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1、 2 一志向气体经验图示的过程，试探讨过程 1-2 与过程 1”-2 的摩尔热容量是正还是负？图中1-2为绝热过程。2PVO111”T2T1解：依据摩尔热容的定义解：依据摩尔热容的定义 可知求可知求Cx的正负只需求的正负只需求dQ与与dT 的符号就可推断。的符号就可推断。过程过程 1-2、1-2、1”-2 都在等温线都在等温线 T1和和 T2 之之间间,它们的温度变更相同且它们的温度变更相同且 由图中可以看出由图中可以看出它们的内能变更相同且它们的内能变更相同且 2PVO111”T2T1它们对外界做功都为负，即它们对外界做功都为负，即 A|A 1-2|可知可知Q 1-2|A 1-2|，可知，可

2、知Q 1-2 0，这样得，这样得 3 1mol 单原子分子的志向气体，经验如图所示的可逆循环，联结a、c 两点的曲线ca 的方程为 P=P0V2/V02，a 点的温度为T0，（1）试以 T0、R 表示 ab、bc、ca过程中气体吸取的热量。（2）求此循环的效率。bcaPVV09P0P0 Pb=Pc=9 P0 Vb=V0 Tb=（Pb/Pa）Ta=9 T0（1）过程）过程 abbcaPVV09P0P0解：设解：设a 状态的状态参量为状态的状态参量为 P0、V0、T0，则，则 过程过程 bc 过程过程 ca（2）bcaPVV09P0P04、如图所示，一金属圆筒中盛有、如图所示，一金属圆筒中盛有1m

3、ol双原子分双原子分子的志向气体，用可动活塞封住，圆筒浸在冰子的志向气体，用可动活塞封住，圆筒浸在冰水混合物中，快速推动活塞，使气体从标准状水混合物中，快速推动活塞，使气体从标准状态（位置态（位置1）压缩到体积为原来一半的状态）压缩到体积为原来一半的状态（位置（位置2），然后维持活塞不动，待气体温度），然后维持活塞不动，待气体温度下降至下降至0，再让活塞缓慢上升到位置，再让活塞缓慢上升到位置1，完成，完成一次循环。一次循环。（1）试在）试在PV图上画出相应的志向循环曲线图上画出相应的志向循环曲线（2）若做）若做100次循环放出的总热量全部用来溶解次循环放出的总热量全部用来溶解冰，则有多少冰，则

4、有多少kg 冰被熔化？冰被熔化？冰的溶解热冰的溶解热=3.35105Jkg-1。12解：解：（1）PV图上循环曲线，图上循环曲线，ab为绝热为绝热线，线，bc为等容线，为等容线，ca为等温线。为等温线。（2）等容过程放热为）等容过程放热为 12PbcaVV1/2V1（T2）（T1）（T1）O等温过程吸热为等温过程吸热为若若100次循环放出的总热量全部用来溶解冰，次循环放出的总热量全部用来溶解冰，则溶解冰的质量为则溶解冰的质量为绝热过程方程绝热过程方程双原子分子双原子分子系统一次循环放出的热量为系统一次循环放出的热量为PbcaVV1/2V1（T2）（T1）（T1）O5、如图所示，abcda为1m

5、ol单原子分子志向气体的循环过程，求：（1）气体循环一次，在吸取过程中从外界共吸取的热量。（2）气体循环一次对外做的净功。（3）证明：Ta Tc=Tb TdbcaV（10-3m3）2Od3 （105Pa）P21解：（解：（1）过程）过程ab与与bc为吸热过程为吸热过程 吸热总和为吸热总和为 Q1=CV(Tb Ta )+CP(Tc Tb )=800J（2）循环过程对外所作总功为图中矩形面积）循环过程对外所作总功为图中矩形面积 A=Pb（Vc-Vb）Pa（Vd-Va）=100J（3）Ta=PaVa/R ，Tc=PcVc/R Tb=PbVb/R ，Td=PdVd/R 32 52=（PbVb PaVa

6、）+（PcVc PbVb）bcaV2Od3 P21 Ta Tc=（Pa Va Pc Vc）/R2 =（12104）/R2 Tb Td =（Pb Vb Pd Vd）/R2 =（12104）/R2 Ta Tc=Tb Td 例例6:某志向气体在某志向气体在 P-V 图上等温线与绝热图上等温线与绝热线相交于线相交于 A点，如图，已知点，如图，已知 A点的压强点的压强 P1=2105Pa，体积，体积 V1=0.510-3m3，而且，而且 A点点处等温线斜率与绝热线斜率之比为处等温线斜率与绝热线斜率之比为 0.714，现，现使气体从使气体从 A点绝热膨胀至点绝热膨胀至 B点，其体积点，其体积V2=110-

7、3m3，求，求AP1VV1V2OPB（1）B点处的压强点处的压强（2）在此过程中气）在此过程中气体对外所作的功。体对外所作的功。解解:(1)(1)等温线等温线 P V=C 得得绝热线绝热线 P V=C得得AP1VV1V2OPB故故=1/0.714=1.4由题意知由题意知(2)AP1VV1V2OPB由绝热方程由绝热方程 7、确定量的某种志向气体，起先时处于、确定量的某种志向气体，起先时处于压强、温度、体积分别为压强、温度、体积分别为P0=1.2106 Pa,T0=300k，V0=8.3110-3m3 的初态，后经过的初态，后经过一等容过程，温度上升到一等容过程，温度上升到 T1=450k，再经过

8、，再经过一等温过程，压强降到一等温过程，压强降到 P=P0 的末态。已知的末态。已知该志向气体的等压摩尔热容和等容摩尔热容该志向气体的等压摩尔热容和等容摩尔热容之比之比 CP/CV=5/3，求：（，求：（1）该志向气体的）该志向气体的等压摩尔热容等压摩尔热容 CP 和等容摩尔热容和等容摩尔热容 CV （2）气体从始态变到末态的全过程中从外界）气体从始态变到末态的全过程中从外界吸取的热量。吸取的热量。已知：已知：P0，T0，V0 T1 P1V0 T1 P0V1 等容等容等温等温解：解：（1）由）由 CP/CV=5/3 和和 CPCV=R 可解得可解得 CP=5R/2 和和 CV=3R/2 （2）

9、该志向气体的摩尔数）该志向气体的摩尔数 =P0V0/RT0=4mol 在全过程中气体内能的变更量为在全过程中气体内能的变更量为 E=CV(T1 T0)=7.48103J全过程中气体对外作的功为全过程中气体对外作的功为 A=RT1 ln(P1/P0)全过程中气体从外界吸取的热量为全过程中气体从外界吸取的热量为 Q=E+A=1.35 104J 全过程中气体对外作的功为全过程中气体对外作的功为 A=RT1 ln(P1/P0)式中式中 P1/P0=T1/T0 则则 A=RT1 ln(T1/T0 )=6.06 103J 已知：已知：P0，T0，V0 T1 P1V0 T1 P0V1 等容等容等温等温8、1

10、mol 某种气体听从状态方程某种气体听从状态方程P（V-b）=RT，内能为，内能为 E=CVT+E0（CV为定容摩尔热容，为定容摩尔热容，视为常数；视为常数；E0为常数）试证明：为常数）试证明：（1）该气体的定压摩尔热容）该气体的定压摩尔热容 CP=CV+R （2）在准静态绝热过程中，气体满足方程）在准静态绝热过程中，气体满足方程 P（V-b）v=恒量恒量 （=CP/CV）证明：热力学第确定律证明：热力学第确定律 dQ=dE+Pdv 由由 E=CV T+E0，有，有 dE=CV dT 由状态方程，在由状态方程，在1mol该气体的微小变更中该气体的微小变更中 有有 PdV+（V-b）dP=RdT

11、 （1）在等压过程中，）在等压过程中，dP=0,由由 PdV=RdT 故故（dQ）P=CV dT+RdT定压摩尔热容定压摩尔热容 CP =（dQ）P/dT=CV+R（2）绝热过程中）绝热过程中 dQ=0有有 dE=CV dT=-PdV PdV+（V-b）dP=RdT 由由两式消去两式消去 dT 得得 (V-b)dP+P(1+R/CV)dV=0 其中其中 1+R/CV=CP/CV=此式改写成此式改写成 dP/P+dV(V-b)=0积分得积分得 lnP+ln(V-b)=恒量恒量 P(V-b)v=恒量恒量 9、如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛、如图所示，用绝热材料包围的圆筒内盛有刚性双原子分子的志

12、向气体，并用可活动有刚性双原子分子的志向气体，并用可活动的、绝热的轻活塞将其封住。的、绝热的轻活塞将其封住。M、N 是固定是固定在圆筒上的环，用来限制活塞向上运动。在圆筒上的环，用来限制活塞向上运动。1、2、3是圆筒体积等分刻度线，每等分刻度为是圆筒体积等分刻度线，每等分刻度为110-3m3。起先时活塞在位置。起先时活塞在位置1，系统与大，系统与大气同温、同压、同为标准状态。现将小砝码气同温、同压、同为标准状态。现将小砝码逐个加到活塞上，缓慢地压缩气体，当活塞逐个加到活塞上，缓慢地压缩气体，当活塞到达位置到达位置3 时停止加砝码；然后接通电源缓时停止加砝码；然后接通电源缓慢加热慢加热 至至2；

13、断开电源，再逐步移；断开电源，再逐步移去全部去全部 砝码，气体接着膨胀至砝码，气体接着膨胀至1，当上升当上升 的活塞被环的活塞被环 M、N 拦住后，拦住后，拿去周拿去周 围绝热材料，系统逐步复原围绝热材料，系统逐步复原到原来到原来 状态。完成一个循环。状态。完成一个循环。231MN（1）在）在 P-V 图上画出相应的循环曲线。图上画出相应的循环曲线。（2）求出各分过程的始、末状态的温度。）求出各分过程的始、末状态的温度。（3）求该循环过程中吸取的热量和放出的）求该循环过程中吸取的热量和放出的 热量。热量。（1）系统起先处于标准状态）系统起先处于标准状态a，活塞从，活塞从1-3为绝热压为绝热压缩

14、过程，终态为缩过程，终态为b；活塞从；活塞从3-2为等压膨胀过程，终为等压膨胀过程，终态为态为c；活塞从；活塞从2-1为绝热膨胀过程，终态为为绝热膨胀过程，终态为d；除；除去绝热材料复原至原态去绝热材料复原至原态a，该过程为等容过程。该循，该过程为等容过程。该循环在环在 P-V 图上对应的曲线如图所示。图上对应的曲线如图所示。（2）由题意可知）由题意可知 Pa=1.013105Pa,Ta=273k,Va=310-3m3,Vb=110-3m3,Vc=210-3m3bcaVVbVaOdVcP231MNab为绝热过程，据绝热过程方程为绝热过程，据绝热过程方程得得bc为为 等压过程，据等压过程方程等压

15、过程，据等压过程方程bcaVVbVaOdVcP cd 为绝热过程，为绝热过程，据绝热过程方程据绝热过程方程（3）循环中）循环中ab 和和cd为绝热过程，不与外界交为绝热过程，不与外界交换热量，换热量，bc 为等压膨胀过程，吸取热量为为等压膨胀过程，吸取热量为又据志向气体状态方程有又据志向气体状态方程有式中式中bcaVVbVaOdVcP bc为等压膨胀过程为等压膨胀过程,故得故得 da 为等容降温过程，放出热量为为等容降温过程，放出热量为bcaVVbVaOdVcP 例例10：4g氢气被活塞封闭在一容器的下氢气被活塞封闭在一容器的下半部（容器的一半）且与外界平衡，若活塞质半部（容器的一半）且与外界

16、平衡，若活塞质量不计，现把量不计，现把2 104 J的热量缓慢地传给气体，的热量缓慢地传给气体，使其渐渐膨胀，若活塞外大气压为标准状态。使其渐渐膨胀，若活塞外大气压为标准状态。试求氢气最终的压强、温度，容积各为多少？试求氢气最终的压强、温度，容积各为多少？解：解：先等压加热到先等压加热到则此时温度则此时温度在此过程吸取热量：在此过程吸取热量：故余下的热量必在等容条件下吸入故余下的热量必在等容条件下吸入令最终温度为令最终温度为T3 11 1mol氢，在压强为氢，在压强为1.0105Pa，温，温度为度为200C时，其体积为时，其体积为V0，今使它经以下两，今使它经以下两种过程达同一状态：种过程达同

17、一状态：(1)先保持体积不变，加热使其温度上升到先保持体积不变，加热使其温度上升到800C，然后令它作等温膨胀，体积变为原体，然后令它作等温膨胀，体积变为原体积的积的2倍；倍；(2)先使它作等温膨胀至原体积的先使它作等温膨胀至原体积的2倍，然倍，然后保持体积不变，加热到后保持体积不变，加热到800C。试分别计算以上两种过程中吸取的热量，试分别计算以上两种过程中吸取的热量，气体对外作的功和内能的增量；并作气体对外作的功和内能的增量；并作pV图。图。A=A2=RTVlnV08.31353ln2=2033 J2=+QQ1QA2E1=1246+2033=3279JET1=CV5608.3121246

18、J解：解：(1)ET2=CV=5608.312=1246 J8.31293ln2=1678 JA=A1=RTVlnV00(2)2=+QQ1Q=+A1E2=1246+2033p(2)(1)V0V02353K293KV(3)=3279J 12 在一个密闭的抽空汽缸中在一个密闭的抽空汽缸中,有个劲有个劲度系数为度系数为 k 的弹簧的弹簧,下面吊着一个质量不计下面吊着一个质量不计且没有摩擦的滑动活塞，如图所示且没有摩擦的滑动活塞，如图所示。弹簧下。弹簧下活塞的平衡位置位于汽缸的底部活塞的平衡位置位于汽缸的底部。当活塞下。当活塞下面的空间引进确定量的摩尔定体热容为面的空间引进确定量的摩尔定体热容为CV

19、的的志向气体时，活塞上升到高度志向气体时，活塞上升到高度 h，如图所示。，如图所示。弹簧作用在活塞上的力正比于弹簧作用在活塞上的力正比于活塞的位移。假如该气体从原活塞的位移。假如该气体从原来的温度来的温度 T上升到上升到T1，并吸热，并吸热Q。问活塞所在的高度。问活塞所在的高度 h等等于多少？于多少？hAEQ=+fk=hx=+hh()CVMmolMT1Tdx=+hh22()k12()CVMmolMT1T=+Q22()CVMmolMT1Thh22kk化简后得：化简后得：Vp=MmolMRT解：解：hSp=MmolMRThSp=MmolMRT2k=MmolMhRT=+Q22()CVMmolMT1T

20、hh22kk=+Q22()CVT1Thh22kRTh2=+Q22()CVT1Thh2kRTh2=+Q22()CVMmolMT1Thh22kk2k=MmolMhRT将将代入上式，得：代入上式，得：为空气的密度。试证明声音在空气中的传为空气的密度。试证明声音在空气中的传播速度仅是温度的函数。播速度仅是温度的函数。13 声音在空气中的传播可以看作是一声音在空气中的传播可以看作是一绝热过程。它的速度可按公式绝热过程。它的速度可按公式vp=计算，式中计算，式中=CpCVp为空气的压力，为空气的压力，vp=molMRT=molMRTmolMRT=V=pMmolMRT解：解：14 两部可逆机串联起两部可逆机

21、串联起来，如图所示，可逆机来，如图所示，可逆机 1 工工作于温度为作于温度为T1的热源的热源 1 与温与温度为度为T2=400K的热源的热源 2 之间。之间。可逆机可逆机 2 吸入可逆机吸入可逆机 1 放给放给热源热源 2 的热量的热量Q2，转而放热，转而放热给给 T3=300K 的热源的热源 3。在。在(1)两部热机效率相等，两部热机效率相等，(2)两部热机作功相等的状况两部热机作功相等的状况下求下求T1。T1Q1Q3T3T2T1T3T2Q2Q2热源热源1 1热源热源2 2热源热源3 3=2400300=500KT1=2T2T3解：解：(1)1h=T2T1=1T3T2(533K=400)30

22、02=T1T2T32A=Q1Q2=Q2Q3(2)T1T2=T2T3T1Q1Q3T3T2T1T3T2Q2Q2热源热源1 1热源热源2 2热源热源3 3 15 在室温在室温270C下确定量志向气下确定量志向气体体氧的体积为氧的体积为 2.310-3m3,压强为压强为1.0105Pa，经过一多方过程后，体积变为经过一多方过程后，体积变为4.110-3m3,压强变为压强变为 0.5105Pa。求：。求：(1)多方指数多方指数n;(2)内能的变更；内能的变更；(3)吸取的热量；吸取的热量；(4)氧膨氧膨胀胀时对外所作的功。已知氧的时对外所作的功。已知氧的CV=5R/2。解解：(1)对于多方过程：对于多方

23、过程：=V1np1V2np2()=V1np1V2p211.780.5=n4.12.3()nln2=n ln1.78n=1.2(2)=-62.5J)(V2V1=p2p152U=521U2R()T2T1(3)=AV1V2p1p2n1=125JU=AQ+(4)=12562.5=62.5J 例例16 1mol 志向气体经验如图所示的志向气体经验如图所示的 a-b 过过程，探讨从程，探讨从a 变为的过程中吸、放热的状况变为的过程中吸、放热的状况解：解：a-b 的直线方程为的直线方程为 因因PV=vRT，可知，可知 a-b过程中有过程中有 由由 V=Vh 时温度取极值条件可得时温度取极值条件可得Vh=21

24、0-3m3，说明，说明h点恰是点恰是a-b直线之中点。直线之中点。abhe15513V/10-3m3P/104Pa 从从a 变到变到h的过程中，温度上升，内的过程中，温度上升，内能增加，气体对外作功，所以要吸热；能增加，气体对外作功，所以要吸热；而从而从h 变到变到b的过程中，气体仍对外的过程中，气体仍对外作功，但在温度降低中，明显在作功，但在温度降低中，明显在 h-b 中中既有吸热区，也有放热区，其中必存在既有吸热区，也有放热区，其中必存在一个吸热转化为放热的过渡点一个吸热转化为放热的过渡点e。abhe15513V/10-3m3P/104Pa a-b 直线的斜率为直线的斜率为 其中其中 ，则

25、有，则有 因为只有在绝热过程中，既不吸热因为只有在绝热过程中，既不吸热也不放热。所以通过过渡点也不放热。所以通过过渡点e的绝热线斜的绝热线斜率确定等于直线率确定等于直线a-b的斜率。的斜率。17 用绝热壁作成一圆柱形容器，在容用绝热壁作成一圆柱形容器，在容器中间放置一无摩擦、绝热的可动活塞，器中间放置一无摩擦、绝热的可动活塞，活塞两侧各有活塞两侧各有n 摩尔的志向气体，起先状摩尔的志向气体，起先状态均为（态均为（P0 V0 T0）。设气体定容摩尔）。设气体定容摩尔热容热容Cv，m为常数，绝热指数为常数，绝热指数=1.5。将。将一通电线圈放到活塞左侧的气体中，对一通电线圈放到活塞左侧的气体中，对

26、这部分气体缓慢加热，左侧气体膨胀，这部分气体缓慢加热，左侧气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最终使右同时通过活塞压缩右方气体，最终使右方气体的压强增大方气体的压强增大 27P0/8，问：，问：1）对活塞右侧气体作了多少功？）对活塞右侧气体作了多少功？2）右侧气体的终温是多少？）右侧气体的终温是多少？3）左侧气体的终温是多少？）左侧气体的终温是多少？4）左侧气体吸取了多少热量？）左侧气体吸取了多少热量？1）右侧气体经验一绝热压缩过程，它右侧气体经验一绝热压缩过程，它对活塞（即外界）作功为：对活塞（即外界）作功为：负号表示活塞对右侧气体作正功，这正功也就负号表示活塞对右侧气体作正功，这正功也就是

27、左侧气体对右侧气体作的功。是左侧气体对右侧气体作的功。3）可通过求左侧气体的终了压强、体积，）可通过求左侧气体的终了压强、体积，进而求得其终温。因活塞可移动，所以所属进而求得其终温。因活塞可移动，所以所属两侧的气体压强在同一时刻应相同，故过程两侧的气体压强在同一时刻应相同，故过程终了时，左侧气的压强应为终了时，左侧气的压强应为P=27P0/8。左。左侧气体的体积为：侧气体的体积为：所以，依据状态方程可得：所以，依据状态方程可得：18 一圆柱形横截面积为一圆柱形横截面积为S 的绝热气缸中，的绝热气缸中，有一质量为有一质量为m的绝热活塞，当活塞处于气缸的的绝热活塞，当活塞处于气缸的中间时，活塞两边

28、的气体有相同的温度中间时，活塞两边的气体有相同的温度T 和摩和摩尔数尔数n，此时，两边的气缸长度为，此时，两边的气缸长度为L，若让活塞，若让活塞与这一平衡位置发生很小的偏离与这一平衡位置发生很小的偏离 x，继后活塞，继后活塞将仅在气体作用下运动，求活塞的运动状况，将仅在气体作用下运动，求活塞的运动状况，活塞与气缸壁的摩擦系数可忽视不计。活塞与气缸壁的摩擦系数可忽视不计。xmL解：当活塞向左产生微小的偏移解：当活塞向左产生微小的偏移 x 时，活塞时，活塞 两边的体积发生微小的变更。引起压强微两边的体积发生微小的变更。引起压强微 小的变更小的变更 dV=SX，将绝热过程方程微分得，将绝热过程方程微

29、分得依据依据对于活塞右侧气体，上式可改写成对于活塞右侧气体，上式可改写成 由于由于 ，按二项式展开，按二项式展开，略去高次项，得略去高次项，得故故对活塞左侧的气体，同理可得对活塞左侧的气体，同理可得故活塞所受合力为故活塞所受合力为 式中负号表示合力式中负号表示合力F 方向与位移方向与位移 x 方向相方向相反，始终指向平衡位置，即气缸中间的位置反，始终指向平衡位置，即气缸中间的位置 这是一准弹性力，于是活塞将在平衡位置作这是一准弹性力，于是活塞将在平衡位置作简谐振动，活塞运动方程为简谐振动，活塞运动方程为圆频率圆频率 19 一志向气体经验一卡诺循环，当热一志向气体经验一卡诺循环，当热源温度为源温

30、度为100，冷却温度为，冷却温度为0 时，作时，作净功净功800J，今为提高效率，令冷却温度不，今为提高效率，令冷却温度不变，提高热源温度，使净功增为变，提高热源温度，使净功增为1600J。设这两个循环都工作于相同的两条绝热线设这两个循环都工作于相同的两条绝热线之间，试问：之间，试问：1）此时效率增大到多少？）此时效率增大到多少？2）此时热源的温度）此时热源的温度 T1 是多少？是多少？PVbbcaadQ2Q1，T1，T1Q1绝热线绝热线解：对于卡诺循环解：对于卡诺循环 由于两循环有同一低温热源，由于两循环有同一低温热源，T2，=T2，且又工作于相同的绝热线之间，由且又工作于相同的绝热线之间，

31、由P-V 图可图可知这两个卡诺循环对向低温热源放出的热量知这两个卡诺循环对向低温热源放出的热量必相等，即必相等，即 Q2，=Q2 1）设）设A为为abcda中所作中所作的净功，则的净功，则 若若Q1，为，为a bc d a 这一循环所吸取这一循环所吸取的热量，的热量，A为所作净功，则效率为为所作净功，则效率为PVbbcaadQ2Q1，T1，T1Q1绝热线绝热线PVbbcaadQ2Q1，T1，T1Q1绝热线绝热线 20 有有1摩尔单原子志向气体，如图所摩尔单原子志向气体，如图所示的循环过程，试问：示的循环过程，试问：1）此循环是致冷循）此循环是致冷循环还是热机循环？环还是热机循环？2）其致冷系数

32、或热机效）其致冷系数或热机效率等于多少？率等于多少？VTbac2V0V0T0 解：解：1）PV 图中正循环为图中正循环为热机循环，反之为致冷循环。热机循环，反之为致冷循环。对对ab过程，因过程，因V与与T 成正成正比为等压过程。比为等压过程。Pa=Pb=P0，又因为又因为Vb=2V0 ，所以所以 bc为等容过程。因为等容过程。因Vc=2V0，Tc=T0 ，所以所以 ca为等温过程，为等温过程，且是等温压缩且是等温压缩 在在PV 图上依据各状态参量画出循环图上依据各状态参量画出循环过程，可见该循环为热机循环过程，可见该循环为热机循环VPacbP02）热机效率为）热机效率为VTbac2V0V0T0VPacbP0