理论力学9—动量矩定理3.优秀PPT.ppt

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1、由速度合成定理有由速度合成定理有9.5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理质点系在相对动坐标系的运动中对质心的动量矩质点系在相对动坐标系的运动中对质心的动量矩与在确定运动中对质心的动量矩之间的关系：与在确定运动中对质心的动量矩之间的关系：rirCmiyyxzCOxzviri质点系对于固定点的动量矩质点系对于固定点的动量矩rirCmiyyxzCOxzviri质点系对任确定点质点系对任确定点O的动的动量矩为量矩为即即:质质点点系系对对任任确确定定点点O的的动动量量矩矩等等于于集集中中于于质质心心的的系系统统动动量量mvC对对于于点点O的的动动量量矩矩再再加加上上此此系系统统对

2、对于于质质心心的的动动量量矩矩LC(应应为矢量和为矢量和)。rirCmiyyxzCOxzviri绽开上式绽开上式,留意右端项中留意右端项中质点系对于定点质点系对于定点O的动量矩定理可写成的动量矩定理可写成于是上式化为于是上式化为质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理rirCmiyyxzCOxzviri因为因为质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理即即:质质点点系系相相对对于于质质心心的的动动量量矩矩对对时时间间的的导导数数,等等于于作作用用于于质质点点系系的的外外力力对对质质心的主矩。心的主矩。质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理上式右端

3、是外力对质心的主矩上式右端是外力对质心的主矩,于是得于是得于是上式成为于是上式成为由由刚刚体体平平面面运运动动理理论论知知：取取质质心心为为基基点点，刚刚体体的的平平面面运运动动可可分分解解为为伴伴同同质质心心的的平平移移和相对质心的转动两部分。和相对质心的转动两部分。JC 为刚体对过为刚体对过C垂直于图示平面轴的转动惯量。垂直于图示平面轴的转动惯量。9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程yxxyOCD取取如如图图平平移移动动坐坐标标系系,刚刚体体对质心轴的动量矩为对质心轴的动量矩为由由质质心心运运动动定定理理和和相相对对质心轴的动量矩定理质心轴的动量矩定理得得上式也可写成上式也

4、可写成9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程yxxyOCD以以上上两两式式称称为为刚刚体体的的平平面面运运动动微微分分方方程程。应应用用时时,前一式通常取其投影式。即前一式通常取其投影式。即9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程例例7 一一均均质质圆圆柱柱体体,质质量量为为m，半半径径为为r，无无初初速速地地放放在在倾倾角角为为q q 的的斜斜面面上上，不不计计滚滚动动摩摩阻阻，求其质心的加速度。求其质心的加速度。解解:以以圆圆柱柱体体为为探探讨讨对对象象。圆圆柱柱体体在在斜斜面面上上的的运运动动形形式式，取取决决于于接接触触处处的的光光滑滑程程度度，可可分分为为以

5、下三种状况进行探讨以下三种状况进行探讨:Cq q(1)设接触处完全光滑设接触处完全光滑此此时时圆圆柱柱体体作作平平移移，由由质质心心运动定理运动定理即即q qCxyOCq qaCFNmg(2)设设接接触触处处足足够够粗粗糙糙，使使圆圆柱柱体体作作纯纯滚滚动动，列列出平面运动微分方程出平面运动微分方程:解得解得Fs由纯滚动条件有由纯滚动条件有q qCxyaCOFNmga a由于圆柱作纯滚动由于圆柱作纯滚动,故故FS所以所以这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。q qCxyaCOFNmga a(3)设圆柱体不满足在斜面上作纯滚动的条件设圆柱体不满足在斜面上作纯滚动

6、的条件设设圆圆柱柱体体沿沿斜斜面面滑滑动动的的动动摩摩擦擦系系数数为为f,则则滑滑动摩擦力动摩擦力于是于是圆圆柱柱体体在在斜斜面面上上既既滚滚动动又又滑滑动动,在在这这种种状状况况下下,aCraFdq qCxyaCOFNmga a综综合合题题5 半半径径为为r的的均均质质圆圆柱柱体体的的质质量量为为m,放放在在粗粗糙糙的的水水平平面面上上,如如图图所所示示。设设其其质质心心C初初速速度度为为v0,方方向向水水平平向向右右,同同时时圆圆柱柱体体绕绕图图示示方方向向转转动动,其其初初角角速速度度为为w0,且且有有rw0v0。假假如如动动摩摩擦擦系系数数为为f,问问经经过过多多少少时时间间,圆圆柱柱

7、体体才才能能只只滚滚不不滑滑地向前运动地向前运动,并求该瞬时圆柱体中心的速度。并求该瞬时圆柱体中心的速度。Cw w0v0Cw w0v0aCa amgFNFd解解:圆圆柱柱体体运运动动起起先先时时作作加加速速转转动动，但但质质心心却却在减速运动。分析受力和运动如图所示。在减速运动。分析受力和运动如图所示。由平面运动微分方程得由平面运动微分方程得Cw w0v0aCa amgFNFd由运动学条件得由运动学条件得求得滑动摩擦力求得滑动摩擦力代入另外两个微分方程得代入另外两个微分方程得Cw w0v0aCa amgFNFS圆柱体只滚不滑地向前运动时圆柱体只滚不滑地向前运动时v rw w例例8 行行星星齿齿

8、轮轮机机构构的的曲曲柄柄OO1受受力力矩矩M作作用用而而绕绕固固定定铅铅直直轴轴O转转动动,并并带带动动齿齿轮轮O1在在固固定定水水平平齿齿轮轮O上上滚滚动动,如如图图所所示示。设设曲曲柄柄OO1为为均均质质杆杆,长长为为l、质质量量为为m1；齿齿轮轮O1为为均均质质圆圆盘盘,半半径径r、质质量量为为m2。试试求求曲曲柄柄的的角角加加速速度度及及两两齿齿轮轮接接触触处处沿切线方向的力。沿切线方向的力。解解:以以曲曲柄柄为为探探讨讨对对象象,曲曲柄柄作作定定轴轴转转动动,列列出出定轴转动微分方程定轴转动微分方程 MO1Oa aFn1Ft1FnFtOO1M由运动学关系由运动学关系,有有联立求解联立

9、求解(1)(4),得得O1Fn1Ft1Ft2Fn2atana a1 1取齿轮取齿轮O1分析分析,齿轮齿轮O1作平面运动作平面运动MO1Oa aFn1Ft1FnFt例例9 均均质质杆杆质质量量为为m，长长为为l，在在铅铅直直平平面面内内一一端端沿沿着着水水平平地地面面、另另一一端端沿沿着着铅铅垂垂墙墙壁壁从从图图示示位位置置无无初初速速地地滑滑下下。不不计计摩摩擦擦，求求起起先先滑滑动动的的瞬时，地面和墙壁对杆的约束力。瞬时，地面和墙壁对杆的约束力。yBq qCAx解解:以杆以杆AB为探讨对象为探讨对象,分析受力。分析受力。yBq qCAxBq qCAFAFB杆杆作作平平面面运运动动,设设质质心

10、心C的的加加速速度为度为aCx、aCy,角加速度为角加速度为a。a aaCxaCy由刚体平面运动微分方程由刚体平面运动微分方程mg以点以点C为基点，则点为基点，则点A的加速度为的加速度为在运动开始时，在运动开始时，故故 ，将上式投影到将上式投影到 轴上，得轴上，得所以所以（4）运动学分析运动学分析再以点再以点C为基点，则点为基点，则点B的加速度为的加速度为同理，在运动开始时，同理，在运动开始时，故，故 ，将上，将上式投影到式投影到x轴上，得轴上，得所以所以（5）或者由直角坐标法求出或者由直角坐标法求出补充表达式补充表达式:运动开始时运动开始时,故故yBq qCAx联立求解联立求解(1)(5)式

11、式,并留意到并留意到可得可得yBq qCAx例例10 均均质质圆圆柱柱体体A和和B质质量量为为m,半半径径为为r。一一绳绳绕绕在在圆圆柱柱体体A上上,绳绳的的另另一一端端绕绕在在圆圆柱柱体体B上上。求求B下落时质心下落时质心C的加速度。（的加速度。（习题习题9-22）解解:取取圆圆柱柱体体A分分析析,受受力力如如图图。A作作定定轴轴转转动动,应应用用定定轴轴转转动动微分方程有微分方程有a aA AFTmgFOxFOyOA其中其中FTmga aB BCDBaC取取圆圆柱柱体体B分分析析,受受力力如如图图。B作作平平面面运运动动。应应用用平平面面运运动的微分方程有动的微分方程有留意到公式（）和（）

12、留意到公式（）和（）和和得得a aA AFTmgFOxFOyOAa aA ADaDtaDCtAOCBaCa aB B取取C为基点为基点,分析圆柱体分析圆柱体B上上D点的点的切向加速度切向加速度，向垂，向垂直方向投影直方向投影解得解得aC代入公式代入公式综综合合题题1 均均质质细细杆杆AB长长为为l，A端端铰铰接接，D点点用用铅铅直直绳绳DE将将杆杆保保持持在在水水安安静静止止状状态态,如如图图。欲欲使使绳绳断断开开时时铰铰链链A的的反反力力保保持持不不变变，悬悬挂挂点点D至至A端的距离端的距离d应为多大？应为多大？解解:细杆静止时受力如图。细杆静止时受力如图。d ABDEmgFAxFAyADC

13、BFDa aABC绳绳断断时时杆杆绕绕A轴轴作作定定轴轴转转动动,此此时时角角速速度度为为0。运运动动和和受受力力分分析析如如图图所所示示,由由定定轴轴转转动动微微分分方方程程得得:atC即即:再由质心运动定理可得再由质心运动定理可得:mgFAx1FAy1ACB令令其中其中得得即即得得a aABCatCmgFAx1FAy1ACB综合题综合题2 2 提升装置中，轮提升装置中，轮A、B的重量分别为的重量分别为P1、P2，半径分别为，半径分别为 r1、r2，可视为均质圆盘，可视为均质圆盘，物体物体C 的重量为的重量为P3，轮轮A上作用常力矩上作用常力矩M1。求物体求物体C上升的加速度。上升的加速度。

14、取轮取轮B 连同物体连同物体C 为探讨对象为探讨对象,接受动量矩定理接受动量矩定理 补充运动学条件补充运动学条件 解解:取轮取轮A 为探讨对象，为探讨对象，利用刚体定轴转动方程利用刚体定轴转动方程 化简化简(1)得：得：化简化简(2)得：得：O综综合合题题4 4 平平板板质质量量为为m1，受受水水平平力力F 作作用用而而沿沿水水平平面面运运动动，板板与与水水平平面面间间的的动动摩摩擦擦系系数数为为f，平平板板上上放放一一质质量量为为m2的的均均质质圆圆柱柱，它它相相对对平平板板只只滚动不滑动，滚动不滑动，求平板的加速度。求平板的加速度。解解:取圆柱分析取圆柱分析,建立如图坐标。建立如图坐标。于

15、是得于是得:FN1F1m2gaaOa axyFaCxyFN1F1FN2F2m1gFa取板分析取板分析Ca a综综合合题题6 均均质质细细杆杆AB的的质质量量为为m,长长为为l,其其A端端铰铰接接一一轻轻轮轮置置于于斜斜面面上上,如如图图。摩摩擦擦忽忽视视,当当AB处于铅直位置时静止释放处于铅直位置时静止释放,求求A点的初始加速度。点的初始加速度。解解:AB作平面运动作平面运动,取取A为基点求为基点求C点的加速度点的加速度aAaAABa tCAyx建建立立如如图图坐坐标标系系,将将质质心心加加速速度向度向x轴和轴和y轴上投影得轴上投影得:其中其中q qa nCACa aaAaAABa tCAyx分析分析AB受力受力,依据平面运动微分方程得依据平面运动微分方程得:由由(3)得得:代入代入(2)得得:代入代入(1)得得:q qmgFN