最新微积分基础参考资料1PPT课件.ppt

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1、微积分基础参考资料微积分基础参考资料1 1第一章第一章第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续函数的极限与连续函数的极限与连续 2022/11/32上海交通大学继续教育学院二、二、二、二、二、二、绝对值绝对值绝对值绝对值绝对值绝对值2022/11/39上海交通大学继续教育学院2022/11/310上海交通大学继续教育学院x-自变量自变量,y-因变量因变量,定义定义D-定义域定义域三、三、三、三、三、三、函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念函数的概念-值域值域。2022/11/311上海交通大学继续教育学院例例:xy函数的图象函数的图象函数的图象函数的图象:由由定的平面点集定

2、的平面点集.(一般为平面曲线一般为平面曲线)所确所确oxy2022/11/312上海交通大学继续教育学院 函数的定义域就是使得函数表达式有意义的函数的定义域就是使得函数表达式有意义的构成函数的基本要素：构成函数的基本要素：定义域定义域定义域定义域及及及及对应法则对应法则对应法则对应法则.自变量的一切可能的取值组成的集合自变量的一切可能的取值组成的集合.只要定义域及对应法则确定只要定义域及对应法则确定,则函数就唯一确定则函数就唯一确定,至于自变量与因变量各用什么字母是不重要的至于自变量与因变量各用什么字母是不重要的.2022/11/313上海交通大学继续教育学院函数相等函数相等：例例1：判断下列

3、函数是否为相等函数：判断下列函数是否为相等函数：必须定义域及对应法则都相同。必须定义域及对应法则都相同。必须定义域及对应法则都相同。必须定义域及对应法则都相同。(1)(常值函数常值函数)(2)(3)定定义义域域不不同同对应关对应关系不同系不同三三组组函函数数均均为为不不同同函函数数2022/11/314上海交通大学继续教育学院例例2：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：(2)(1)2022/11/315上海交通大学继续教育学院函数的表示法函数的表示法函数的表示法函数的表示法:公式法公式法,图示法图示法,表格法表格法.公式法中公式法中,当自变量在定义域内的不同范围取值当自变量在定义域内的不同

4、范围取值时用不同的式子所表示的函数时用不同的式子所表示的函数,称为称为分段函数分段函数分段函数分段函数.如如：0 xy12又如又如:某商店对某商品的售价规定如下某商店对某商品的售价规定如下:购买量购买量不超过不超过5千克时千克时,每千克每千克0.8元元,购买量大于购买量大于5千克千克时时,超出超出5千克的部分优惠价每千克千克的部分优惠价每千克0.6元元.若以若以 x 表示购买量表示购买量,y 表示购买表示购买 x 千克的费用千克的费用,则则2022/11/316上海交通大学继续教育学院解解解解:2022/11/317上海交通大学继续教育学院1.1.1.有界性有界性有界性有界性有界性有界性否则称

5、否则称无界无界无界无界。设设 f(x)的定义域为的定义域为D,使对任一使对任一 则称则称 f(x)在在 D 上上有界有界有界有界,如：如：=M,为为 D 上的有界函数上的有界函数。无界。无界。有界。有界。oxy12若存在正数若存在正数 MM,四、函数的几种特性四、函数的几种特性四、函数的几种特性四、函数的几种特性四、函数的几种特性四、函数的几种特性2022/11/318上海交通大学继续教育学院2022/11/319上海交通大学继续教育学院2022/11/320上海交通大学继续教育学院2.2.2.单调性单调性单调性单调性单调性单调性两者统称为两者统称为严格单调函数严格单调函数严格单调函数严格单调

6、函数,I 为为严格单调区间严格单调区间严格单调区间严格单调区间。设设 f(x)的定义域为的定义域为D,区间区间对对 I 上任二点上任二点 x1,x2,当当 x x1 1 0,使对一切使对一切2022/11/360上海交通大学继续教育学院3.3.数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限考察数列考察数列.1.0 0.当当 n 无限增大时无限增大时,xn 与与 0(原点原点)的距离的距离无限变小无限变小,要多小就能多小要多小就能多小要多小就能多小要多小就能多小!数数 0 0 称为数列称为数列2022/11/361上海交通大学继续教育学院定义定义:2022/11/362上海交通大学继续教育学院例：考察

7、下列数列收敛与否例：考察下列数列收敛与否;若收敛若收敛,求其极限求其极限.1,2,3,n,发散发散收敛收敛发散发散收敛收敛2022/11/363上海交通大学继续教育学院 4.4.4.收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列的性质定理定理1.若数列若数列 xn 收敛收敛,则其极限值唯一。则其极限值唯一。（数列极限的唯一性数列极限的唯一性数列极限的唯一性数列极限的唯一性）定理定理2.若数列若数列 xn 收敛收敛,则数列则数列 xn 有界有界。（收敛数列的有界性收敛数列的有界性收敛数列的有界性收敛数列的有界性）注注 意意此定理逆定理不成立此定理逆定理不成立,即即

8、 有界数列不一定收敛。有界数列不一定收敛。如如：xn=(1)n+1发散发散,但但有界有界。定理定理3.单调有界数列必收敛。单调有界数列必收敛。单调有界数列必收敛。单调有界数列必收敛。2022/11/364上海交通大学继续教育学院？(1)(2)二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限(1)(2)(1)(2)2022/11/365上海交通大学继续教育学院考察函数考察函数oxy2022/11/366上海交通大学继续教育学院定义定义2022/11/367上海交通大学继续教育学院对反正切函数对反正切函数2022/11/368上海交通大学继续教育学院指数函数指数函数oxy2022/11/3

9、69上海交通大学继续教育学院正弦函数正弦函数2022/11/370上海交通大学继续教育学院 重要的结论重要的结论 2022/11/371上海交通大学继续教育学院0 xy-1124当当 x 无限趋近无限趋近 1 时时,f(x)无限趋近于无限趋近于 4,即即 x 与与 1 的距离的距离无限缩小时无限缩小时,f(x)与与 4 的距离的距离也无限缩小也无限缩小。2022/11/372上海交通大学继续教育学院定义定义2022/11/373上海交通大学继续教育学院 显然显然 f(x)在在 x=x0 处有无定义与处有无定义与 f(x)当当 xx0 时有时有无极限无关无极限无关.2022/11/374上海交通

10、大学继续教育学院左极限与右极限统称为左极限与右极限统称为单侧极限单侧极限单侧极限单侧极限。重要的结论重要的结论 可以证明可以证明还可证明还可证明2022/11/375上海交通大学继续教育学院例例：解：解：0 xy1。2022/11/376上海交通大学继续教育学院例例：0 xy1。2022/11/377上海交通大学继续教育学院三、函数极限的性质三、函数极限的性质三、函数极限的性质三、函数极限的性质三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.1.唯一性唯一性唯一性唯一性2.(2.(局部局部局部局部)有界性有界性有界性有界性3.(3.(局部局部局部局部)保号性保号性保号性保号性且且 A 0,2022/1

11、1/378上海交通大学继续教育学院4.4.迫敛性迫敛性迫敛性迫敛性 如果如果2022/11/379上海交通大学继续教育学院1 1 1、无穷小、无穷小、无穷小、无穷小、无穷小、无穷小四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大定义：定义：若函数若函数 f(x)在自变量在自变量 x 的某个变化过程的某个变化过程中以零为极限中以零为极限,则称在该变化过程中则称在该变化过程中,f(x)为为简称简称无穷小无穷小。无穷小量无穷小量。如如2022/11/380上海交通大学继续教育学院说明：说明：说明：说明：(1)无穷小不是一个数无穷小不是一个数(或一个很小的数或一个很小的数),在

12、自变量的某一变化过程中在自变量的某一变化过程中,以零为极限的以零为极限的如如：(2)0 是无穷小中唯一的数是无穷小中唯一的数。(3)讲到无穷小一定要和自变量的变化过讲到无穷小一定要和自变量的变化过程联系程联系在一起。否则会发生错误。在一起。否则会发生错误。而是而是变量变量。2022/11/381上海交通大学继续教育学院推论推论1.有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.无穷小的性质无穷小的性质:定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小.注意注意:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数

13、与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2.无穷小与有极限的变量的乘积是无穷小无穷小与有极限的变量的乘积是无穷小.2022/11/382上海交通大学继续教育学院例例2022/11/383上海交通大学继续教育学院无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系定理定理.反之亦成立反之亦成立.注：注：实际上在实际上在时上述结论也成立时上述结论也成立.2022/11/384上海交通大学继续教育学院无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较x,x2,sin x 当当 x 0 时都为无穷小时都为无穷小,两个无穷小之比的极限的各种不同情况两个无穷小之比的极限的各种不同

14、情况,反映了不同的无穷小趋向于零的反映了不同的无穷小趋向于零的 “快慢快慢”程度程度的不同的不同.2022/11/385上海交通大学继续教育学院定义：定义：高阶高阶的无穷小的无穷小；同阶同阶无穷小无穷小；等价等价无穷小无穷小。2022/11/386上海交通大学继续教育学院2022/11/387上海交通大学继续教育学院定理定理定理定理.(.(.(.(等价无穷小代换定理）等价无穷小代换定理）等价无穷小代换定理）等价无穷小代换定理）同理同理,有有2022/11/388上海交通大学继续教育学院一些重要的等价无穷小：一些重要的等价无穷小：一些重要的等价无穷小：一些重要的等价无穷小：2022/11/389

15、上海交通大学继续教育学院求下列函数的极限：求下列函数的极限：2022/11/390上海交通大学继续教育学院2 2、无穷大、无穷大、无穷大、无穷大无穷大无穷大(量量).2022/11/391上海交通大学继续教育学院(2)在在如如 f(x)为无穷大为无穷大则则是不存在的是不存在的,但为了方便但为了方便起见起见,称其极限为无穷大称其极限为无穷大,记为记为(3)说明：说明：说明：说明：(1)无穷大不是一个数无穷大不是一个数,也是一个变量也是一个变量,是表是表示变量的一种越来越大的趋势示变量的一种越来越大的趋势.2022/11/392上海交通大学继续教育学院(4)当说当说 f(x)是无穷大时是无穷大时,

16、必须同时指出自变必须同时指出自变量量 x 的变化过程的变化过程.例如例如2022/11/393上海交通大学继续教育学院 无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系定理定理2.在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,若若 f(x)为无穷大为无穷大,若若 f(x)不为零且为无穷小不为零且为无穷小,2022/11/394上海交通大学继续教育学院1.3 1.3 1.3 1.3 极限的四则运算法则与两个重要极限极限的四则运算法则与两个重要极限极限的四则运算法则与两个重要极限极限的四则运算法则与两个重要极限2022/11/395上海交通大学继续教育学院 定理

17、定理定理定理1 1若若 lim f(x)=A,lim g(x)=B 存在存在,则则 (1)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A B.(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB.(C:常数常数)一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则2022/11/396上海交通大学继续教育学院例例1.解解2022/11/397上海交通大学继续教育学院一般地一般地,设多项式设多项式同理同理,设有理分式函数设有理分式函数P(x),Q(x)均为多项式均为多项式,2022/

18、11/398上海交通大学继续教育学院例例2.当当当当 Q Q(x x0 0)=0)=0 时时时时,则需具体问题具体讨论则需具体问题具体讨论则需具体问题具体讨论则需具体问题具体讨论.2022/11/399上海交通大学继续教育学院例例3.2022/11/3100上海交通大学继续教育学院例例4.2022/11/3101上海交通大学继续教育学院用此性质可证明两个重要极限之一用此性质可证明两个重要极限之一用此性质可证明两个重要极限之一用此性质可证明两个重要极限之一 2 2 2 2、两个重要极限、两个重要极限、两个重要极限、两个重要极限函数极限的迫敛性函数极限的迫敛性函数极限的迫敛性函数极限的迫敛性如果如

19、果2022/11/3102上海交通大学继续教育学院重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限(1)(1)(1)(1)(1)(1)证证 作单位圆如图作单位圆如图,AOD=x x显然显然：OABCD2022/11/3103上海交通大学继续教育学院重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限(1)(1)(1)(1)(1)(1)xOABCD证毕证毕2022/11/3104上海交通大学继续教育学院重要极限（重要极限（重要极限（重要极限（1 1 1 1）注意：注意：2.重要极限重要极限(1)的一般形式的一般形式 2022/11/3105上海交通大学继续教育学院求下列极限：求下列极限：求下列极限：

20、求下列极限：求下列极限：求下列极限：=1.=5.2022/11/3106上海交通大学继续教育学院2022/11/3107上海交通大学继续教育学院数列极限的性质数列极限的性质单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.用此性质可以证明如下的重要极限用此性质可以证明如下的重要极限：重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限重要极限(2 2 2)更一般的更一般的更一般的更一般的更一般的更一般的,有如下的重要极限有如下的重要极限有如下的重要极限有如下的重要极限有如下的重要极限有如下的重要极限 2 2 2：几种变形几种变形：1.2.2022/11/3108上海交通大学继续教育学院求下列极限：求下列极限：求下

21、列极限：求下列极限：求下列极限：求下列极限：2022/11/3109上海交通大学继续教育学院1 1 1 1.4 4 4 4 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性增量概念：增量概念：设变量设变量 u 从它的一个初值从它的一个初值 u1 变到变到终值终值 u2,则则 u2u1 叫做变量叫做变量 u 的的增量增量.记作记作 u.即即 u=u2u1注意：注意：增量增量 u 可正可负也可为零可正可负也可为零。2022/11/3110上海交通大学继续教育学院设设 y=f(x)在在 x0 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,如果当

22、自变量如果当自变量 x 在在 x0 处获得增量处获得增量 x 变为变为 f(x0+x),则对应的函数值从则对应的函数值从 f(x0)变为变为x0+x 时时,称称 f(x0+x)f(x0)为相应的为相应的 即即 y=f(x0+x)f(x0).函数的增量函数的增量,记为记为 y,2022/11/3111上海交通大学继续教育学院设设 y=f(x)在在 x0 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,定义定义如果当自变量如果当自变量 x 在在 x0 的增量的增量 x 趋于零时趋于零时,对应的函数的增量对应的函数的增量 y=f(x0+x)f(x0)也趋于零也趋于零,那么就称那么就称 y=f(x)在在 x0

23、点连续点连续.点点 x0 称为称为 y=f(x)连续点连续点.即若即若则则 y=f(x)在在 x0 点连续点连续.2022/11/3112上海交通大学继续教育学院连续的等连续的等价定义价定义 如果如果 y=f(x)满足满足(1)在点在点 x0 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义,则则 y=f(x)在在 x0 点连续点连续.函数在一点连续的三要素函数在一点连续的三要素2022/11/3113上海交通大学继续教育学院称称 f(x)在点在点 x0 处处左连续左连续;称称 f(x)在点在点 x0 处处右连续右连续。重要结论：重要结论：重要结论：重要结论：f(x)在在 x0 点连续的充要条件是点连续的

24、充要条件是 f(x)在在 x0 点点既是左连续又是右连续的既是左连续又是右连续的.2022/11/3114上海交通大学继续教育学院 如如 f(x)在在(a,b)内每一点都连续内每一点都连续,则称则称 f(x)为为(a,b)内的连续函数内的连续函数,或称或称 f(x)在在(a,b)内连续内连续.如如 f(x)在在(a,b)内连续内连续,且在且在 a 点右连续点右连续,在在 b 点左连续点左连续,则称则称 f(x)为为a,b上的连续函数上的连续函数,或称或称f(x)在在a,b上连续上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.易证有理整函数、有理分式函数在其

25、定义域易证有理整函数、有理分式函数在其定义域内每一点都是连续的内每一点都是连续的.2022/11/3115上海交通大学继续教育学院哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 普瑞格尔河从古城哥尼斯堡市中心流过，河中有普瑞格尔河从古城哥尼斯堡市中心流过，河中有小岛两座，筑有七座古桥，如图。哥尼斯堡市人杰地小岛两座，筑有七座古桥，如图。哥尼斯堡市人杰地灵，市民普遍爱好数学。灵，市民普遍爱好数学。1736年，该市一位市民向大年，该市一位市民向大数学家欧拉提出如下问题：从家里出发，七座桥恰通数学家欧拉提出如下问题：从家里出发，七座桥恰通过一次，再回到家里，是否可能？过一次，再回到

26、家里，是否可能？2022/11/3116上海交通大学继续教育学院xy0例例1：在在 x=0 处处,均为连续函数均为连续函数；=f(0),证证2022/11/3117上海交通大学继续教育学院讨论讨论 在在 x=1 处的处的例例2:解解=f(1)所以所以 f(x)在在 x=1 处不是右连续处不是右连续,而只在而只在 x=1 处左连续。处左连续。使函数不连续的点称为使函数不连续的点称为间断点间断点间断点间断点。左右连续性。左右连续性。xy 11 22022/11/3118上海交通大学继续教育学院解解而而2022/11/3119上海交通大学继续教育学院二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性二、初等函

27、数的连续性二、初等函数的连续性定理定理2：设设 f(x),g(x)在点在点 x0 处连续处连续，则则(1)f(x)g(x)在点在点 x0 处也连续处也连续；(2)f(x)g(x)在点在点 x0 处也连续处也连续；在点在点 x0 处也连续处也连续。定理定理1：基本初等函数在其定义域内是连续的。基本初等函数在其定义域内是连续的。定理定理3：连续函数的复合函数是连续的。连续函数的复合函数是连续的。2022/11/3120上海交通大学继续教育学院例：例：解：解：2022/11/3121上海交通大学继续教育学院初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的。内都是连续的。定义区间：定义区间：指包含

28、在定义域内的区间。指包含在定义域内的区间。1.初等函数在其定义区间内任何一点的极限值初等函数在其定义区间内任何一点的极限值2.初等函数的定义区间就是该函数的连续区间初等函数的定义区间就是该函数的连续区间。就是函数在该点的函数值就是函数在该点的函数值。定理定理4：2022/11/3122上海交通大学继续教育学院例：例：解解所以连续区间为所以连续区间为：2022/11/3123上海交通大学继续教育学院三、函数的间断点及其分类三、函数的间断点及其分类设设 f(x)在点在点 x0 的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义,(1)f(x)在点在点 x0 没有定义没有定义;(2)f(x)在点在点 x0

29、 有定义有定义,但但(3)f(x)在点在点 x0 有定义有定义,且且则称则称 f(x)在在 x0 处处不连续不连续不连续不连续。在此前提下在此前提下,如如 f(x)有下列三种情形之一有下列三种情形之一：而点而点 x0 称为称为 f(x)的的不连续点不连续点不连续点不连续点或或间断点间断点间断点间断点。2022/11/3124上海交通大学继续教育学院例例1.所以所以 x=0 为间断点为间断点。=1若令若令 f(0)=1,则则 x=0 为为 f(x)的连续点的连续点。例例2.所以所以 x=0 为间断点为间断点。若令若令 f(0)=1,则则 x=0 为为 f(x)的连续点的连续点。上述两例中的间断点

30、称为上述两例中的间断点称为可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点。因为因为 f(x)在在 x=0 处无定义处无定义,2022/11/3125上海交通大学继续教育学院例例3.所以所以 x=0 是其间断点是其间断点。由于间断点处左、右极限存在由于间断点处左、右极限存在,则称间断点则称间断点 x=0 为为跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点。2022/11/3126上海交通大学继续教育学院例例4.f(x)在在 x=0 处无定义处无定义,间断点间断点：x=0.考察极限考察极限则称间断点则称间断点 x=0 为为无穷间断点无穷间断点无穷间断点无穷间断点。xy02022/11/3127上海交通大学继续

31、教育学院例例5.间断点间断点：x=0.不存在不存在,且在且在 x=0 附近来回振荡附近来回振荡,则称间断点则称间断点 x=0 为为振荡间断点振荡间断点振荡间断点振荡间断点。xy2022/11/3128上海交通大学继续教育学院由以上的讨论由以上的讨论由以上的讨论由以上的讨论,可将间断点分为两类可将间断点分为两类可将间断点分为两类可将间断点分为两类:1.则称则称 x0 为为第一类第一类第一类第一类间断点间断点；2.不是第一类间断点的称为不是第一类间断点的称为第二类第二类第二类第二类间断点。间断点。如如：可去可去可去可去、跳跃跳跃跳跃跳跃间断点间断点。如如：无穷无穷无穷无穷、振荡振荡振荡振荡间断点间

32、断点。设设 x0 是是 f(x)的间断点的间断点,2022/11/3129上海交通大学继续教育学院解解间断点间断点：x=1,x=2,所以所以 x=1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点,2022/11/3130上海交通大学继续教育学院解解间断点间断点：x=1,x=2,所以所以 x=2 是第二类间断点是第二类间断点.2022/11/3131上海交通大学继续教育学院设设 f(x)在区间在区间 I 上有定义上有定义,最大值和最小值的概念最大值和最小值的概念则称则称是函数是函数 f(x)在区间在区间 I 上的最大值上的最大值(最小值最小值最小值最小值)。四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数

33、的性质四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质2022/11/3132上海交通大学继续教育学院（最大值最小值定理）（最大值最小值定理）定理定理1 1：在闭区间上连续的函数在该区间上至少能在闭区间上连续的函数在该区间上至少能取到最大值和最小值各一次。取到最大值和最小值各一次。即即:若若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,则必至少存在两点则必至少存在两点m=M(最小值最小值)(最大值最大值)abxy2022/11/3133上海交通大学继续教育学院说明：说明：说明：说明：闭区间闭区间,连续函数连续函数,缺一不可。缺一不可。若不是闭区间若不是闭区间,如如：y=x 在在(0,1)内连续内连

34、续,01。无最小值无最小值无最大值无最大值若若 f(x)不连续不连续,如如：112。.也无最大、也无最大、最小值。最小值。定理中两条件定理中两条件：xyxy02022/11/3134上海交通大学继续教育学院定理定理定理定理2 2 2 2：(零点定理零点定理零点定理零点定理)且且 f(a)与与 f(b)异号异号,(即即 f(a)f(b)0)则至少存在一点则至少存在一点设设 f(x)在在 a,b 上连续上连续,abf(a)f(b)结论又可表示为：结论又可表示为：方程方程 f(x)=0 在在(a,b)内至少有一个实根内至少有一个实根。xy0 xy0ab2022/11/3135上海交通大学继续教育学院

35、定理定理定理定理3(3(3(3(介值定理介值定理介值定理介值定理)证证则其在则其在 a,b 上连续上连续,因为因为 C 在在 A、B之间之间,所以所以(a)(b)0,由零点定理由零点定理,至少存在一点至少存在一点设设 f(x)在在 a,b 上连续上连续,且且 f(a)=A,f(b)=B,AB,则对于则对于A、B 之间的任一数之间的任一数 C,至少存在至少存在一点一点使得使得2022/11/3136上海交通大学继续教育学院abABC.推论：推论：推论：推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值与最小值 m 之间的任何值。之间的任何值。xy2022/11/3137上海交通大学继续教育学院例例:证明方程证明方程证证由零点定理由零点定理,至少存在一点至少存在一点 得证。得证。2022/11/3138上海交通大学继续教育学院任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图),证明必可将它证明必可将它趣味题趣味题一刀剪为面积相等的两片一刀剪为面积相等的两片.(沿直线剪沿直线剪)提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.则面积函数则面积函数因因故由介值定理可知故由介值定理可知2022/11/3139上海交通大学继续教育学院