2022年特征值与特征向量考研复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用特点值与特点向量考研复习一、特点值和特点向量1、有关定义：1 定义 1：设 A 为 n 阶矩阵,是一个数,假如存在非零的In 维向量,使得： A,就称是矩阵 A 的一个特点值,非零向量为矩阵 A 的属于 定义 2：称矩阵IA称为 A 的特点矩阵,它的行列式征多项式,IA0 称为 A 的特点方程,其根为矩阵A 的特点值；p1EanqFDPw 2、特点值、特点向量的求法：设 A 是 n 阶矩阵,就 0是 A的特点值,是 A 的属于 0的特点向量的充分必要条件是 0是 0 I A0 的根,是齐次线性方程组 0 I A X 0

2、 的非零解；DXDiTa9E3d 3、特点值、特点向量的基本性质1 假如 是 A 的属于特点值 0的特点向量,就 肯定是非零向量,且对于任意非零常数 k , k 也是 A 的属于特点值 0的特点向量； RTCrpUDGiT 2 如 果 1, 2 是 A 的 属 于 特 征 值 0的 特 征 向 量 , 就 当 k 1 1 k 2 2 0 时 ,k 1 1 k 2 2 也是 A 的属于特点值 0的特点向量；T3 n 阶矩阵 A与它的转置矩阵 A 有相同的特点值；4 1 2 n tr A a 11 a 22 a nn5 1 2 n A6 设 是 A 的特点值,且 是 A 属于 的特点向量,就k k

3、 k ka c 是 cA 的特点值,cA c；b 如 A 可逆,就 0 且1是 A 1的特点值,A 11；上述结果在某种意义上可以说：f A 的特点值是 f ,其中 是 A 的特点1 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用值；7 设1,m2,m为 n 阶矩阵2A 的不同特点值；1,2,m分别是属于1,2,的特点向量,就1,m线性无关；4、典型例题1例 1 四/93 设 2 是可逆矩阵 A的一个特点值,就 1 A 2 有一特点值为 ；3A、4 B、3 C、1 D、13 4 2 41解：

4、1A 23 A 1 2 3,选 B3 4练习： 1、一/98设 是 n 阶矩阵 A的一个特点值,就 A * 2 E 必有特点值；解：由于 A *A A 1,所以 A 的特点值为 *A 1,从而 A 2 21 是 A * 2E 的一个特点值；12、三/08设三阶矩阵 A 的特点值分别为 1,2,2 ,就 4A E；解：4 A 1E 的三个特点值为 3,1,1,所以 4 A 1E 3T *3、 四/96 设有四阶方阵 A 满意：2 E A 0,AA 2 E,A 0；求 A 的一个特点值；解：由2EA0知：2 是 A 的一个特点值A由AAT2E,A0知：A4所以* A 的一个特点值为42 22例 2

5、 一/95设 A 是 n 阶矩阵,满意AATE,A0,求AE；解：法一：由AATE,A0知：A1而AEAT AAAEATAE ,所以AE0法二：设是 A 的任意一个特点值,是对应的特点向量,就2 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由AATE得T A AE ,T个人资料整理仅限学习使用T A ATATAT2 T T 21 1,即 A 的特点值是 1 或 1,而 A 0,所以 A 的特点值至少有一个是 1,因此 A E 0同类型： 四/90 设方阵 A 满意 A T A E,试证明 A 的实特点向量所对应的特

6、征值的肯定值等于 1；例 3 一 、 二 /08 设 A 为 二 阶 矩 阵 ,1 , 2 是 二 个 线 性 无 关 的 列 向 量 ,A 1 0, A 2 2 1 2,就 A 的非零特点值为；解：由于 A 2 1 2 2 A 1 A 2 2 1 2,所以 A 的一个非零特点值为 1；例 4 三/02 设 A 为 n 阶实对称矩阵, P 是可逆矩阵；已知 是 A 的属于特点值的特点向量,就 P 1AP T属于特点值 的特点向量是 ；5PCzVD7HxA A、P 1B、P TC、 P D、1 TP1 T T 1 T 1 T 1 T解：P AP P A P A P PA,因此 P 1 T,得 P

7、 T选 B 例 5 四/08 设三阶矩阵 A的特点值互不相同,且 | A | 0,就 r A ；解：由 | A | 0 知： A 至少有一个特点值为 0 又 A 的特点值互不相同,所以 A 只有一个特点值为 0；因此 r A 2例 6 一、二、三 /05 设 1, 2 是矩阵 A 的二个不同特点值,对应的特点向量分别为 1, 2,就 1A 1 2 线性无关的充要条件是 ；jLBHrnAILg A、1 0 B、2 0 C、1 0 D、2 0解：1A 1 2 线性无关的充要条件是 x 1 1 x A 1 2 0 只有零解x 1 1 x A 1 2 0 x 1 1 x 2 1 2 x 2 2 03

8、/ 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由1,2线性无关得：x 11x 2个人资料整理仅限学习使用0,2x 20只有零解的充要条件是 2 0 选 B例 7 三/90 设 A 为 n 阶矩阵,1, 2 是 A的二个不同特点值,X 1, X 2 分别是属于 1, 2 的特点向量,试证明 X 1 X 2 不是 A 的特点向量；证明：如 X 1 X 2 是 A 的特点向量,就存在一个数,使得：A X 1 X 2 X 1 X 2 又 A X 1 X 2 AX 1 AX 2 1 X 1 2 X 2所以 X 1 X 2 1

9、X 1 2 X 2即 1 X 1 2 X 2 0,又 X 1, X 2 线性无关,所以 1 0, 2 0与 1, 2 是 A 的二个不同特点值冲突,所以 X 1 X 2 不是 A 的特点向量；1 b bb 1 b例 8 三/04 设 n阶矩阵 A,1求 A的特点值和特点向量； 2b b 1求可逆阵 P ,使得 P 1 AP 为对角矩阵；1 b b 1 n 1 b b bb 1 b 1 n 1 b 1 b解： 1 E Ab b 1 1 n 1 b b 11 n 1 b b b0 1 b 0 n 1 1 b 1 n 1 b0 0 1 b所以 1 b n 1 个 , 1 n 1 b1 如 b 0,就

10、 n 个特点值均为 1,此时 E A 0,所以T T1 1,0, ,0 , , n 0, ,0,1 是 n 个线性无关的特点向量2 如 b 0,就当 1 b 时,4 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - bbb个人资料整理仅限学习使用bbbb b b 0 0 0E Ab b b 0 0 0T T所以 1 1,0, ,1 , , n 1 0, , 1,1 是 n 1 个线性无关的特点向量当 1 n 1 b 时, n 1 b b bb n 1 b bE Ab b n 1 b1 n 1 1 n 0 n1 1 n 1

11、 0 n n1 1 1 n 1 1 1 n1 0 0 11 0 10 1 0 10 1 10 0 1 11 1 1 n0 0 0 0得 n 1,1, ,1 T是它的一个基础解系；1 0 02 当 b 0 时,P 0 1 0,且 P 1AP diag 1,1, ,10 0 11 0 0 10 1 0 1当 b 0 时,P,且0 0 1 11 1 1 11P AP diag 1 b , ,1 b ,1 n 1 T T例 9 三、四 /98 设 a 1 , , a n , b 1 , , b n 都是非零 n 维向量,且满意条件 T 0；记 A T；求： 1 A ；2 A 的特点值和特点向量；5 /

12、 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1 A2TT0个人资料整理仅限学习使用2 设A是 A 的任意一个特点值,是对应的特点向量,就A0 ,所以0 ,所以2220 ,又即 A 的 n 个特点值均为 0；由于,都是非零向量,所以不妨设a 10,b 10；：,当0时ab 1 1a b 2a b nEATa b 2 1a b 2a b na b 1a b 2a b na b 1 1a b 2a b nb 1b 2b n000000000000所以基础解系为1bb2/T1,n1b n,bT；0,0从而0对应的全部特

13、点向量为：是c 11c n1n1,其中c 1,c n1不全为零；2111例 10 四/03 设A121可逆,b 是* A 的一个特点向量,4；11a1对应的特点值,求a,b ,的值；解：由是* A 的属于的一个特点向量,且A 可逆知：0 ,且* A即A A1,从而 AA3b|A| 4a1代入得：22b|A b得：a2,b1,1或a2,b2,ab1|A|6 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - a个人资料整理仅限学习使用1c练习： 一、三 /99 设矩阵 A 5 b 3,且 A 1；又设 A 的相伴1 c 0

14、a矩阵 A 有特点值 *0,属于 0的特点向量为 ,1 T1,1,求 a , b , c , 0 的值；0 a 1 c 1A解：由 A 得：0 5 b 3 1,解得：0 1, b 3, a c00 1 c a 1又 A 1 a 3,所以 a c 2；例 11 一/92 设三阶矩阵 A 的特点值为 1,2,3,对应的特点向量分别为：1 1 1 11 1 , 2 2 , 3 3,又 11 4 9 31将 用 1 , 2 , 3 线性表示； 2求 A n n为自然数 ；解： 1解 x 1 1 x 2 2 x 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1就 A 1 2 3 1 0 1 2 0

15、0 1 2 01 4 9 3 0 2 6 2 0 0 2 2得：2 1 2 2 32 A 2 A 1 2 A 2 A 3 2 1 1 2 2 2 3 3n n n n n 1 nA 2 1 1 2 2 2 3 3 2 1 2 2 3 3n n也可以用相像矩阵先求 A ,再求 A 做,但是比较麻烦 例 12 二、三、四 /08 设 A 为三阶矩阵,1 , 2 是 A 的分别属于 1,1的特点向 量 , 向 量 3满 足 A 3 2 3, 1 证 明 1 , 2 , 3 线 性 无 关 ； 2 令P 1 , 2 , 3 ,求 P 1 AP ；xHAQX74J0X 解： 1 设 x 1 1 x 2

16、2 x 3 3 0 1 所以 x A 1 x A 2 x A 3 07 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 代入得：x 11x 2x 32x 33个人资料整理仅限学习使用0 2 1 2得：2 x 1 1 x 3 2 0由于 1 , 2 是 A 的分别属于 1,1的特点向量,所以 1 , 2 线性无关,因此 x 1 0, x 3 0,再代入 1式得：x 2 2 0,因 2 0 ,所以 x 2 0从而 1 , 2 , 3 线性无关 2 AP A 1 , A 2 , A 3 1 , 2 , 2 3 1 0 0 1

17、 0 0 1 , 2 , 3 0 1 1 P 0 1 10 0 1 0 0 11 0 0所以 P 1AP 0 1 1；0 0 1例 设 A 是一个 n 阶正交矩阵,证明：1）假如 A 有特点值,就 A 的特点值只能是 1 或 1；2）假如 A 1,就 1是 A 的一个特点值； 设是矩阵 A的一个特点值,是对应的特点向量,就A；从而ATATT A A2T* 由于 A 是正交矩阵,所以T A AE ；从而由 * 式得：T2T；由于0 ,所以T0；因此21,即1；2 EAT A AAEA TAEA所以EA0,即1是 A 的一个特点值；3 EAT A AAEATA 1 n EAEA由此得EA0；8 /

18、 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例设A B 分别是mn n个人资料整理仅限学习使用的m 阶矩阵,假如是矩阵 AB 的属于非零特点值一个特点向量,证明 B 是 BA 的属于特点值 的一个特点向量；证明：由于 是矩阵 AB 的属于特点值 的一个特点向量,所以 AB；两边乘 B 得：BA B B * 假如 B 0,就 AB 0与 0,0 冲突；所以 B 0；因此由 * 式知： B 是 BA 的属于特点值 的一个特点向量；例 设 a 1 , , a n T,其中 a 1, , a 不全为零,求 A T的特点值和特

19、点向量；解：由于a 1,a 不全为零,所以不妨设a 10；A；设是矩阵 A 的任意一个特点值,是对应的特点向量,就留意到2 ATTn2 a iA,易得：0 或na2；ii1i1又由于T AT TTA,所以 A 是对称矩阵；从而 A 肯定可以对角化；因此A 的秩等于对应对角矩阵的秩；而 r A 1,所以 A 只有一个非零特点值：na ,其余的n1个均为 0；i12 a 1a a 1 2a a 1n当0时,EAa a 1 2a2a a 2 n2a a na ana2na 1a2ana 1a 2a na 1a2an000a 1a2an000所以基础解系为：1a 2/a 1,1,T ,0 ,n1a n

20、/a 1,T ,1从而对应的全部特点向量为k 11k n1n1,其中k 1,k n1不全零；9 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - n2 a i个人资料整理仅限学习使用2 a 1a a2a anknni1a a 12na22 a 2a a 2nAi当a 时,Ei1i1a an1a ana anna2a2na22 a 1a a2ini1na22 a 1a a 2a aniii1i1a 2in2 a iin2 a i0a21011a 1a 1na2a nin2 a i0an011ia 1a 1i1000a20a

21、 210a 1a n0,1a 1a n01a 100a 10,a nT； 从 而 对 应 的 所 有 特 征 向 量 为a2所 以 基 础 解 系 为 ：n1,a 1a 1nk n0；二、矩阵的相像1、相像的定义：设 A、B 为 n 阶矩阵,假如存在n 阶可逆矩阵P,使得P1APB成立,就称矩阵 A与 B相像,记作A B；2、相像的性质1 如二个矩阵相像,就它们具有相同的特点值；2如二个矩阵相像,就它们具有相同的行列式；3 如二个矩阵相像,就它们具有相同的迹 4 如二个矩阵相像,就它们具有相同的秩5 如 n阶矩阵A B 相像,即P1APB；就Akk B k 为任意非负整数,当10 / 20 名

22、师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理B仅限学习使用A 可逆时, k 仍可以为任意负整数 且P1AkPk；3、可对角化的定义及条件1 定义：如方阵 A可以和某个对角矩阵相像,就称矩阵 A可对角化；2 可对角化的条件：a n 阶矩阵 A 相像于对角阵的充分必要条件是A有 n 个线性无关的特点向量；b 如 n 阶矩阵 A有 n 个相异的特点值1,2,n,就矩阵 A肯定可对角化；4、实对称矩阵的对角化 1 实对称矩阵的特点值都是实数；2 实对称矩阵的属于不同特点值的特点向量是正交的；3 设 A 为 n 阶实对称矩

23、阵,就存在n 阶正交矩阵 Q,使Q1AQ为对角阵；4 史密特正交化方法；5、典型例题例 1 三/00 如四阶矩阵A B 相像, A 的特点值为1,1,1,1,就B1E；2345解：由于A B 相像, A 的特点值为1,1,1,1,所以B1的特点值为 2,3,4,52345从而B1E 的特点值为 1,2,3, 4 ,故B1E24例 2 三/99 设 A与 B 为 n 阶矩阵,且 A与 B 相像,就 ；A、EAEBB、 A 与 B 有相同的特点值与特点向量 C、 A 与 B 都相像于一个对角矩阵D、对任意常数 t ,tEA与tEB相像解： D例A3 四/03 001,已知A与B相似,就设B010r

24、r1002EAE ；C、4 D、5 A、2 B、3 11 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由 A 与 B 相像得：AkEB个人资料整理仅限学习使用kE ,而相像矩阵的秩相等,所以rA2ErAEr BB2Er BE314x,y；2求可逆200与A100相像, 1求例 4 三/92 设A2x202031100y阵 P ,使得P1APB；E00,得x解： 1 1是 A的特点值,所以又tr A tr B ,所以y22 略例 5 四/95 设 1 ,1 ,2 2 T, 2 2 , 1,2 T, 3 2 ,

25、,1 2 T,且三阶矩阵 A 满意A i i i i ,1 ,2 3 ,试求 A ；解：由于 A 有三个不同的特点值,所以 A 可以对角化,且1 2 2P 2 2 1,使得 P 1AP diag 1,2,3,下略2 1 23 2 2例 6 四/99设 A k 1 k,问当 k 为何值时,存在可逆矩阵 P ,使得4 2 3P 1AP 为对角矩阵？并求出 P 和相应的对角矩阵；解：E A 1 1 20,所以 1, 1,1由于 A 可对角化,所以 r E A 14 2 2 2 1 1而 E A k 0 k k 0 k ,所以 k 0；其余略；4 2 2 0 0 01 1 1例 7 四/00 设 A

26、x 4 y,已知 A有三个线性无关的特点向量,2 是 A3 3 5的二重特点值；试求可逆矩阵 P ,使得 P 1 AP 为对角形矩阵；Zzz6ZB2Ltk 12 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用解：由 A 有三个线性无关的特点向量,关的特点向量,所以r2EA12 是 A 的二重特点值知： 2 有二个线性无1111121x,y应满意2EAx2y0xxy3330010所以x2,yx2； 下略；00练习： 三、四 /94 设Ax1y有三个线性无关的特点向量,求100的条件；0110

27、1A1解：EAx1yx1y1010100x1xy12 10101所以1,1,1101101当1时,EAx0y00xy101000由于1是二重根,且 A 有三个线性无关的特点向量,所以rE因此xy0A 2,101101当1 时,EAx2y02yx ,此时rE101000a 的值,符合要求；故x,y应满意的条件是：xy0；123例 8 一、二 /04 设矩阵A143特点值有一个二重根,求1a5并争论 A 是否可以对角化；13 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：EA228183 个人资料整理仅限学习使用由

28、于有重根,所以12是28183 a0的解,得：a22101特点值为2,2,631312当2时,EA1230200123000得基础解系为12,1,0T ,2T 3,0,135231当6时,EA123011011得基础解系：1210000003T 1, 1,1由于有三个线性无关的特点向量,所以此时矩阵能对角化；228183 a42,得：a12；3331232当2时,EA123010得基础解系为11230003T 3,0,110323当4时,EA103013得基础解系为212 31000T 3, 3,1由于只有二个线性无关的特点向量,所以矩阵不能对角化；例 9 一/03 设矩阵A322,B010,

29、BP1A*P,求B2E的特点232101223001值和特点向量；解： A 的特点值与对应的特点向量分别为：14 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1,1,7和1T 1,1,0 ,2个人资料整理仅限学习使用T 1,0,1 ,3T 1,1,1所以 A 特点值与对应的特点向量分别为：*7,7,1 和 1 1,1,0 , T2 1,0,1 , T3 1,1,1 T*而 A 与 B 相像,所以二者的特点值相同；所以 B 2 E 的特点值为 9,9,3由于 B P 1 P A PP 1 * 1P A 1 * P

30、1,所以 P 1 是 B 的特点向量； 留意到 B P A P 1 *和 A 知： B 的特点向量可选 P 1 ,由此得：B 2 E 的特点值为 9,9,3 对应的特点向量分别为：P 11 1, 1,0 , T P 12 1, 1,1 , T P 13 0,1,1 T例 10 四/05设 A 为三阶矩阵,1 , 2 , 3 是线性无关的三维列向量,且满意A 1 1 2 3,A 2 2 2 3,A 3 2 2 3 31 求矩阵 B ,使得 A 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 B；2 求矩阵 A 的特点值； 3 求可逆阵 P ,使得 P 1 AP 为对角阵；1 0 0解： 1 A 1 ,

31、2 , 3 1 2 3 ,2 2 3 ,2 2 3 3 1 , 2 , 3 1 2 21 1 31 0 0所以 B 1 2 2；1 1 31 2 记 C 1 , 2 , 3 ,就 C AC B,因此求 A 的特点值转化为求 B 的特点值；B 的特点值和对应的特点向量分别为：1,1,4 和T T T1 1,1,0 , 2 2,0,1 , 3 0,1,11 2 0记 D 1 0 1,就 D 1BD diag 1,1,40 1 115 / 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以1 1D C ACD1 D BD个人资料整理仅限学习使用diag1,1,4,故 PCD例 11 一/01 已知三阶矩阵 A 与三维列向量 X ,使得向量组 X , AX , A 2 X 线性无关 , 且 满 足 A 3 X 3 AX 2 A 2 X； 1 记 P X , AX , A 2 X , 求 B 使 得A P B P 1；2 A E；dvzfvkwMI1 解： 1 AP A X AX A X 2 AX A X A X 2 3 AX A X 2,3 AX 2 A X 20 0 0 0 0 02