2022年第二十八章锐角三角函数3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载第 28 章：锐角三角函数一、基础学问1. 定义：如图在ABC中, C为直角,sinAa我们把锐角 A的对边与斜边的比叫做A 的正弦,记作 sinA ；sinA= c把锐角 A的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记作 cosA； cosAbc把锐角 A的对边与邻边的比叫做A 的正切,记作 tanA ； tanAab把锐角 A的邻边与对边的比叫做A 的余切,记作 cotA ； cosAba2、三角函数值（1）特殊角的三角函数值角度030456090三角函数sinA 0 1231 存cosA 1 2220 321tanA 0 222

2、不1 33在3（2）锐角三角函数值的性质；锐角三角函数的大小比较：在0A90时,随着 A 的增大,正弦值越来越大,而余弦值越来越小. 即：sinA是增函数,cosA减函数；1锐角三角函数值都是正数；2当角度在 090 间变化时 : 正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦、余切随着角度的增大而减小；3、 同角、互余角的三角函数关系：1 、同角三角函数关系：sin2Acos2A1.tansin；cotcos； tancot1cossin2 、互余锐角的三角函数关系：sinAcosBcos 90A,cosAsinBsin90A；解直角三角形: 由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边

3、）,求出全部未知元素的过名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载程,叫做解直角三角形；直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型已知条件斜边 c 和锐角 A 解法1ab a2一条边和一个锐角B=90 -A,a=csinA ,b=ccosA, s=c2sinAcosA 直角边 a 和锐角 A B=90 -A,b=acotA , caA,s1a2cotA两条边两条直角边 a 和 b sin2ca2b2,由 tanAa,求角 A,B=90 -A,S=b2直角边 a 和斜边 c bc2a2,由 sinAa,

4、求 角 A,B=90 -A,S=1ac2c2二、精典例题第一部分：锐角三角函数的运算一、直角三角形中锐角的正弦、余弦的概念与表达式：例 1：如下列图,就sinD,cosD,sinE,cosE； 考点透视 本例主要是考查锐角三角函数的概念 参考答案 sinD= 3 13,cosD=2 13,sinE= 2 13, cosE=3 13；13 13 13 13例 2：在 Rt ABC 中,假如各边长度都扩大 4 倍,就锐角 A 的正弦值和余弦值（）（A）都没有变化（B）都扩大 4 倍（C）都缩小 4 倍（D）不能确定 考点透视 本例主要是考查锐角三角函数的定义和性质,通过运算可以知道 正弦值和余弦值

5、 ,只与直角三角形中锐角的大小有关； 参考答案 . 故应选 A.例 3：已知：A为锐角,并且sinA5,就cosA的值为 .12 考点透视 本例主要是考查锐角三角函数的定义； 参考答案 cosA12AOB如图放置,就tanAOB 的值为13例 4：（08 年密云一模） 6正方形网格中,A 52 5 5O B 51 22 考点透视 本例主要是考查锐角三角函数的定义 参考答案 D 名师归纳总结 例 5：.某地有一居民楼,窗户朝南 ,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹第 2 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学

6、习好资料 欢迎下载角最小为 a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为 如图 1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷 BCD. 要求它既能最大限度地遮挡夏天酷热的阳光 , 又能最大限制地使冬天暖和的阳光射入室内 .小明查阅了有关资料 ,获得了所在地区 和 的相应数据 : =24 36, =73 30,小明又得窗户的高 AB=1.65m. 如同时满意下面两个条件 ,1 当太阳光与地面的夹角为 时 ,要想使太阳光刚好全部射入室内 ;2 当太阳光与地面的夹角为 时 ,要想使太阳光刚好不射入室内 ,请你借助下面的图形 如图 , 帮忙小明算一算 ,遮阳篷 BCD 中,BC 和

7、 CD 的长各是多少 .精确到 0.01m 以下数据供运算中选用sin24 36=0.416 cos24 36=0.909 tan24 36=0.458 cot24 36=2.184 sin73 30=0.959 cos73 30=0.284 tan73 30=3.376 cot73 30=0.296 考点透视 本例主要是考查数形结合,构建直角三角形,再应用转化思想,使已知角得到转化,即可求得 BC、CD的长 参考答案 .解:在 Rt BCD 中 ,tanCDB= ,CDB= , BC=CD tanCDB=CD tan . 在 Rt ACD 中,tanCDA= ,CDA= , AC=CD ta

8、nCDA=CD tanAB=AC-BC=CDtan -CD tan =CDtan -tan . CD= 0.57m. BC=CD tanCDB 0.57 0.458 0.26m. 答:BC 的长约为 0.26m,CD 的长约为 0.57m. 说明 求解时应特殊留意发挥数形结合的作用. 的值（为锐角） . 例 6：已知 2+3 是方程x25xsin10的一个根,求 cos考点透视 这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题,应留意运用分析法、综合法,寻求解题途径 参考答案 cos13；第 3 页,共 29 页5名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

9、 - 学习好资料 欢迎下载二、特殊角的正弦余弦值：例 7：求以下各式的值：（1）sin2450cos2600；（2）sincos4509004sin450cos300. AED600sin 考点透视 本例主要是考查特殊角的三角函数值,留意sin90 =1； 参考答案 （1） 3,（2）-24例 8：（08 年顺义一模） 19已知：如图,正方形ABCD 中,点 E 为 AD 边的中点,连结 CE 求sinACE和tanACE的值BC 考点透视 本例主要是考查角的三角函数值的定义及在四边形中应用；解：过点 E 作EFAC于点 F ,四边形 ABCD 是正方形,AEDBAD90,D90,AC平分BA

10、D ,FADDCCAD45,AC2ADBC E 是 AD 中点,AEDE1AD 1 分2设AEDEx,就ADDC2x,AC22x,CE5x在 Rt AEF 中,EFAEsinCAD2x,AFEF2x 2 分22CFACAF22x2x32x 3 分22sinACEEF2x10, 4 分2CE5x10第 4 页,共 29 页t a nACEEF32x1 5 分2CF2x32名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载三、解直角三角形例 9（08 年平谷二模） 19如图,在某区某建筑物 AC上,挂着“ 抗震救灾,众志成城” 的宣扬条幅

11、 BC,小明站在点 F 处,看条幅顶端 B,测得仰角为 30 . 再往条幅方向前行 20 米到达点 E 处,看条幅顶端 B,测得仰角为 60 ,求宣扬条幅 BC的长 . 小明的身高不计,结果精确到 1 米; 可能用到的数据 3 1 . 73 , 2 1 . 41） 考点透视 主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用解： 19 解：依题意 F=30 , BEC=60 . FBE=BEC-F=60 -30 =30 . EF=EB=20. 在 Rt BEC中 BCE=90 , sin BEC= CB . CBsinBECBE=sin60 20=10 317 . 60BE答：宣扬条幅BC的长约为 17 米

12、. k海里处,到下午2 点时航行到灯塔的东偏南例 10 一艘船向正东方先航行,上午10 点在灯塔的西南方向的方向,画出船的航行方位图,并求出船的航行速度 考点透视 主要考察解直角三角形中方向角的应用N P解： 如图,依题意,灯塔位于P 点,船丛 A 点向东航行, 12 点到达 C 点,且有 PBAC,A45 , BPC30 ；于是,在 ABP 中,有 ABPBAP cos45 k22k. 22在 PBC 中,又有BCPB tan306k,ABC2 k 2336所以AC2k6k326k. 326263662可知船的航行速度为v6424其次部分：锐角三角函数的应用一、 锐角三角函数的应用例 11如

13、下列图,设A城气象台测得台风中心在A.城正西方向600km的 B 处,正以每小时200km的速度沿北偏东60 的 BF方向移动,距台风中心500km.的范畴内是受台风影响的区域（ 1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（ 2）如 A 城受到这次台风的影响,那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载08 年门头沟二模 18如图,小明想测量塔 BC 的高度他在楼底 A 处测得塔顶 B 的仰角为 60 ；爬到楼顶D 处测得大楼AD 的高度为 18 米,同时测得塔顶 B

14、 的仰角为 30 ,求塔 BC 的高度 考点透视 主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用解: 设 BE=x 米在 Rt BDE 中,tan30BE, x3 DE=3x DEDE3 四边形 ACED 是矩形, AC=DE=3x,CE=AD=18 在 Rt ABC 中,tan60 BC, x 183 x=9 BC=BE+CE=9+18=27 米AC 3 x例 2（08 年平谷一模） 17如下列图,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行,请你根据图中数据运算回答：小敏身高 1.78 米,她乘电梯会有碰头危急吗？姚明身高 2.29 米,他乘电梯会有碰头危急吗？（可能用到的参考数值：sin 2

15、7 0.45, cos27 0.89 , tan27 0.51） 考点透视 主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用解：作 CD AC 交 AB 于 D , 就CAB 27 1 分在 RtACD 中, CDACtanCAB 2 分4 0.51204（米） 3 分所以小敏不会有碰头危急,姚明就会有碰头危急 4 分二楼A 4m C 4m 一楼 B 二、 综合问题例 3（08 年顺义二模） 20一座建于如干年前的水库大坝的横断面为梯形 ABCD ,如下列图,其中背水面为 AB,现预备对大坝背水面进行整修,将坡角由 45 改为 30 ,如测量得 AB= 20 米,求整修后需占用地面的宽度 BE 的长（精确

16、到 0.1 米,参考数据：2 1.414 , 3 1.732 , 6 2.449 ）A D 考点透视 主要考察解直角三角形中坡度、坡脚、坡距的应用30B45CE 解：过点 A 作 AFBC,垂足为 F在 Rt ABF 中, ABF= 45 , AB= 20,AFABsin 4520210 2第 6 页,共 29 页2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载45ADBFAF102在 Rt AEF 中, EAF= 90 - E= 90 -30 = 60 EFAFtan 6010 2310 6BEEFBF10 61021062102

17、.4491.41410.4（米）答：整修后需占用地面的宽度BE 的长约为 10.4米30例 418. 已知：如图5,梯形 ABCD 中, AD BC, ADC=120EBDFCA, AD=5 ,CD=6, tanB=3,求：梯形 ABCD 的面积；C B 考点透视 ：解直角三角形在四边形中的应用,解此类问题通常是构建直角三角形,然后利用解直角三角形解答；解： 过 D 做 DM BC 于 M ,过 A 做 AN BC 于 N 就 DMC= ANB=90四边形 ANMD 为矩形,CD=6 AD=MN=5 等腰梯形ABCD ,AD BC,AB=CD , ADC=120 DCB=60AN=DM , 在

18、 Rt CDM, CDM=30CM=3 , DM=33在 Rt ABN, tanB=3=AN 设 AN=3k , BN=k DM=AN=3 BN3 k= 3S梯形ABCD=ADBCDM5352333393922注：关于解直角三角形的实际应用,表达在生活中的方方面面,在此我们不再一一列举,关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路,达到举一反三的成效,不管题目背景如何变化,但它万变不离其宗,只要我们有了这种方法,任何问题都可以迎刃而解三适时训练（一）细心选一选1（08 年通州一模） 7. 如图 , AB 是 O 的直径 , CD 是弦 , 且 CD AB, 如 BC=8, AC=6, 就 sin A

19、BD 的值为A. 4 B. 3 C. 4 D. 33 4 5 52已知 Rt ABC中, C=90 , AC=2,BC=3,那么以下各式中,正确选项（）第 7 页,共 29 页AsinB=2 3 BcosB=2 3 CtanB=2 3 DtanB=3 23点（ -sin60 , cos60 ）关于 y 轴对称的点的坐标是（）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载A（3,1） B（-3,1） C （-3,-1） D（-1,-3）2 2 2 2 2 2 2 24每周一学校都要举办庄重的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣.某同

20、学站在离旗杆 12 米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为 30 ,.如这位同学的目高 1.6 米,就旗杆的高度约为（） A6.9 米 B 8.5 米 C 10.3 米 D12.0 米5某地夏季中午, 当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与地面成 80 ,房屋朝南的窗子高 AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC,.使午间光线不能直接射入室内（如 图 6 所示）,那么挡光板 AC的宽度应为（）A1.8tan80 m B 1.8cos80 m C 1.8 m D1.8cot80 m sin 806如图 ,测量人员在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45 , 沿着倾角为

21、30 的山坡前进 1 000m 到达 D 处,在 D 处测得山顶 B 的仰角为 60 , 就山的高 BC 大约是 精确到 0.01 . A.1 366.00m; B.1 482.12m; C.1 295.93m; D.1 508.21m 7如图 5 所示,在 300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为 30. 和 60 ,就塔高 CD为（） A 200m B 180m C 150m D100m A8、（08 年西城二模） . 在 Rt ABC 中, C 90 ,sinA=3 ,就 cosB=（ ）. 5A. 5 B. 4 C. 3 D. 33 5 4 5 B C9、（07 年昌平一模）

22、 5.三角形在正方形网格中的位置如下列图,就 cosa 的值是（）A. B. C. D.10 、（ 07 年 昌 平 二 模 ） 7 已 知 在 ABC 中 ,A 、B 都 是 锐 角 ,2sin A 3cos B 10,就 C 的度数是2 2 30 45 60 9011、（07 年朝阳一模） 7在 Rt ABC 中, C=90 , sinA= 4 ,就 tanB 的值为54 3 3 4A BCD3 4 5 512、.如图 ,测量队为了测量某地区山顶 P 的海拔高度 ,选 M 点作为观测点 ,从 M 点测量山顶 P 的仰角 视线在水平线上方 ,与水平线所夹的角 为 30 , 在比例尺为 1:5

23、0 000 的该地区等高线地势图上 ,量得这两点的图上距离为6cm, 就山顶 P 的海拔高度为 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载A.1 732m; B.1 982m; C.3 000m; D.3 250m 13（07 年海淀二模） 6.某资料中曾记载了一种运算地球与月球之间的距离的方法：如图 2,假设赤道上一点 D 在 AB 上, ACB 为直角,可以测量A 的度数,就 AB 等于（）AC cos A AC sin AA. B. C. D. cos A AC sin A AC14（07 年怀柔

24、一模） 7、依据右图中的信息,经过估算,以下数值与A 、0.43 B、0.26 C、0.90 D、223 tan 值最接近的是15（07 年怀柔二模） 7、一架飞机在800 米的高度观看究竟面上一导航灯的俯角为,就此时飞机与该导航灯的距离是A 、800 sin米B、800 cos米C、800 tg米D、800 ctg米（二）细心填一填1608 年宣武一模 10、如图,在 ABC中,C=90 ,AB=10,sinA=4 5答案：（8）,就 BC的长为；17运算 2sin30 -2cos60 +tan45 =_ 答案： 118在ABC中,如 BC= 2 ,AB= 7 ,AC=3,就 cosA=_答

25、案：2319如图 2 所示, 太阳光线与地面成 60 角, 一棵倾斜的大树与地面成 30 角, .这时测得大树在地面上的影子约为 10 米,就大树的高约为 _米（ .保留两个有效数字,2 1.41 ,3 1.73 ）答案： 17 米20李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植,.需要修一个如图 3 所示的育苗棚,棚宽a=3m,棚顶与地面所成的角约为 30 ,长 b=9m,就掩盖在顶上的塑料薄膜至少需 _m 2答案： 18 3 米1 221（07 年延庆二模） 3. 在 ABC 中,A 和 B 都是锐角, 且 sin A,cosB,2 2就 ABC三个角的大小关系是；答案：CBA三、仔细答一答2

26、2如图 ,在 ABC 中,AD 是 BC 边上的高 ,tanB=cosDAC. 1求证 :AC=BD; 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载, 又 tanB=cosDAC, 2如 sinC=,BC=12, 求 AD 的长 . ,cosDAC=答案 .1证明 :在 Rt ABD 和 Rt ADC 中, tanB=,AC=BD. 2解:在 Rt ADC 中,由 sinC=,可设 AD=12k, 就 AC=13k, 由勾股定理 ,得 CD=5k, 又由 1知 BD=AC=13k, 13k+5k=12, 解

27、得 k= , AD=8. 23.已知 ,如图 ,A、B、C 三个村庄在一条东南走向的大路沿线上,AB=2km. 在 B 村的正北方向有一个D 村,测得DAB=45 ,DCB=28 , 今将 ACD 区域进行规划 ,除其中面积为 0.5km 2 的水塘外 ,预备把剩余的一半作为绿化用地 ,试求绿化用地的面积 .结果精确到 0.1km 2,sin28 =0.469 5,cos28 =0.882 9, tan28 =0.531 7,cos28=1.880 7 答案 :在 Rt ABD 中 , ABD=90 ,DAB=45 , ADB=45 , BD=AB=2km. 在 Rt BCD 中, cotBC

28、D= ,DCB=28 , BC=BD.cot BCD=2cot28 3.75km. S ACD=AC BD 5.76km2. S 绿地 2.6km2.答:绿化用地的面积约为2.6km2. 24我市某区为提高某段海堤的防海潮才能,方案将长 96m 的一堤段 原海堤的横断面如图中的梯形ABCD的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原先的1:1 改成 1:2,已知原背水坡长AD=8.0m, 求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.注:坡度 =坡面与水平面夹角的正切值;供应数据 : 第 10 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

29、学习好资料 欢迎下载答案 :如图 ,作 EGFB 于 G,DHFB 于 H,记堤高为 h,就 EG=DH=h. 由 tan DAH=1:1=1, 得 DAH=45 . h=DH=ADsin DAH=8sin45 =8, AH=DH=, 由 tan F=EG:FG=1:2, 得 FG=2EG=2h= , FA=FH-AH=FG+GH-AH= +ED-= +1.6, 海堤断面增加的面积 S 梯形 FADE= ED+FA h6.4 1.41+16 25.0m 2 工程所需土方 =96 S 梯形 FADE 96 25.0=2 400=2.4 103m 3. 答:完成这工程约需土方 2.4 10 3m

30、3. 25（08 年延庆一模） 18如图 7,等腰梯形 ABCD 中, AD BC, AB=CD , ACB=45 ,翻折梯形 ABCD ,使点 C 重合于点 A,折痕分别交边CD 、BC 于点 F、E,如 AD=3 ,BC=12,求：（1）CE 的长；（2） BAE 的正切值ADF答案 ：翻折梯形ABCD ,AE=EC 1分BEC ACE= EAC=45 AEB= AEC=90过 D 做 DM BC 交 BC 于 M ,就 DMB=90四边形 AEMD 为矩形 AD=ME=3 等腰梯形 ABCD , AD BC,AB=CD ABC= DCB AE=DM , 2 分在 ABE 和 DMC AE

31、B= DMC =90AB=CD AE=DM ABE DMC BE=CM 名师归纳总结 BE=CM =12-3 2=4.5 BEBE 3分分第 11 页,共 29 页CE=7.5 4分在 BAE 中, tanBAE=.453 5AECE7 .55- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载图 7 26（08 年通州二模） 22. （本小题满分 4 分） 一筑路工程需要测量某河段的宽度 . 如图,一测量员在河边的 A处测得对岸岸边的一根标杆 B 在它的正北方向,测量员从 A 点开头沿岸边向正东方向前进 100 米到达点 C处,测得 ACB 68

32、. （1）求所测之处的河宽（sin 68 0 . 93 , cos 68 0 . 37 , tan 68 2 . 48 .）；（2）除 1 的测量方案外,请你再设计一种测量河宽的方案,并在图中画出图形 .22（1）在 Rt BAC 中,ACB 68,AB AC tan 68 100 2 . 48 248（米）答案 ：所测之处的河宽约为 248 米（ 2）表述无误,从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的学问来解决问题的,只要正确即得满分 .27（09 年海淀一模） 19、如图,已知（ 1）求证： AD 是 O 的切线；AB 为 O 的弦, C 为 O 上一点, C=

33、BAD ,且 BDAB 于 B. （ 2）如 O 的半径为 3,AB=4,求 AD 的长 . COBD答案 （ 1）证明 : 如图 , 连接 AO 并延长交 O 于点 E, 连接 BE, 就 ABE=90 . EAB+E=90 . 1 分EA E = C, C=BAD , EAB+BAD =90 . C AD 是 O 的切线 . 2 分OB（2）解：由（ 1）可知 ABE=90 . AE=2AO=6, AB=4, 25. A3 分DBEAE2AB2 E= C=BAD , BDAB, cosBADcosE. 4 分ABBE.ADAE 5 分即4265.ADAD125. 528（08 年昌平区二模

34、）18北京的 6 月绿树成荫花成海,周末小明约了几个同到户外活动当他们来到一座小名师归纳总结 - - - - - - -亭子时,一位同学提议测量一下小亭子的高度,大家很兴奋于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点 A 的位置,观测小亭子顶端B 的仰角 BAC60 ,观测小树尖 BB D 的仰角 DAE 45 已知小树高DE=2 米请你也参加到这个活动中来,帮他们求出小亭子高BC 的长 结果精确到 D 第 12 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0.1 21.41,3学习好资料欢迎下载1. 73答案 解：依据题意得：C=E=90 . 在 Rt

35、 ADE 中, DAE=45 , E=90 , D= DAE=45 . DE=2, AE=DE=2. 1 分 A 为 CE 的中点 , AC=AE=2. 2 分在 Rt ACB 中, BAC=60 , C=90 , tanBACBC3. 3 分ACBC=23. 4 分BC2 1.733.5 . 答：小亭子高约为3.5 米. 5 分29如图, AB 是 O 的直径, AC 是弦,点 D 是 BC 的中点, DP（ 1）求证： PD 是 O 的切线 . PAC,垂足为点 P.（ 2）如 AC=6, cosA=3 5,求 PD 的长 .ACODB得分答案 .（1）证明：如图：连接OD,AD . D 为弧 BC 的中点,弧 CD = 弧 BD.1 分A12CPEDB121PAB . 21 22PABBOD ,BOD. O PA DO .