2022年第十三讲多元函数的偏导数与全微分的练习题答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案名师归纳总结 一、单项挑选题（每道题 4 分,共 24 分）lim h of x 02 , h y0f x0h y 0=（D）第 1 页,共 8 页1 设f xy xyxyy2就f x y = （A）Ax x 2yBxyy2Cx x 2yDx 2xy解：f xy xyxy y1 2xy xyxy f x y , xxy22lim x 1y o1excosy2= （D）x2yA 0 B 1 C1Dee2解：f x y , 1xecos y在点（ 1,0）连续2 x2 ylimx 1y o1excosy

2、2 ecos0ex2y11023设f x y 在点x 0,y 0处有偏导数存在,就hA 0 B xfx 0,y 0C2 xfx 0,y 0D3 xfx 0,y0解：原式 =lim h of x 02 , h y0fx 0,y022 hlim h of x 0h y0fx 0,y0h=2fx x 0,y 0fx 0,y 03fx 0,y 0xx（B）4zf x y 偏导数存在是zf , x y 可微的A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：如zf x y , 可微,就z,z存在,xy反之成立,故偏导数存在是可微必

3、要条件名师归纳总结 5函数zexy在点（ 1,1）的全微 dz =（C）第 2 页,共 8 页A e dx 2dy Bxy edxdy C e dxdyD dxdy解：dzxy eydxxdy 在（ 1,1）dze dxdy 6已知 , x y 2y 2 x 且z x ,1x ,就z= （A）xA 2xy12xBx22yC x2x1D 2xy12x解：（1）z x ,12 x1 x xx21（2）z x y , 2 x yy2x2 x1（3）z2xy12xx二、填空题 （每道题 4 分,共 24 分）7z2 R2 xy22 x1r20rR 的定义域是2 y解：2 Rx2y20x2y2r20定义

4、域D , x y r2x2y2R28设f x y , xy1arcsinx就xf ,1 = y解：（1）f x ,1x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）fx ,1 19 设zln1x就dz1,2= 6z y= y0.01 时的全微分是y解：z1,211x11,2xyy11yx1,23zx1y1,2y xy1,26dz1,21dx1dy3610设zf x66 y,f u 可微,就解：zfx6y66 xy6 yyfx66 y 65 y65 y f6 xy11u3 2x y 在点（ 1,1）处,当x0.02,u x= 解：du1,13x2y 当x0.

5、02,y0.01时,其微分 = 30.0220.010.0412设uf x xy xyz , f 可微,就解：uf11fyfyz23x f 1yf yzf 32三、运算题 （每道题 8 分,共 64 分）名师归纳总结 13已知zx2yf3x4 y ,如y0时,z2 x 求z,z第 3 页,共 8 页xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）x2xf3 1 2 1f 3 3 x 3 x9 3故有 f x 1x 2 1x9 3（2）z x 2 y 13 x 4 y 2x 4y9 310y 1 3 x 4 23 9（3）z 23 x 4 , z 10

6、83 x 4 x 3 y 3 914求 z x e 2 y x 1arctan y在点（ 1,0）处的一阶偏导数,全微分x2 z x ,0解：（1）z x ,0 x 2 xx故有 z1,0 2x（2）z 1, e y z 1, e yy故 z1,0 e 01y（3）dz 1,0 2 dx dy15设 z 1 xy x,求 z,z, dzx y解：（1） ln z x ln1 xy （2）z 1ln1 xy xyx z 1 xyz x xy1 xy ln1 xy x 1 xyz x 1 2 x 1x 1 xy x x 1 xy ydz名师归纳总结 1xy xln1xy 1xy xydx12 xd

7、y第 4 页,共 8 页xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16设zfy x ,x y,求z,z, dzxy名师归纳总结 解：（1）zf1xyf12z第 5 页,共 8 页22xyy f 2 x1f12y（2）zf1fyxy1x221fxf1y22x（3）dzyf1fdxx212y1f 1xf 2dyxy217 设zx f esin y , f 可微,求 dz解法 （1）：zfx sin yy sinx e yfxzfexsiny yx ecosyfydzx e fsinydxcosydy 解法 （2）：dzf sin sin y d e xyf s

8、inydexx e dsinyf sinydxexcosydy ex18 设zf2xy ysinx ,其中 f 有二阶连续偏导数,求x y解：（1）zf12fycosx2x（2）2z2 f 11 1f 12sinxx y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cosxf2cosx yf 1f22sinx21cos xf 22 f 11ysin cos xf 222z x y2sinxycos x ff 12f122119设z1f xyyxy,其中 f ,都有二阶连续偏导数,求x解：（1）z1f1fyy1xx2x（2）2z1fx1fyfxx yx2xxyyfy

9、20 设uy f x y xe, f 有二阶连续偏导数,求2ux y解：（1）uf 11f20f3eyx（2）2u f 110f 121x yf13y xey e f 3eyf310f321f33xeyy e f3f12y xe f 13y e f 322 xeyf33四、综合题 （每题 10 分,共 20 分）名师归纳总结 21如可微函数f u 满意f u f u eu,运算xexyf xy第 6 页,共 8 页eu解：原式xy ye f xy xy efxy yxy ye f xy fxy f f u 原式xy yeexyy注：另法：f u edueuu e duceuucf xy exy

10、xyc - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 原式xexyexyxycxxycy0y2z x y22 设zf x2y e 2xyf 有二阶连续偏导数,求解：（1）zf 12xfexyy2x2xf 1ye f xy2（2）2z2x f 11 2 fxy ex12x yye xy f + 2yexyf 2 f22 xyexy21=4xyf22 x exyf12exyxy yex f11222 y fxy e2 xyexyf2221f 12f212zxy exy1f4 xyf 112 xyexyf222x y2x22y2xy ef12xy exy1f4 xyf

11、112 xyexyf2222x2y2exyf 12五、证明题 （每道题 9 分,共 18 分）名师归纳总结 23设zx2xy2其中可微,第 7 页,共 8 页证明1z1zzxxyyx22xyzx2x证明：（1）x2（2）z yx0 2 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）1z1z12x2xxxxyy221z2xx224设zlne xe y,证明2z2z2z2x2y 2x y解：（1）zx ex ey e,zx eeyy exy（2）2ze e x xeyye xe x22 xx ee2x ey ex eey2由轮换对称性知, 2zx eey2 y2x eey（3）2z0exy ex ey ex yx eey2x ey e故有2z2z2z22 xy2x y选做题名师归纳总结 证明zx ecosy 满意2z2z=0 第 8 页,共 8 页2 xy2证：zexcosy,zex sinyxy2zx ecosy,2zx e cos 0x2y22z2zx ecosyx ecosy故有2 x2 y- - - - - - -