最新微分方程应用举例59992PPT课件.ppt

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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩

2、子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味

3、道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人

4、生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅微分方程应用举例59992第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例一、一阶微分方程应用举例一、一阶微分方程应用举例用微分方程寻求实际问题中未知函数的用微分方程寻求实际问题中未知函数的一般步骤一般步骤一般步骤一般步骤：分析问题，建立微分方程，确定初始条件；分析问题，建立微分方程，确定初始条件；求出微分方程的通解；求出微分方程的通解；由初始条件确定

5、通解中任意常数，得方程相由初始条件确定通解中任意常数，得方程相应应的特解，即为所求函数的特解，即为所求函数第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业

6、技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为第七章第七章微

7、微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例解解 设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为在在 内内,的通入量的通入量的排出量的排出量 例例4 4 某车间体积为某车间体积为1200012000立方米立方米,开始时空气中含开始时空气中含有有的的,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中的含量的含量,用用一台风量为一台风量为20002000立方米立方米/秒的鼓风机通入含秒的鼓风机通入含的的的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓

8、风机开动6 6分钟后分钟后,车间内车间内的百分比降低到多少的百分比降低到多少?的改变量的改变量的通入量的通入量的排出量的排出量第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例x解解取取 为为坐坐标标原点，河岸朝原点，河岸朝顺顺水方向水方向为为轴轴，轴轴指向指向对对岸，如岸，如图图所示所示.设设水流速度水流

9、速度为为（鸭鸭子的游速子的游速为为（则鸭则鸭子的子的实际实际运运动动速度速度为为 ）,），第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例x设设在在时时刻刻鸭鸭子位于点子位于点则鸭则鸭子的运子的运动动速度速度为为，故有 而由此得微分方程由此得微分方程第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例令令则则代入上面方程，得代入上面方程，得分离变量，得分离变量，得 两边同时积分，并整理得两边同时积分，并整理得 将

10、将代入上式，得代入上式，得 鸭鸭迹迹线线的方程的方程为为第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例练一练练一练练一练练一练解解 设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为时伞所受空气阻力为时伞所受空气阻力为（负号表示阻力与运动方向相反，（负号表示阻力与运动方向相反，为常数）为常数）.另外，伞在下降过程中还受重力另外，伞在下降过程中还受重力作用，作用，由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用

11、举例微分方程应用举例对上述方程分离变量得对上述方程分离变量得 两边积分得两边积分得 由初始条件得由初始条件得即即故所求特解为故所求特解为 第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例由此可见，由此可见，的增大，速度的增大，速度逐渐变大且趋于逐渐变大且趋于常数常数，但不会超过，但不会超过这说明跳伞后，开始阶段这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动ot随着随着第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十

12、二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例二、二阶微分方程应用举例二、二阶微分方程应用举例用微分方程寻求实际问题中未知函数的用微分方程寻求实际问题中未知函数的一般步骤一般步骤一般步骤一般步骤：分析问题，建立微分方程，确定初始条件；分析问题，建立微分方程，确定初始条件；求出微分方程的通解；求出微分方程的通解；由初始条件确定通解中任意常数，得方程相由初始条件确定通解中任意常数，得方程相应应的特解，即为所求函数的特解，即为所求函数第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例 例例11设位于坐标原点的

13、甲舰向位于设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度最大的速度v0（v0是常数）沿平行于是常数）沿平行于y轴的直线行驶，轴的直线行驶，导弹的速度是导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程又乙舰行，求导弹运行的曲线方程又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？驶多远时，导弹将它击中？解解由于导弹头由于导弹头始终对准乙舰始终对准乙舰,故此时直线故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧就是导弹的轨迹曲线弧OP在在点点P处的切线，处的切线，x于是有于是有R第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数

14、学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例即 (1)又根据又根据题题意，弧意，弧OP的的长长度度为为的的5倍，即倍，即 (2)由由(1)(2)(1)(2)消去消去t t整理得模型整理得模型 (3)解得解得导弹导弹的运行的运行轨轨迹方程迹方程为为当当时时，即当乙，即当乙舰舰航行到点航行到点处时处时被被导弹击中导弹击中.被被击击中中时间为时间为.xR第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例解解设质设质点的运点的运动规动规律律为为，根据牛顿第二根据牛顿

15、第二定律，质点运动的微分方程是定律，质点运动的微分方程是 由由题设题设知知将将代入上式，得代入上式，得从而得，从而得，质质点运点运动动的微分方程是的微分方程是第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例将将代入代入(1)式，得式，得将将代入代入(2)式，得式，得 则质点的运动规律为则质点的运动规律为第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例解解设设在在t时时刻通刻通过过R的的电压为电压为通通过过L的

16、的电压为电压为则则由基由基尔尔霍夫定律，有霍夫定律，有第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例将它将它们们代入代入(1)式，得式，得 即即将将E=20，C=0.5，L=1.6，R=4.8代入上式，得代入上式，得解得解得第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例将初始条件代入将初始条件代入(2)(2)、(3)(3)式，得方程式，得方程组组 解得解得将上式代入将上式代入(2)式，得式，得电压电压的的

17、变变化化规规律是律是ot第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例解解 如如图图所示，取平衡位置所示，取平衡位置为为原点，原点，轴轴的正向向下，受力分析，的正向向下，受力分析，第二定律，物体的运动满足微分方程第二定律，物体的运动满足微分方程由牛顿运动由牛顿运动第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例可得可得对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解为为设设方程方程的一个特解的一个特解为为则则有有代入原

18、方程，整理得代入原方程，整理得第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例比比较较系数得系数得从而得从而得故原方程的通解故原方程的通解为为.将初始条件将初始条件分分别别代入代入，求得，求得再将再将得所求物体的运得所求物体的运动规动规律律为为和和的值代入原方程的通解，的值代入原方程的通解，第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例练一练练一练练一练练一练解解取炮口为原点，建立直角坐标系如图所示，取炮口

19、为原点，建立直角坐标系如图所示，设刚开始射击时设刚开始射击时t=0，炮弹在，炮弹在t时刻的位置为时刻的位置为ox由牛顿由牛顿运动第二定律，得运动第二定律，得第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例初始条件初始条件由由(1)解得解得由由(2)解得解得由由(4)解得解得将初始条件分别代入将初始条件分别代入(3),(4),(5)得得故弹道曲线的方程为故弹道曲线的方程为第七章第七章微微 分分 方方 程程四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 课题二十二课题二十二 微分方程应用举例微分方程应用举例 通过本课题学习，学生应该达到：1会用一阶微分方程解实际应用问题；2会用一阶微分方程解实际应用问题。（一）（一）P119习题习题7.4；（二）（二）P119习题习题7.4【授课小结授课小结】【课后练习课后练习】结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！32