中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第四.ppt

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1、中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程测量平差第四 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为角，观测值分别为L1、L2和和L3。求此三角形各内角的。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数 、，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式（4-1-1）可得可得（4

2、-1-2）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则（令，则（4-1-2）式可写成如下形式：）式可写成如下形式：（4-1-3）式（式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数条件个数=观测值个数观测值个数”），每个条件方程中仅只），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾，单纯为消除

3、矛盾，、可有多组解，为此引可有多组解，为此引入最小二乘原则：入最小二乘原则：可求得唯一解。因可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：角形，引入最小二乘原则，要求：,设设观测值

4、为等精度独立观测，则有：观测值为等精度独立观测，则有：按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得并令等于零，可得代入误差方程式，得到观测值的最或然值代入误差方程式，得到观测值的最或然值 此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。差结果与具体平差方法无关。一般地，间接平差的函数模型为一般地，间接平差的函数模型为（4-1-4）平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般平差时，为了计

5、算方便和计算的数值稳定性，一般对参数都取近似值，令对参数都取近似值，令（4-1-5）代入（代入（4-1-4）式，并令）式，并令（4-1-6）（4-1-7）由此可得误差方程由此可得误差方程式中式中 为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数未知参数 视为非随机参数，不考虑其先验统计性视为非随机参数，不考虑其先验统计性质，根据（质，根据（4-1-5）式，可得平差后）式，可得平差后 ，由（，由（4-1-6）式可得）式可得 。间接平差的随机模型为间接平差的随机模型为（4-1-8）平差准则为平差准则为间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程间接平差就是在

6、最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数，在数学中是求多元函数的自由极值中的待定参数，在数学中是求多元函数的自由极值问题。问题。（4-1-9）一、间接平差一般原理一、间接平差一般原理设平差问题中有设平差问题中有n个观测值个观测值L，已知其协因数阵，已知其协因数阵 ，必要观测数为必要观测数为t，选定，选定t个独立参数个独立参数 ，其近似值为，其近似值为 ，观测值，观测值L与改正数与改正数V之和之和 ，称为观测量的，称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出平差值。按具体平差问题，可列出n个平差值方程为个平差值方程为（i=1，2，3，n）（4-1-10）令令则平差值方程的矩阵形式为则平差值方程的

7、矩阵形式为（4-1-11）令令（4-1-12）式中式中 为参数的充分近似值，于是可得误差方为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为程式为（4-1-13）按最小二乘原理，上式的必须满足的要求，因为按最小二乘原理，上式的必须满足的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得的方法，得转置后得转置后得（4-1-14）以上所得的（以上所得的（4-1-13）和（）和（4-1-14）式中的待求量）式中的待求量是是n个个V和和t个个 ，而方程个数也是，而方程个数也是n+t个，有唯一解，个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。称此两式为间接平差

8、的基础方程。解此基础方程，一般是将（解此基础方程，一般是将（4-1-13）式代入（）式代入（4-1-14）式，以便先消去）式，以便先消去V，得，得（4-1-15）令令上式可简写成上式可简写成（4-1-16）式中系数阵式中系数阵 为满秩矩阵，即为满秩矩阵，即 ,有唯一有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解之，得解，上式称为间接平差的法方程。解之，得（4-1-17）或或（4-1-18）将求出的将求出的 代入误差方程（代入误差方程（4-1-13），即可求得），即可求得改正数改正数V，从而平差结果为，从而平差结果为（4-1-19）特别地，当特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独为对角阵时，即观测值

9、之间相互独立，则法方程（立，则法方程（4-1-16）的纯量形式为）的纯量形式为（4-1-19）二、按间接平差法求平差值的计算步骤二、按间接平差法求平差值的计算步骤 5由误差方程计算由误差方程计算V，求出观测量平差值，求出观测量平差值 ；6.评定精度。评定精度。1根据平差问题的性质，选择根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；个独立量作为参数；2.将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程（4-1-13）；）；3由误差方程系数由误差方程系数B和自由项组成法方程（和

10、自由项组成法方程（4-1-16），法方程个数等于参数的个数），法方程个数等于参数的个数t；4.解算法方程，求出参数解算法方程，求出参数 ，计算参数的平差值，计算参数的平差值 ；例例4-1 在图在图4-1所示的水准网中，所示的水准网中，A、B、C为已知水为已知水准点，高差观测值及路线长度如下：准点，高差观测值及路线长度如下：h1=+1.003m，h2=+0.501m，h3=+0.503m，h4=+0.505m；S1=1km，S2=2km，S3=2km，S4=1km。已知。已知 HA=11.000m，HB=11.500m，HC=12.008m，试用，试用间接平差法求间接平差法求P1及及P2点的高程

11、平差值。点的高程平差值。令令2km观测为单位权观测，则观测为单位权观测，则 。解：解：1.按题意知必要观测数按题意知必要观测数t=2，选取，选取P1、P2两点高两点高程程 、为参数，取未知参数的近似值为为参数，取未知参数的近似值为2根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下如下代入具体数值，并将改正数以代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有为单位，则有可得可得B、P和和 矩阵如下矩阵如下3由误差方程系数由误差方程系数B和自由项组和自由项组 成法方程成法方程得得解得解得 5由误差方程计算，求出观测量平差值；由误差方程计算，求出观测量平差值；4

12、.解算法方程，求出参数解算法方程，求出参数 ，计算参数的平差值，计算参数的平差值:即即4-2 误差方程误差方程 一、确定待定参数的个数一、确定待定参数的个数 按间接平差法进行平差计算，第一步就是按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。为此，要确定平差问题中参列出误差方程。为此，要确定平差问题中参数的个数、参数的选择以及误差方程的建立数的个数、参数的选择以及误差方程的建立等。等。在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数，而且要求这个参数必须是独立的，这样才可的个数，而且要求这个参数必须是独立的，这样才可能将每个观测量表达成这个参数的

13、函数，而这种类型能将每个观测量表达成这个参数的函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。一个平的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。一个平差问题中，必要观测的个数取决于该问题本身的性质，差问题中，必要观测的个数取决于该问题本身的性质，与观测值的多少无关。现就常用的不同形式的控制网与观测值的多少无关。现就常用的不同形式的控制网介绍如下：介绍如下：（一）（一）水准网（三角高程网）水准网（三角高程网）水准网（三角高程网）平差的主要目的是确定网中未水准网（三角高程网）平差的主要目的是确定网中未知点的最或然高程。如果网中有高程已知的水准点，则知点的最或然高程。如果网中有高程已知的水准点，

14、则就等于待定点的个数；若无已知点，则等于全部点数减就等于待定点的个数；若无已知点，则等于全部点数减一，因为这一点的高程可以任意给定，以作为全网高程一，因为这一点的高程可以任意给定，以作为全网高程的基准，这并不影响网点高程之间的相对关系。的基准，这并不影响网点高程之间的相对关系。（二）（二）三角网三角网三角网平差的目的是要确定三角点在平面坐标系中的三角网平差的目的是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或是值，当网中有两个或两个以上已知点坐标，坐标最或是值，当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则

15、必要观测个数就等于总点个数的于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去两倍减去4。（三）（三）测边网（包括测边、边角同测、导线网）测边网（包括测边、边角同测、导线网）当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去3。（四）（四）GPS网网 当网中具有足够的起算数据时，则必要观当网中具有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于未知点个数的三倍再加上测个数就等于未知点个

16、数的三倍再加上WGS84坐标系向地方坐标转换选取转换参数坐标系向地方坐标转换选取转换参数的个数（有三参数、四参数、七参数等）；的个数（有三参数、四参数、七参数等）；当网中没有足够的起算数据时，则必要观测当网中没有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于总点数的三倍减去个数就等于总点数的三倍减去3。以上为各类型的标准情况，当加测已知方以上为各类型的标准情况，当加测已知方向、已知边长时，还要具体情况具体分析。向、已知边长时，还要具体情况具体分析。二、参数的选取二、参数的选取 在水准网中，常选取待定点高程作为参数，也可选在水准网中，常选取待定点高程作为参数，也可选取点间的高差作为参数，但要注意参数的独

17、立性。当取点间的高差作为参数，但要注意参数的独立性。当选取待定点高程作为参数时可以保证参数的独立性。选取待定点高程作为参数时可以保证参数的独立性。在图在图4-1中，可选取中，可选取P1、P2 点高程作为未知参数，也点高程作为未知参数，也可以选取可以选取1，2或或1，3高差平差值等作为参数，但不能高差平差值等作为参数，但不能选取例如选取例如1，4等高差平差值作为参数，因为，此时两等高差平差值作为参数，因为，此时两个参数间函数相关。个参数间函数相关。在平面控制网、在平面控制网、GPS网中选取未知点的二维坐标或网中选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数，可以保证参数之间的独立三维坐标作为未知参数

18、，可以保证参数之间的独立性，也可以选取观测值的平差值作为未知数，同样性，也可以选取观测值的平差值作为未知数，同样要注意参数之间的独立性。要注意参数之间的独立性。因此如上所述，采用间接平差，应该选定刚好因此如上所述，采用间接平差，应该选定刚好t个而又函数独立的一组量作为参数。至于应选择其个而又函数独立的一组量作为参数。至于应选择其中哪些量作为参数，则应按实际需要和是否便于计中哪些量作为参数，则应按实际需要和是否便于计算而定。算而定。三、误差方程的组成三、误差方程的组成 例例4-1 已就水准网说明了误差方程的组成方法，已就水准网说明了误差方程的组成方法，观测量的平差值是参数的线性函数，对于观测量的

19、平差值是参数的线性函数，对于GPS控制网，控制网，由于观测值为两点的坐标差，因此其误差方程也是线由于观测值为两点的坐标差，因此其误差方程也是线性的。而对于传统的平面控制网，其误差方程一般是性的。而对于传统的平面控制网，其误差方程一般是非线性的。现举例说明，观测量平差值与参数间为非非线性的。现举例说明，观测量平差值与参数间为非线性函数时组成误差方程的方法。线性函数时组成误差方程的方法。例如在图例如在图4-2中，不管选择怎样的一组参数，都将出中，不管选择怎样的一组参数，都将出现非线性形式的平差值方程。设以现非线性形式的平差值方程。设以D点坐标点坐标 和和 为参数，由图知，第为参数，由图知，第1个平

20、差值方程为个平差值方程为(4-2-1)式中，式中，,为已知点和的坐标。为已知点和的坐标。上式为非线性方程。上式为非线性方程。又如对图又如对图4-3测边交会图形来说，若选择待定点测边交会图形来说，若选择待定点D的坐标为参数，平差值为的坐标为参数，平差值为 、，由图可列出，由图可列出其中第其中第1个平差值方程为个平差值方程为(4-2-2)它们也是非线性函数关系。它们也是非线性函数关系。四、误差方程线性化四、误差方程线性化 取取 的充分近似值的充分近似值 ，是微小量，在按台劳公式是微小量，在按台劳公式展开时可以略去二次和二次以上的项，而只取至一次展开时可以略去二次和二次以上的项，而只取至一次项，于是

21、可对非线性平差值方程式线性化，将项，于是可对非线性平差值方程式线性化，将(4-2-3)按台劳公式展开得按台劳公式展开得(4-2-4)令令 ,(4-2-5)式中式中 为相应的函数的近似值，自由项为相应的函数的近似值，自由项 为观测值为观测值减去其近似值减去其近似值 。由此（。由此（4-2-4）式为）式为(4-2-6)需要指出，线性化的误差方程式是个近似式，因为它需要指出，线性化的误差方程式是个近似式，因为它略去了略去了 的二次以上的各项。当的二次以上的各项。当 很小时，略去高很小时，略去高次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能求得较为精确的参

22、数的近似值，即求得较为精确的参数的近似值，即 都很都很大，这样，平差值之间仍然会存在不符值。此时，就大，这样，平差值之间仍然会存在不符值。此时，就要把第一次平差结果作为参数的近似值再进行一次平要把第一次平差结果作为参数的近似值再进行一次平差。差。上面给出了非线性误差方程的线性化一般方法，应上面给出了非线性误差方程的线性化一般方法，应该说掌握一般方法，可以对一切非线性误差方程都可该说掌握一般方法，可以对一切非线性误差方程都可以线性化。下面结合常用的一些具体情况，来讨论相以线性化。下面结合常用的一些具体情况，来讨论相应误差方程的线性化问题，可以总结一些规律，便于应误差方程的线性化问题，可以总结一些

23、规律，便于实际应用。实际应用。1.测角网坐标平差的误差方程测角网坐标平差的误差方程 这里讨论测角网中选择待定点的坐标平差值为参数这里讨论测角网中选择待定点的坐标平差值为参数时，误差方程的线性化问题。先介绍坐标改正数与坐时，误差方程的线性化问题。先介绍坐标改正数与坐标方位角改正数之间的关系。标方位角改正数之间的关系。在图在图4-4中，中，j、k是两个待定点，它们的近似坐标是两个待定点，它们的近似坐标为为 。根据这些近似坐标可以计算。根据这些近似坐标可以计算j、k两两点间的近似坐标方位角点间的近似坐标方位角 和近似边长和近似边长 。设这两。设这两点的近似坐标改正数为点的近似坐标改正数为 ，即，即

24、由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正数为数为 ，即，即(4-2-7)现求坐标改正数现求坐标改正数 与坐标方位角改正数与坐标方位角改正数 之间的线性关系。之间的线性关系。根据图根据图4-4可以写出可以写出将上式右端按台劳公式展开，得将上式右端按台劳公式展开，得等式中右边第一项就是由近似坐标算得的近似坐标等式中右边第一项就是由近似坐标算得的近似坐标方位角方位角 ，对照（，对照（4-2-7）式可知）式可知(4-2-8)式中式中同理可得同理可得 将上列结果代入（将上列结果代入（4-2-8）式，并顾及全式的单位得）式，并顾及全式的单位得(4-2-9)或写成

25、或写成(4-2-10)上式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般上式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系式，称为坐标方位角改正数方程。其中关系式，称为坐标方位角改正数方程。其中 以以秒为单位。平差计算时，可按不同的情况灵活应用秒为单位。平差计算时，可按不同的情况灵活应用上式。例如：上式。例如：(1)若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐标方位角改正数间的关系式就是（标方位角改正数间的关系式就是（4-2-10）式。此）式。此时，时，与与 前的系数的绝对值相等；前的系数的绝对值相等；与与 前的系前的系数的绝对值也相等；数的绝对值也相等；（2）若测

26、站点）若测站点j为已知点，则为已知点，则 ，得，得（4-2-11）若照准点若照准点k为已知点，则为已知点，则 ，得，得（4-2-12）（3）若某边的两个端点均为已知点）若某边的两个端点均为已知点,则则 ，得，得，（4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系式也一样，这是因为它们与坐标改正数的关系式也一样，这是因为对照（对照（4-2-10）式，顾及）式，顾及 ，得得 。据此，实际计算时，只要对每条待。据此，实际计算时，只要对每条待定边计算一个坐标方位角改正数方程即可。定边计算一个坐标方位角改正数方程即可。对于角度观测值对于角度观测值 （图

27、（图4-5）来说，其观测方程为）来说，其观测方程为（4-2-13）然后根据这个角的三个端点然后根据这个角的三个端点j、h、k是已知点还是是已知点还是未知点而灵活运用（未知点而灵活运用（4-2-9）式，并以此代入（）式，并以此代入（4-2-15）式，即得线性化后的误差方程。例如，）式，即得线性化后的误差方程。例如，j、h、k点都是未知点时，（点都是未知点时，（4-2-15）式为）式为将代入，并令将代入，并令可得可得（4-2-14）（4-2-15）合并同类项最后可得合并同类项最后可得（4-2-15）上式即为线性化后的观测角度的误差方程式，可上式即为线性化后的观测角度的误差方程式，可以当作公式使用。

28、以当作公式使用。综上所述，对于角度观测的三角网，采用间接平综上所述，对于角度观测的三角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为参数时，列误差方程的步差，选择待定点的坐标为参数时，列误差方程的步骤为：骤为：计算各待定点的近似坐标计算各待定点的近似坐标 ；由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角定边的近似坐标方位角 和近似边长和近似边长 ；列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数；算其系数；按照（按照（4-2-16）、（）、（4-2-14）式列出误差方程。）式列出误差方程。2测边网坐标平差的误差

29、方程测边网坐标平差的误差方程下面讨论在测边网平差中，选择待定点的坐标为参下面讨论在测边网平差中，选择待定点的坐标为参数时的误差方程的线性化问题。数时的误差方程的线性化问题。先讨论一般情况。在图先讨论一般情况。在图4-6中，测得待定点间的边长中，测得待定点间的边长 ，设待定点的坐标平差值，设待定点的坐标平差值 、和和 为参数，令为参数，令由图由图4-6可写出可写出 的平差值方程为的平差值方程为（4-2-17）按台劳公式展开，得按台劳公式展开，得（4-2-18）式中式中式中右边前式中右边前4项之和是由坐标改正数引起的边长项之和是由坐标改正数引起的边长改正数。改正数。再令再令（4-2-19）则由（则

30、由（4-2-18）式可得测边的误差方程为）式可得测边的误差方程为（4-2-20）(4-2-20)式就是测边坐标平差误差方程式的一般式就是测边坐标平差误差方程式的一般形式，它是在假设两端点都是待定点的情况下导出形式，它是在假设两端点都是待定点的情况下导出的。具体计算时，可按不同情况灵活运用。的。具体计算时，可按不同情况灵活运用。若某边的两端点均为待定点，则（若某边的两端点均为待定点，则（4-2-20）式就是该观测边的误差方程。式中，式就是该观测边的误差方程。式中，与与 的系的系数的绝对值相等，数的绝对值相等，与与 的系数的绝对值也相的系数的绝对值也相等。常数项等于该边的观测值减其近似值。等。常数

31、项等于该边的观测值减其近似值。若若j为已知点，则为已知点，则 ，得，得（4-2-21）若若k为已知点，则为已知点，则 ，得，得（4-2-22）若若j、k均为已知点，则该边为固定边（不观测），故对均为已知点，则该边为固定边（不观测），故对该边不需要列误差方程。该边不需要列误差方程。某边的误差方程，按某边的误差方程，按jk向列立或按向列立或按kj向列立的结果向列立的结果相同。相同。3导线网坐标平差的误差方程导线网坐标平差的误差方程在导线网中，有两类观测值，即边长观测值和角度观测在导线网中，有两类观测值，即边长观测值和角度观测值，所以导线网也是一种边角同测网。导线网中角度观值，所以导线网也是一种边角

32、同测网。导线网中角度观测值的误差方程，其组成与测角网坐标平差的误差方程测值的误差方程，其组成与测角网坐标平差的误差方程相同，边长观测的误差方程，其组成与测边网坐标平差相同，边长观测的误差方程，其组成与测边网坐标平差的误差方程相同，因此导线网中观测值的误差方程列立的误差方程相同，因此导线网中观测值的误差方程列立与上述测角、测边网相同。在导线网中有边、角两类观与上述测角、测边网相同。在导线网中有边、角两类观测值，确定两类观测值的权的配比问题是平差中的重要测值，确定两类观测值的权的配比问题是平差中的重要环节。环节。设先验单位权方差为设先验单位权方差为 ，测角中误差为，测角中误差为 ，测，测边中误差为

33、边中误差为 ，则定权公式为，则定权公式为（4-2-23）当角度为等精度观测时当角度为等精度观测时 。定权时一般令定权时一般令 ，即以测角中误差为导线网，即以测角中误差为导线网平差中的单位权观测值中误差，由此即得平差中的单位权观测值中误差，由此即得（4-2-23）为了确定边、角观测的权比为了确定边、角观测的权比,必须已知必须已知 和和 ,一般平差前是无法精确知道的，所以采用按经验定一般平差前是无法精确知道的，所以采用按经验定权的方法，即权的方法，即 和和 采用厂方给定的测角、测距采用厂方给定的测角、测距仪器的标称精度或者是经验数据。仪器的标称精度或者是经验数据。在边角同测网中，权比是有单位的，如

34、（在边角同测网中，权比是有单位的，如（4-2-24）式中式中 无量纲（即单位为无量纲（即单位为1），而边长的权，其），而边长的权，其单位为单位为 。在这种情况下，角度的改正数。在这种情况下，角度的改正数 要要取秒为单位，而边长改正数取秒为单位，而边长改正数 则要取厘米为单位则要取厘米为单位,此时的此时的 与与 单位才能一致。这一点在不同单位才能一致。这一点在不同类型观测联合平差时应予以注意。下面以一个边角网类型观测联合平差时应予以注意。下面以一个边角网为例，说明观测角、观测边误差方程式的列立，以及为例，说明观测角、观测边误差方程式的列立，以及两类观测值的定权方法等。两类观测值的定权方法等。例例

35、4-3 如图如图4-7所示，所示，A、B、C为已知点，为已知点，P1、P2是是待定点。同精度观测了六个角度待定点。同精度观测了六个角度L1、L2、L6，测，测角中误差为角中误差为2.5，测量了四条边长，测量了四条边长S7、S8、S9、S10，观测结果及其中误差见表，观测结果及其中误差见表4-2。起算数据见表。起算数据见表4-1。试按间接平差法求待定点试按间接平差法求待定点P1及及P2的坐标平差值。的坐标平差值。点名点名x(m)Y(m)S(m)坐坐标标方位角方位角（）ABCD3143.2374609.3614157.1973822.9115260.3345025.6968853.2549795.

36、7261484.7811000.000350 54 27.0109 31 44.9表表4-1角度角度边长边长编编号号观测值观测值（）编编号号观测值观测值（）编编号号观测值观测值s（m）中中误误差差(cm)123444 05 44.893 10 43.142 43 27.2201 48 51.256201 57 34.0168 01 45.2789102185.0701522.8531500.0171009.0213.32.32.21.5表表4-2 均以均以m为单位，而为单位，而 、因其数值较小，采用因其数值较小，采用解解:本题，即有本题，即有10个误差方程，其中有个误差方程，其中有6个角度误差

37、个角度误差方程，方程，4个边长误差方程。必要观测数个边长误差方程。必要观测数 。现取待定点坐标平差值为参数，现取待定点坐标平差值为参数，即即 计算待定点近似坐标计算待定点近似坐标各点近似坐标按坐标增量计算，结果见表各点近似坐标按坐标增量计算，结果见表4-3。由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角近似坐标方位角 和近似边长和近似边长 （见表（见表4-4）。）。计算坐标方位角改正数方程的系数。计算时计算坐标方位角改正数方程的系数。计算时 ,观测观测角角坐坐标标方位角方位角观测边长观测边长点点名名近似坐近似坐标标ABP1DCP293 10 43

38、.1168 01 45.2350 54 27.077 43 43.9109 31 44.9301 29 59.71522.8531009.0213143.2374609.3614933.0253822.9114157.1974684.4085260.3345025.6966513.7569795.7268853.2547792.921表表4-3方向近似坐标方位角近似坐标方位角近似近似边长边长 （m）AP1BP1P1 P2P2C35 00 15.477 43 43.999 32 27.8121 29 59.72185.0421522.8531499.9131009.021表表4-4表表4-5表表

39、4-6表表4-7 法方程的组成和解算法方程的组成和解算由表由表4-7取得误差方程的系数项取得误差方程的系数项B、常数项、常数项L，组，组成法方程的系数项成法方程的系数项 、常数项、常数项 ，可得法方，可得法方程为程为系数阵系数阵 的逆阵为的逆阵为由由 算得参数改正数算得参数改正数 ：（cm）平差值计算平差值计算坐标平差值坐标平差值 从而得平差值为从而得平差值为 ，如下表，如下表4-8观测值的平差值根据公式观测值的平差值根据公式得各改正数为得各改正数为编号观测值平差值角144 05 44.844 05 44.5293 10 43.193 10 47.3342 43 27.242 43 28.34

40、201 48 51.2201 48 49.95201 57 34.0201 57 32.76168 01 45.2168 01 42.6边72185.0702185.04281522.8531522.82591500.0171499.981101009.0211009.002表表4-84-3 精度评定精度评定 一、单位权中误差一、单位权中误差 间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两法但它们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两法的平差结果总是相等的，这是因为在满足的平差结果总是相等的，这是因为在满足 条件

41、下的条件下的V是唯一确定的，故平差值是唯一确定的，故平差值 不因方不因方法不同而异。法不同而异。单位权方差单位权方差 的估值的估值 ，计算式仍然是，计算式仍然是 除除以其自由度，即以其自由度，即（4-3-1）顾及顾及得得考虑到考虑到得得（4-3-3）中误差为中误差为（4-3-2）计算计算 可以将误差方程代入后计算，可以将误差方程代入后计算，即即二、协因数阵二、协因数阵在间接平差中，基本向量为在间接平差中，基本向量为 ，,V和和 。已知。已知 ,根据前面的定义和有关说明知，根据前面的定义和有关说明知，故，故 ，。下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量间的下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量

42、间的互协因数阵。互协因数阵。设设 ，则，则Z的协因数阵为的协因数阵为式中对角线上子矩阵，就是各基本向量的自协因数阵，式中对角线上子矩阵，就是各基本向量的自协因数阵，非对角线上子矩阵为两两向量间的互协因数阵。非对角线上子矩阵为两两向量间的互协因数阵。现分别推求如下。其基本思想是把各量表达成协因现分别推求如下。其基本思想是把各量表达成协因数已知量的函数，上述各量的关系式已知为数已知量的函数，上述各量的关系式已知为（4-3-4）（4-3-5）（4-3-6）（4-3-7）由前三个式子，按协因数传播定律容易得出由前三个式子，按协因数传播定律容易得出再计算与再计算与(4-3-7)式有关的协因数阵式有关的协

43、因数阵,得得将以上导得的全部协因数阵列于表将以上导得的全部协因数阵列于表4-9，以供查阅，以供查阅 0000间接平差协因数阵间接平差协因数阵 表表4-9 由表由表4-9可知，平差值可知，平差值 、与改正数与改正数V的互协因数阵的互协因数阵为零，说明为零，说明 与与V，与与V统计不相关，这是一个很统计不相关，这是一个很重要的结果。重要的结果。三、参数函数中的误差三、参数函数中的误差在间接平差中，解算法方程后首先求得的是在间接平差中，解算法方程后首先求得的是t个参数。个参数。有了这些参数，便可根据它们来计算该平差问题中任一有了这些参数，便可根据它们来计算该平差问题中任一量的平差值（最或然值）。如在

44、图量的平差值（最或然值）。如在图4-8所示的水准网中，所示的水准网中，已知已知A点的高程为点的高程为HA。若平差时选定。若平差时选定AP1、AP2、P3P1等三条路线高差的平差值作为参数等三条路线高差的平差值作为参数 、，则在平，则在平差后，不但求得了参数，即差后，不但求得了参数，即AP1、AP2及及P3P1等三条路等三条路线高差的平差值，而且可以根据它们求出其它各观测高线高差的平差值，而且可以根据它们求出其它各观测高差或待定点高程的平差值。差或待定点高程的平差值。例如，例如，P3P2路线路线高差的平差值为高差的平差值为 P3点的高程平差值为点的高程平差值为又如在图又如在图42中，求得中，求得

45、D点坐标平差值点坐标平差值 和和 后，后，即要计算任何一边的边长或坐标方位角的平差值。即要计算任何一边的边长或坐标方位角的平差值。如如AD间边长平差值为间边长平差值为坐标方位角的平差值为坐标方位角的平差值为 通过以上举例可知，在间接平差中，任何一个量的通过以上举例可知，在间接平差中，任何一个量的平差值都可以由平差所选参数求得，或者说都可以表平差值都可以由平差所选参数求得，或者说都可以表达为参数的函数。下面从一般情况来讨论如何求参数达为参数的函数。下面从一般情况来讨论如何求参数函数的中误差的问题。函数的中误差的问题。假定间接平差问题中有假定间接平差问题中有t个参数，设参数的函数为个参数，设参数的

46、函数为（4-3-8）将将 代入上式后，按台劳公代入上式后，按台劳公式展开，取至一次项，得式展开，取至一次项，得 式中，式中，是参数函数的近似值，当是参数函数的近似值，当近似值一经取定，它是一个已知的系近似值一经取定，它是一个已知的系 令令由此，上式可以写成由此，上式可以写成（4-3-9）或或（4-3-10）对于评定函数的精度而言，给出或是一样的。通常对于评定函数的精度而言，给出或是一样的。通常把（把（4-3-10）式称为参数函数的权函数式，简称权）式称为参数函数的权函数式，简称权函数式。函数式。令令 ，则（，则（4-3-10）式为）式为由表由表4-9查得查得 ，故函数，故函数 的协因数为的协因

47、数为（4-3-12）（4-3-11）一般，设有函数向量一般，设有函数向量 的权函数式为的权函数式为即用来计算即用来计算m个函数的精度，其协因数阵为个函数的精度，其协因数阵为（4-3-13）（4-3-14）是参数向量是参数向量 的协因数阵，即的协因数阵，即其中对角线元素其中对角线元素 是参数是参数 的协因数，故的协因数，故 的的中误差为中误差为(4-3-13)式的函数式的函数 的协方差阵为的协方差阵为（4-3-15）（4-3-16）例例4-4 在图在图4-9中，中，A、B为已知水准点，高程为为已知水准点，高程为HA、HB，设为无误差，各观测的路线长度分别为，设为无误差，各观测的路线长度分别为S1

48、=4km,S2=2km,S3=2km,S4=4km.试求试求P1和和P2点平差高程的协因数。点平差高程的协因数。解：平差的参数选取解：平差的参数选取P1和和P2点高程，设点高程，设 为为 和和 ，按图组成误差方程为，按图组成误差方程为 定权时令定权时令C4，即以，即以4 km观测高差为单位权观测值，观测高差为单位权观测值，因观测值相互独立，故因观测值相互独立，故 ，相关协因数，相关协因数 ，由此得法方程为，由此得法方程为因为因为 ，故有，故有平差后平差后P1、P2点高程的协因数分别为点高程的协因数分别为 与与 的协因数则为的协因数则为例例4-5 对固定角内插点的平差问题（图对固定角内插点的平差

49、问题（图4-2），设），设平差后求得参数及观测量的平差值平差后求得参数及观测量的平差值 、，现要求，现要求平差后平差后D点坐标、点坐标、边的坐标方位角和边长的协因边的坐标方位角和边长的协因数及其中误差。数及其中误差。解：解：（1）列出）列出 边坐标方位角边坐标方位角 的权函数式。已知的权函数式。已知式中（式中（）为）为A点已知坐标，对函数全微分得点已知坐标，对函数全微分得权函数式为权函数式为式中式中 的单位为秒（的单位为秒（），），、的单位为分米的单位为分米（dm）。将具体数据代入，即得其权函数式为）。将具体数据代入，即得其权函数式为顺便指出，上式实际上就是顺便指出，上式实际上就是DA边坐标方

50、位角的改边坐标方位角的改正数方程。由此可知，列误差方程时所用的坐标方正数方程。由此可知，列误差方程时所用的坐标方位角改正数方程，可以直接用来作为坐标方位角的位角改正数方程，可以直接用来作为坐标方位角的权函数式。权函数式。（2）列出边长）列出边长 的权函数式。已知的权函数式。已知对函数进行全微分，得对函数进行全微分，得式中式中 的单位为的单位为m，、的单位为的单位为dm。将。将具体数据代入上式，得边长具体数据代入上式，得边长 的权函数式为的权函数式为（3）计算协因数）计算协因数综合以上两个权函数式，写成矩阵形式为综合以上两个权函数式，写成矩阵形式为按协因数转播定律得按协因数转播定律得设平差后的法