激光物理5-6.1-密度矩阵优秀PPT.ppt

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1、推导激光的电磁场方程，又称兰姆自洽场方程推导激光的电磁场方程，又称兰姆自洽场方程求解兰姆方程，必需知道介质的宏观极化强度。求解兰姆方程，必需知道介质的宏观极化强度。由于工作物质是由大量的、处于不同运动状态由于工作物质是由大量的、处于不同运动状态前粒子所组成所以在求宏观极化强度时，要前粒子所组成所以在求宏观极化强度时，要接受量子统计中的密度矩阵方法。接受量子统计中的密度矩阵方法。5、6章给出密度矩阵的定义、性质及运动方程，章给出密度矩阵的定义、性质及运动方程，并给出二能级系统的密度矩阵及其同介质宏观并给出二能级系统的密度矩阵及其同介质宏观极化强度之间的关系。极化强度之间的关系。5.1 量子力学的

2、基本概念若矢量波函数若矢量波函数 是二维的是二维的,则右矢表示为则右矢表示为(5.1.1)是矢量空间的一组基矢是矢量空间的一组基矢,左矢表示为左矢表示为(5.1.2)定义:(5.1.3)算符算符A作用于波矢作用于波矢 的结果为的结果为(5.1.5)本征波矢本征波矢 满足完备正交归一化条件满足完备正交归一化条件;当运用该组当运用该组本征波矢本征波矢 作为基矢时，波函数按基矢绽开作为基矢时，波函数按基矢绽开(5.1.8)(5.1.9)归一化条件归一化条件(5.1.13)本征值本征值an的的几率为几率为(5.1.12)(5.1.15)则测量平则测量平均值均值)5.2 电偶极矩近似量子力学中的电偶极矩

3、算符为量子力学中的电偶极矩算符为5.2.1 量子电偶极矩量子电偶极矩（）若外界的扰动使电子处在两个能量本征态若外界的扰动使电子处在两个能量本征态 的的叠加态，那么原子的波矢可以表示为叠加态，那么原子的波矢可以表示为(5.2.4)若考虑若考虑z方向的线偏振光与物质相互作用时方向的线偏振光与物质相互作用时电偶极矩的期盼值为电偶极矩的期盼值为(5.2.5)留意能级波函数具有奇偶性留意能级波函数具有奇偶性,留意固有偶留意固有偶极矩的矩阵元为零及极矩的矩阵元为零及得到若适当选取若适当选取ua和和ub的相位，使的相位，使Dab为实数，这样为实数，这样就有就有Dab=D*ba=D。将此结果代入式（将此结果代

4、入式（5.2.7)，得到得到(5.2.8)(5.2.7)式中式中 原子在原子在a、b能级间的跃迁频率；而能级间的跃迁频率；而(5.2.6)5.2.2 电偶极矩近似电偶极矩近似当外场与原子相互作用时，原子系统的哈密顿算当外场与原子相互作用时，原子系统的哈密顿算符将发生变更。为符将发生变更。为(5.2.10)（）（）其中：（）（）5.4、单色场对有衰减的 二能级原子系统的作用原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间可能原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间可能存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量衰减。波函存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量衰减。波函数数其中：其中：原子的哈密顿算符原子的哈密顿算

5、符衰减算符衰减算符 满足满足将将 及哈密顿算符及哈密顿算符H的表达式代入到薛定谔的表达式代入到薛定谔方程中，得到二能级原子系统的薛定谔方程方程中，得到二能级原子系统的薛定谔方程）5.5 5.5 拉比强信号解拉比强信号解令令a=b=）将（将（5.5.3）两端微分，有）两端微分，有将（将（5.5.2）（）（5.5.4）、（）、（5.5.5）代入，有）代入，有）一个二阶常数系数齐次微分方程，它有一个二阶常数系数齐次微分方程，它有eit这种形式的这种形式的 解。令解。令（5.5.4）（5.5.6）以及上式代入（）以及上式代入（5.5.2），），得到得到其解为：其解为：将将（5.5.4）（5.5.5）、

6、（5.5.6）代代 入入（5.5.3），有），有其解为其解为）可将Ca0(t)与Cbo(t)的通解表示为：假定初始时刻原子处于假定初始时刻原子处于b态态得到）A与B的 解为：）其中：）初始时刻原子处于下能态初始时刻原子处于下能态b态，在辐射场的作用下，态，在辐射场的作用下，t时刻已跃迁到上能态时刻已跃迁到上能态a能态的几率为：能态的几率为：）这就是拉比强信号解的结果这就是拉比强信号解的结果）跃迁几率的变更将包括在跃迁几率的变更将包括在exp(-t)指数衰减曲指数衰减曲线包络内。如图（线包络内。如图（5-4）无阻尼的状况无阻尼的状况在强信号作用下，初始时刻处于在强信号作用下，初始时刻处于b态的原

7、子，态的原子，跃迁到跃迁到b能态的几率是等幅周期性变更的。能态的几率是等幅周期性变更的。如图（如图（5-3）拉比频率拉比频率强信号下的线性函数强信号下的线性函数线宽线宽功率加宽功率加宽）第6章 密度矩阵与自洽场理论每一个原子可看做一个系统，大量全同系统组成每一个原子可看做一个系统，大量全同系统组成一个系综。一个系综。纯粹系综：系综内的系统处于用波函数纯粹系综：系综内的系统处于用波函数 所描述所描述的相同的微观态。的相同的微观态。混合系综：系综内的系统不是处于相同的微观态。混合系综：系综内的系统不是处于相同的微观态。对于纯粹系综，力学量对于纯粹系综，力学量A的平均值为：的平均值为：量子统计系综和

8、力学量的平均值(5.1.5)6.1.密度算符与密度矩阵6.1.1 6.1.1 算符的矩阵表达式算符的矩阵表达式量子力学中量子力学中,系统的状态是用态矢系统的状态是用态矢 描述的描述的;进行某一物理量的测量进行某一物理量的测量,就是用相应的算符作用在就是用相应的算符作用在态矢上。态矢上。在量子力学中可以选取不同的表象。在量子力学中可以选取不同的表象。选择一种表象选择一种表象,意味着在矢量空间中选取一组满足意味着在矢量空间中选取一组满足正交归一化条件以及完备性的基矢正交归一化条件以及完备性的基矢 ,该组基矢该组基矢可以是分立的可以是分立的,也可以是连续的。也可以是连续的。在该组基矢下在该组基矢下,

9、表示系统量子状态的态矢以及作用表示系统量子状态的态矢以及作用在态矢上的算符在态矢上的算符,都可以用一组数量表示都可以用一组数量表示,即用矩阵即用矩阵表示。表示。假设所选择的基矢用假设所选择的基矢用|ui|ui(i,j=1,2,.)(i,j=1,2,.)表表示示,它是分立的它是分立的,其所满足的正交性及完备性其所满足的正交性及完备性为为将将 (t)向基矢向基矢ui绽开，则绽开，则(6.1.3)(6.1.2)绽开系数绽开系数Ci(t)，相当于态矢在，相当于态矢在|ui上的投影上的投影,(6.1.4)力学量力学量A的平均值为的平均值为(6.1.6)(6.1.7)称称Aij为算符为算符A在表象中的矩阵

10、元素。在表象中的矩阵元素。对于共轭算符对于共轭算符A+,其矩阵元其矩阵元Aij+为为(6.1.8)当一个算符是厄米算符当一个算符是厄米算符(其本征值是实数其本征值是实数)时时,其对应的矩阵为厄米矩阵其对应的矩阵为厄米矩阵,即有即有:(6.1.9)厄米算符的矩阵表达式中，对角元为实数，厄米算符的矩阵表达式中，对角元为实数，而以对角线为对称的两个元素互为共轭复数。而以对角线为对称的两个元素互为共轭复数。6.1.2 密度矩阵密度矩阵纯态，定义密度算符纯态，定义密度算符为为称为密度矩阵称为密度矩阵,有上式可得到有上式可得到(6.1.12)密度矩阵的矩阵元密度矩阵的矩阵元算符算符A的期盼值可表示为：的期

11、盼值可表示为：(6.1.11)密度矩阵的性质（1 1）密度矩阵）密度矩阵）密度矩阵）密度矩阵 是厄米的是厄米的是厄米的是厄米的（2 2）纯态的状况下）纯态的状况下）纯态的状况下）纯态的状况下,密度矩阵密度矩阵密度矩阵密度矩阵 的对角元之和的对角元之和的对角元之和的对角元之和=1=1（3 3）纯态的状况下）纯态的状况下）纯态的状况下）纯态的状况下,密度矩阵密度矩阵密度矩阵密度矩阵 是等幂的是等幂的是等幂的是等幂的（4）、一个视察量的系综平均值为矩阵(P)或(P)的迹,即纯态的状况下该结论可推广到随意次幂纯态的状况下该结论可推广到随意次幂同时也有同时也有(5)在表象间是么正变换的条件下,密度矩阵的

12、迹和视察量的系综平均值并不变更 设设S为从为从“L”表象到表象到“M”表象的变换矩阵，则表象的变换矩阵，则 6.1.3 统计混合状态下密度矩阵算符的推广设系综由设系综由N个相同的量子力学系统所组成，其个相同的量子力学系统所组成，其中有中有N1，N2，Nm个系统处在个系统处在 态，态，且且N1+N2+Nm=N,pk=Nk/N为为 出现的几率。出现的几率。对与随意的子状态对与随意的子状态 ,令其密度矩阵令其密度矩阵k为为其归一化条件为其归一化条件为(6.1.28)力学量力学量A的平均值为：的平均值为：定义统计混合状态的密度算符定义统计混合状态的密度算符为：为：(6.1.27)统计混合状态下的密度矩

13、阵与纯态下的密度统计混合状态下的密度矩阵与纯态下的密度矩阵的区分在于矩阵的区分在于,密度矩阵密度矩阵 是不等幂的是不等幂的,而且而且满足满足:6.1.4 密度矩阵元的意义（1）密度矩阵）密度矩阵 的对角元素具有几率的意义的对角元素具有几率的意义 表示第表示第k个子状态的粒子处于个子状态的粒子处于|ui i 态的几态的几率，率，ii表示系综的粒子处在表示系综的粒子处在|ui态的总几率态的总几率.若若单位体积内粒子数为单位体积内粒子数为N,那么那么N ii代表了处在代表了处在|ui态上粒子数密度态上粒子数密度非对角元通常被认为是系综各本征态间相干非对角元通常被认为是系综各本征态间相干性的表现。性的

14、表现。(2)密度矩阵非对角元的意义 不仅取决于密度矩阵的对角元不仅取决于密度矩阵的对角元,而且还取而且还取决于非对角元决于非对角元.各本征态|ui中相应的平均值|ui与|uj之间的干涉效应对平均值的贡献6.2 密度矩阵的运动方程 密度矩阵的运动方程表示密度矩阵密度矩阵的运动方程表示密度矩阵 随时间随时间的变更关系。与时间有关的薛定谔方程为的变更关系。与时间有关的薛定谔方程为 设“L”表象中基矢为un(x)，令左乘u*l(x)，对整个空间积分，有：(a)(b)对上式时间微分对上式时间微分同理并利用同理并利用H的厄米性，的厄米性，H*mn=Hnm，密度矩阵的运动方程密度矩阵的运动方程:二能级原子系

15、综的密度矩阵(静止原子情形)探讨二能级原子系综的密度矩阵及其运动方探讨二能级原子系综的密度矩阵及其运动方程的具体形式。激光有关的能级主要有两个。程的具体形式。激光有关的能级主要有两个。探讨静止原子情形。探讨静止原子情形。1.孤立原子系统的状态 设二能级原子的两个能级的能量本征值分别为设二能级原子的两个能级的能量本征值分别为Ea和和Eb，相应的本征函数为，相应的本征函数为ua和和ub,则孤立原子系统的状则孤立原子系统的状态可用如下的波函数表示态可用如下的波函数表示 其中：其中：原子的哈原子的哈密顿算符密顿算符2、存在损耗原子系统的状态原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间原子总存在自发辐射，其

16、它能级对两能级之间可能存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量可能存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量衰减。波函数衰减。波函数其中：其中：原子的哈密顿算符原子的哈密顿算符衰减算符衰减算符 满足满足3、外场作用下原子的态其中其中H1是描述原子与辐射场相互作用的哈密是描述原子与辐射场相互作用的哈密顿算符，此时顿算符，此时H与时间有关。与时间有关。原子的哈密顿算符原子的哈密顿算符左乘 ，对整个空间积分，有：这是二能级原子系统在外场作用下几率振幅这是二能级原子系统在外场作用下几率振幅随时间的变更方程。随时间的变更方程。知知 ，可确定，可确定Ca(t)和和Bb(t)，即可得，即可得同理，左乘同理，左乘 ，对

17、整个空间积分，有：对整个空间积分，有：(c2)(c1)4、关于假设电场和原子的相互作用取偶极近似，那假设电场和原子的相互作用取偶极近似，那么么 就是电偶极子在外场中的能量就是电偶极子在外场中的能量 P为原子的电偶极矩。标量近似为原子的电偶极矩。标量近似.。原子原子线度线度d，可以认为在原子体积中，可以认为在原子体积中E是常数。于是常数。于是式是式(c)中各微扰能的矩阵元为：中各微扰能的矩阵元为：Daa、Dbb、Dab、Dba电偶极矩矩阵元（固有、感生）r是奇宇称算符，假如是奇宇称算符，假如a态和态和b态都具有确定的宇称，态都具有确定的宇称，必定有必定有Daa=Dbb=0，另外，从式另外，从式(

18、5.2.9）的积分看出，）的积分看出，Dab=D*ba。因为。因为波函数可以相差一个相位因子，若适当选取波函数可以相差一个相位因子，若适当选取ua和和ub的相位，使的相位，使Dab为实数，这样就有为实数，这样就有Dab=D*ba。所。所以以Vab=Vba=-EDab=-EDba=-ED。式。式(c）可写成）可写成(）(）5.二能级原子系综的密度矩阵 为了将上述方程表示成密度矩阵的形式，可做如下为了将上述方程表示成密度矩阵的形式，可做如下变换：以变换：以Ca*右乘式右乘式(6.2.13a)，然后减去以，然后减去以Ca左乘式左乘式(6.2.13a)的复数共辄式，得到的复数共辄式，得到 Cb*右乘式

19、右乘式(6.2.13b)-Cb左乘式左乘式(6.2.13b)的复数共辄的复数共辄式，式，(d1)(d2)以上（以上（d1d3)是单个原子几率振幅随时间变是单个原子几率振幅随时间变更所满足的方程更所满足的方程Cb*右乘式右乘式(6.2.13a)-Ca左乘式左乘式(6.2.13b)的复数共辄的复数共辄式，式，(d3)(d4)又又考虑统计混合系综时考虑统计混合系综时,为求得整个系综的宏观为求得整个系综的宏观统计行为统计行为,可对式可对式(d1）(d2）中的各项取系）中的各项取系综平均值，即用综平均值，即用按密度矩阵定义，可将二能级结构的原子系按密度矩阵定义，可将二能级结构的原子系综的密度矩阵写成综的

20、密度矩阵写成(6.1.11),(6.1.31),(6.1.32)(6.2.16)式中式中 0原子在原子在a、b能级间的跃迁频率；能级间的跃迁频率；ab两个能级的平均衰减率。两个能级的平均衰减率。(6.2.17)6、有激发时的密度矩阵可写成矩可写成矩阵方程阵方程(6.2.20)考虑当原子系综在外界激励作用下，它们的考虑当原子系综在外界激励作用下，它们的密度矩阵随时间的变更规律。密度矩阵随时间的变更规律。(6.2.7)(6.2.16a)a(t0)dt0是单位体积中，在时间间隔是单位体积中，在时间间隔(t0，t0+dt0)内激发到内激发到a态的平均原子数，定义态的平均原子数，定义(a,t)代表代表t

21、时刻被激发到时刻被激发到a态的单位体积的粒子数矩阵或态的单位体积的粒子数矩阵或称为集居数矩阵称为集居数矩阵(e1)t0时刻原子处于时刻原子处于a态以后，态以后，t时刻（不存在激发时刻（不存在激发)的的密度矩阵，它遵从运动方程密度矩阵，它遵从运动方程(）。初始条件为）。初始条件为(e2)两端对时间求导两端对时间求导用运动方程式用运动方程式(6.2.16)代入，有代入，有(e3)(e4)H、提出积分提出积分号外号外同样可以导出在有外界激励的状况下系综处同样可以导出在有外界激励的状况下系综处于状态于状态b的集居数矩阵的集居数矩阵(e5)(e6)由于在外界激励作用下，原子可分别被激发由于在外界激励作用

22、下，原子可分别被激发到二能级的任一能级之上，因此描述系综的到二能级的任一能级之上，因此描述系综的总的集居数矩阵应表为两种能级状态的集居总的集居数矩阵应表为两种能级状态的集居数矩阵的线性叠加数矩阵的线性叠加(e7)(e8)将式（将式（6.2.21）具体写出来，就是）具体写出来，就是(6.2.21)(6.2.19)其中其中代表激发矩阵代表激发矩阵式（式（e5）+式（式（e6)，可得总的集居数矩阵的，可得总的集居数矩阵的运动方程为运动方程为(6.2.18)(6.2.18)在单位时间内，由于外界激发而使得上能级的原子数得增加率（a），由于自发辐射或其它弛豫过程使该能级上得原子数目得衰减（-aaa），以

23、及由于受激辐射而使得上能级数目的削减能级a的原子数随时间的变更来源于密度矩阵元运动方程可以用微扰迭代法求解密度矩阵元运动方程可以用微扰迭代法求解.若原子初始处在上能级上若原子初始处在上能级上,则有则有(6.2.22)代入代入(6.2.18)中中ab运动方程得一阶近似运动方程得一阶近似将将 代入代入(6.2.18)中中aa、aa运动方程得二阶运动方程得二阶近似近似以此类推，可以得到以此类推，可以得到(6.2.23)2.4 二能级原子系综的密度矩阵（运动原子情形）静止原于的密度矩阵一般只适用于固态工作物质。静止原于的密度矩阵一般只适用于固态工作物质。本节讨抡二能级运动原子酌密度矩阵，其结论可以本节

24、讨抡二能级运动原子酌密度矩阵，其结论可以用于气体工作物质。用于气体工作物质。必需留意运动原子的速度分布和位置变更所带来的必需留意运动原子的速度分布和位置变更所带来的困难性。困难性。由于原子具有由于原子具有z方向的运动速度方向的运动速度v，所以在，所以在t0时刻位时刻位置置z处如被激发到处如被激发到a态的原子在时刻态的原子在时刻t已不在已不在z处，这处，这部分原子对部分原子对z处处t时刻的密度矩阵没有贡献。时刻的密度矩阵没有贡献。只有那些满足条件只有那些满足条件z+z0+v(t-t0)的原子，即在的原子，即在t0时刻时刻位置位置z0处被激发，以速度处被激发，以速度v运动并在时刻运动并在时刻t恰好

25、到达恰好到达z的原子才对的原子才对(z,t)有贡献。有贡献。设设(a，z0，t0，v，t)表示在无外界激励作用时，表示在无外界激励作用时，由轴向速率为由轴向速率为v的原子系统组成的系综在的原子系统组成的系综在t时刻的时刻的密度矩阵。密度矩阵。系综内的原子在系综内的原子在t0时刻位于时刻位于z0处并且处干处并且处干a态态(或或在时刻在时刻t0被激发到被激发到a态态t0以后就不受到激发作用）以后就不受到激发作用），则，则(a,z0,t0,v,t)遵从运动方程（遵从运动方程（2.3.30）。）。用用a(z0，t0，v)表示在时刻表示在时刻t0位置位置z0旁边单位时旁边单位时间单位体积内向间单位体积内

26、向a态激发的、速度在态激发的、速度在v旁边单位速旁边单位速度间隔内的乎均原子数。度间隔内的乎均原子数。(z，v，t)表示速度在表示速度在v旁边单位速度间隔的原子旁边单位速度间隔的原子所组成的系综在所组成的系综在t时刻位置时刻位置z处的集居数矩阵，则处的集居数矩阵，则有有初始条件初始条件式式(2.4.1)包含了对激发时间、激发地点的积包含了对激发时间、激发地点的积分以及对状态分以及对状态a、b的求和。其中的求和。其中函数保证函数保证只计及在只计及在t时刻能够进入考察位置时刻能够进入考察位置z旁边单位旁边单位体积之内的那些原子，体积之内的那些原子，z=z0+v(t-t0)。(2.4.1)将式（将式

27、（2.4.1）对）对t求导求导利用利用函数性质及初始条件函数性质及初始条件(2.4.2)、（、（2.4.3），），并利用并利用上式可写成利用了式利用了式(2.4.1)（2.4.4）将它代人式将它代人式(2.4.4)，由干，由干H、均不是均不是t0、z0的函数，的函数，故提出积分号外，其他不能提出部分对故提出积分号外，其他不能提出部分对dt0、dz0积积分，即为分，即为(z，v，t)。于是方程。于是方程(2.4.4)可写成可写成密度矩阵密度矩阵 应遵守应遵守(2.3.30)上式即为运动原子的集居数矩阵的运动方程，上式即为运动原子的集居数矩阵的运动方程，式中的式中的均指均指(z，v，t)。这一方程

28、和静止原于。这一方程和静止原于的式（的式（2.3.41）或式（）或式（2.3.44）有完全相同的形）有完全相同的形式，所不同的是：式，所不同的是：对于运动原子，对于运动原子，的变更率的变更率包括由时间推移干脆产生的变更率包括由时间推移干脆产生的变更率 和由于和由于原子运动造成的变更率原子运动造成的变更率 两部分，静止原两部分，静止原子因为是不动的，所以其次部分为零。子因为是不动的，所以其次部分为零。(2.4.5)即在即在t0时刻时刻z0处被激发的原子，和该原子相处被激发的原子，和该原子相互作用的光场为互作用的光场为z0处的场即处的场即E（z0，t0）。）。在时刻在时刻t，原子已运动到了，原子已

29、运动到了z0+v(t-t0)处，而处，而与所考虑的原子发生相互作用的场应当是与所考虑的原子发生相互作用的场应当是z0+v(t-t0)处的场，即处的场，即Ez0+v(t-t0)。对于运动原子，微扰矩阵元对于运动原子，微扰矩阵元宏观电极化强度与密度矩阵的关系5.2 电偶极矩近似电偶极矩近似原子电偶极矩为原子电偶极矩为量子力学中的电偶极矩算符为量子力学中的电偶极矩算符为若考虑若考虑z方向的线偏振光与物质相互作用时方向的线偏振光与物质相互作用时,量子力学中量子力学中,电偶极矩的期盼值电偶极矩的期盼值(5.2.1)(5.2.2)(5.2.3)电偶极矩的期盼值为电偶极矩的期盼值为若外界的扰动使电子处在两个

30、能量本征态若外界的扰动使电子处在两个能量本征态|ua与与|ub的叠加态的叠加态,则原子的波矢可以表示为则原子的波矢可以表示为(5.2.4)(5.2.5)留意能级波函数具有奇偶性留意能级波函数具有奇偶性,留意固有偶留意固有偶极矩的矩阵元为零及极矩的矩阵元为零及得到若适当选取若适当选取ua和和ub的相位，使的相位，使Dab为实数，这样为实数，这样就有就有Dab=D*ba=D。将此结果代入式（将此结果代入式（5.2.7)，得到得到(5.2.8)(5.2.7)式中式中 原子在原子在a、b能级间的跃迁频率；而能级间的跃迁频率；而由密度矩阵元的定义（由密度矩阵元的定义（6.1.11）式）式可见，密度矩阵的非对角元和介质的宏观电极化可见，密度矩阵的非对角元和介质的宏观电极化强度是联系在一起的。强度是联系在一起的。(5.2.10)（）（）有（）（）由式（由式（5.6.5）可知，假如已知）可知，假如已知D通过密度通过密度矩阵方程求出矩阵方程求出 ab和和 ba，介质的电极化强度，介质的电极化强度P就随之得到确定；就随之得到确定；然后将求出的然后将求出的P代入兰姆方程中（事实上用代入兰姆方程中（事实上用P的傅里叶重量），就可定量地探讨激光振荡的傅里叶重量），就可定量地探讨激光振荡的振幅特性和频率特性。的振幅特性和频率特性。