判定【答案】过 M ,N 分别作 AC 的平行线交AB于H,G两

23、点,NH交AMENC于 K ,BM BMMNNC ,FA BGGHHA ,H易知HK1GM ,GM1HN ,GDK22EHK1HN ,即HK1,4KN3BMNC又 DFHN,FDEHK1,即EF3DE . EFKN3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 6】 如图,已知AB/ /EF/ /学习必备欢迎下载c ,求证：1 c11. CD ,如 ABa , CDb , EFab【考点】相像三角形的性质与判定【答案】AB/ /EFEF ABDFAEAClBD,BDCD/ /EFEF CDBF1,即1 c11. BBFODSBDDC两式相加并变形可得,11M

24、NPRFEFABCDab【例 7】 如上图, ABBD,CDBD,垂足分别为B、D,AC和BD相交于点E,EF垂足为 F . 证明：111. AABCDEF【考点】相像三角形的性质与判定EC【 答 案 】 由 AB/ /BD, CDBD , EFBD, 就 必 有BFDEFDF,EFBF,两AB/ /CDEF 进而可知ABBDCDBD式相加并变形可得,111EFABCD【例 8】 如图,已知三个边长相等的正方形相邻并排,求EBFEBG【考点】相像三角形的性质与判定【 解 析 】 连 接 DF 、 CG , 就EDFEBFDFB45, 如AHGDFBEBG,就EBFEBG 可求,问题的关键是证E

25、明BCGFDB【答案】 45BCD【例 9】 如图,已知AB/ /EF/ /CD ,找出SABD、SBED、SBCD之间的关系,并证明你的结论. 【考点】相像三角形的性质与判定【答案】S1S1S1,过点 A 、 E 、 C 分别作 BD 的垂AECBEDABDBCD线,垂足为 H 、 M 、 N . EFBHFMDN由变式 1 可知,111,故EMAHCN、EF CD集中到同一条线段BD 上,1111BD EM1BDAH1BDCN222即S1S1S1BEDABDBCD点评：此题的证明过程表达了“ 集中” 这一思想,将AB从而发觉它们的和是一个常数. 【例 10】 如图,在四边形 ABCD 中,

26、 AC 与 BD相交于点 O ,直线 l 平行于 BD ,且与 AB 、DC 、BC 、名师归纳总结 AD 及 AC 的延长线分别相交于点M 、 N 、 R 、 S 和 P . 求证： PMPNPR PS第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【考点】相像三角形的性质与判定【答案】BDMSBOOCODPRCPPNPN PRODBOAOODBOBDMSPMAPPSPS PMODPMPNPR PSBOPN PRPSPM点评：此题通过证明原结论的变形式两个分式（比例）等于一个相同（或相等）的分式（比例）来证明他们【例 1

27、1】 已知,如图,四边形ABCD ,两组对边延长后交于E 、 F ,对角线 BDEF, AC 的延长线交 EF 于 G 求证： EGGFA【考点】相像三角形的性质与判定【答案】证法一：名师归纳总结 过 C 作 MNEF交 AE 、 AF 于 M,N,BDF第 14 页,共 18 页就有MC BDEMFNCN,ECEBFDBDG MCCN ,又 MNEF,MC EGACCN,AAGGFD EGGFB证 法 二 ： 由 塞 瓦 定 理 的 充 分 性 可 得 ：MCNEGFDAB1又由于ABAD,代入上式得EGGFDABEBEDFFEGFDAD1,即EG GF1所以 EGGF GFDADFAC 、

28、AB 于 D 、【例 12】 已知：P 为ABC 的中位线 MN 上任意一点, BP 、CP 的延长线分别交对边E ,求证：ADAE1DCEBA【考点】相像三角形的性质与判定QA【答案】 延长 BD 、CE 分别交过 A 的平行 BC 的EDRED直线于 R 、 Q 两点,BC,且 AMBM ,MPNMPN QRMN PQPC , PRPBC又QPRCPBBCBPQRPCB,可得 QRBC ,又AD DCAR,AE EBAQ,BCBCADAEARAQARAQRQBC1CDEBBCBCBCBCBC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载BA 与

29、 EF 、FE 与 CD 、DC【例 13】 如下列图, ABCDEF 是一个凸六边形,P 、Q 、R 分别是直线名师归纳总结 与 AB 的交点,S 、 T 、 U 分别是BC 与 ED 、 DE 与 AF 、 FA 与 CB 的交点,假如第 15 页,共 18 页AB PRCDRQEFQP,求证： BC USDE STFA TU【考点】相像三角形的性质和判定UAPF【答案】此题的条件和结论都是三个线段之比的连等式,且AB 、CD 、EF 构成一个与PQR 相像的三角形的三T边,因而可以考虑通过平移变换将AB 、CD 、 EF 集RBCDE中到一起构成一个与PQR 相像的三角形Q如下列图,将C

30、D 平移至 OE 位置,就 OECD,且OE=CD,FEOQ ,且 EO QRCDQREFQP,S所以因此FEOPQR,EFQPAB PRUAPFT从而OFEP ,且 FOPR这说明 FOAB,且 FO=AB,进而 FAOB,且 FA=OB又由于 CODE,BO于是COBSTU,E所以 BC USCO STOB TU,RCDQ留意到 CODE , OBFA ,故 BC USDE STFA TUS【例 14】 设 P 、 Q 分别是凸四边形ABCD 的边 BC 、 AD 上的点,且AQ QDBP PCAB CD,求证：直线PQ 与 AB 之间的夹角等于直线PQ 与 CD 之间的夹角BBRB【考点

31、】PAPRACPA相像QQ三角Q形的EEE性质CDFCDFCDF及判定【解析】法1：要求证夹角相等,而题目中的线段太分散,我们尝试将线段进行集中如下列图,将CD 平移至C A 的位置,就ACDC,且AC=DC过点 P 作CC 的平行线交BC 于点 R ,就BR RCBP PCAB CDAB AC,因而由三角形的角平分线的判定定理可知AR平分BAC另一方面,由RPCC及 BP PCAQQD可知RP CCBPBCAQAD,而CCAD,且CC=AD,故 RPAQ,且 RP=AQ,于是 ARFP而ACDC,留意到 AR 平分BAC ,即得BEPBARRACPFC 这就是说,直线PQ 与 AB 之间的夹

32、角等于直线PQ 与 CD 之间的夹角法 2 连接 BD ,过点 P 作 PRCD,交 BD 于点 R 连接 RQ ,由AQ QDBPBR可知PCRQQRAB留意到BEPRQP ,RPQPFC ,只要再证明RQPRPQ 、即 RPRQ 即可- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 留意到BP BCBRRP,DQ DA学习必备欢迎下载DADRRQ AB,BDCDDB 可得ABRPBR,ABCS 1COCDRQDR而BR RDAQAB,故RP1QDCDRQB【例 15】 如图,ABC内有一点 P ,过 P 作各边的平行线, 把分别为 1, , ,就,S 2,S 3分成三个三角形和三个平行四边形如三个三角形的面积ABC的面积是【考点】相像三角形的性质与判定【解析】设ABC的面积为S ,就S 1S 2S 3PDPEHGBHDHGGC1,故SSSBCBCBCBCSS 1S 2S 32112264 2p2,q2,就梯形【答案】 64 2【例 16】 如图,梯形 ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为的面积是（）FAA2 p2q2Bpq2ICp2q2pqD2 P2 qp2 p q22S2ES12qS3PH【考点】相像三角形的性质与判定【答案】 B BGC【