最新微分方程的物理背景PPT课件.ppt

《最新微分方程的物理背景PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新微分方程的物理背景PPT课件.ppt（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、微分方程的物理背景微分方程的物理背景1.质点的弹性振动质点的弹性振动机动 目录 上页 下页 返回 结束 F(t)yo已确定的自然规律：已确定的自然规律：1.牛顿第二定律牛顿第二定律:F=ma 2.胡克胡克(Hooke.R)定律定律:质点受到的弹性回复力与质点受到的弹性回复力与位移成正比，即位移成正比，即f2=-ky其它事实：其它事实：质点在介质中运动所受阻力与质点运动速度成质点在介质中运动所受阻力与质点运动速度成正比，即正比，即f1=-rv.令质点离开平衡位置的距离为令质点离开平衡位置的距离为y(t),介质中运动所受阻力为介质中运动所受阻力为f1，弹性回复力为，弹性回复力为f2，所受外力为所受

2、外力为F=f3，各力的数学表示代入牛顿第二定律得：各力的数学表示代入牛顿第二定律得：即得即得再令再令得规范式得规范式5.5.溶液淡化溶液淡化例例1.3.1.3.容器内有容器内有100100升浓度升浓度1010的盐溶液，若以的盐溶液，若以3 3升升/秒的匀速往容器中注入净秒的匀速往容器中注入净水，同时又以水，同时又以2升升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，问过程开始后秒的速度将搅匀后的溶液排出，问过程开始后1分钟时溶液分钟时溶液的浓度？的浓度？溶液淡化是一不均匀的过程，须用微元法来分析！溶液淡化是一不均匀的过程，须用微元法来分析！设时刻为设时刻为t t时溶液的含盐量为时溶液的含盐量为x=x(t),x

3、=x(t),任选时间微元区间任选时间微元区间t,t+dt,t,t+dt,由于由于dtdt充充分小，因此微元时间间隔内过程可视为均匀的。根据微分的定义即得分小，因此微元时间间隔内过程可视为均匀的。根据微分的定义即得 根据厨师数据根据厨师数据x(0)=10,x(0)=10,即得溶液淡化的数学模型：即得溶液淡化的数学模型：求解后得：求解后得：，1 1分钟后分钟后 ，浓度为，浓度为 6.6.二体运动（行星绕日运动）二体运动（行星绕日运动）KeplerKepler三律（被称为三律（被称为“太空宪法太空宪法”）：）：（A A）行星绕日运动轨道是椭圆，太阳是轨道的一焦点上；）行星绕日运动轨道是椭圆，太阳是轨

4、道的一焦点上；（B B）太阳与行星的连线（经线）在相同时间间隔内扫过相同的面积；）太阳与行星的连线（经线）在相同时间间隔内扫过相同的面积；（C C）行星公转周期的平方与它到太阳平均距离的立方成正比。）行星公转周期的平方与它到太阳平均距离的立方成正比。精确解释精确解释建立行星绕日运动的建立行星绕日运动的数学模型数学模型万有引力定律：行星受到太阳的引力万有引力定律：行星受到太阳的引力f f与矢径与矢径r r的平方成反比，与行星质量的平方成反比，与行星质量m m与太阳质量与太阳质量M M的乘积成正比，引力方向与矢径方向相反。的乘积成正比，引力方向与矢径方向相反。运用牛顿第二定律，表示成数学表达式得：

5、运用牛顿第二定律，表示成数学表达式得：其中其中u ur r表示单位矢径。表示单位矢径。xPo令令 这里这里 表示动点表示动点P P的极坐标的极坐标此时矢径为此时矢径为记记表示矢径方向的单位向量，表示矢径方向的单位向量，表示与矢径正交的单位矢量表示与矢径正交的单位矢量则有如下关系式：则有如下关系式：令令 v=v(t)v=v(t)表示表示 U(t)U(t)的瞬时速度，则有的瞬时速度，则有令令 a=a(t)a=a(t)表示表示 v(t)v(t)的瞬时加速度，则有的瞬时加速度，则有简记简记则有则有代入牛顿第二定律得代入牛顿第二定律得由于两个单位向量的正交性即得由于两个单位向量的正交性即得这就是二体运动

6、方程这就是二体运动方程由极坐标表示的行星绕日运动的微分方程。由极坐标表示的行星绕日运动的微分方程。试建立具有下列性质的曲线满足的微分方程。试建立具有下列性质的曲线满足的微分方程。1 1，曲线上任意点的切线与该点的径向夹角为，曲线上任意点的切线与该点的径向夹角为 。2 2，曲线上任意点的切线介于两个坐标之间的部分等于定长，曲线上任意点的切线介于两个坐标之间的部分等于定长a.a.3.3.容器内有容器内有100100升浓度升浓度2020的盐溶液，若以的盐溶液，若以3 3升升/秒的匀速往容器中注入秒的匀速往容器中注入33的的溶液溶液 ，同时又以，同时又以2升升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，将溶液稀释的定量过程秒的速度将搅匀后的溶液排出，将溶液稀释的定量过程用微分方程来描述。用微分方程来描述。