最新微积分09 空间直角坐标系与向量的概念PPT课件.ppt
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1、微积分微积分09 09 空间直角坐标空间直角坐标系与向量的概念系与向量的概念1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标面:在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为坐标平面,简称坐标面.面面面一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系向量的加法满足下列运算规律:(1)(2)(3)(4)(2)数与向量的乘积(数乘向量)定义定义2 2 设 是一个非零向量,是一个非零实数,则 与 的乘积仍是一个向量,记作 ,且 数与向量的乘积满足下列运算规律:(1)(2)(3)(4)1.1.向径及其坐标表示向径及其坐标表示 向径:在空间直角坐标系中,起点在原点 ,终点为 的向量 称为点 的向径.记为 或基本单位向量:称上
2、式为向量 的坐标表达式,记作三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示2.2.向量向量 的坐标表示式的坐标表示式3.3.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式4.4.向量线性运算的坐标表示向量线性运算的坐标表示例例2 2 设 ,求 的方向余弦.解解 例例3 3 设向量 的两个方向余弦为 ,又 ,求向量 的坐标.解解 由 得所以即或第二节第二节 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积 一、向量的数量积 二、向量的向量积一、向量的数量积一、向量的数量积1.1.数量积的概念数量积的概念 定义定义1 1 两向量 的模及其夹角余弦的乘积,称为向量的数量积,记为 ,即说明:(1)向量的数
3、量积是一个数量而不是向量;(3)(2)两非零向量 夹角的余弦(4)设 为两个非零向量,由定义1,有 数量积满足如下运算规律:(1)交换律:(2)结合律:(其中 为常数)(3)分配律:另外,由(2)(3)可得2.2.数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式.两非零向量夹角余弦的坐标表示式两非零向量夹角余弦的坐标表示式 设 均为非零向量,由两向量的数量积定义可知解解 例例1 1 已知 求例例2 2 设力 作用在一质点上,质点由 沿直线移动到 .求:(1)力 所作的功;(2)力 与位移 的夹角(力的单位为,位移的单位为).解解 因为 又因为 所以 所以,力 所作的功(J)例例3 3 求在 坐标面上与向量
4、垂直的单位向量 解解 设所求向量为 ,因为它在 坐标面上,所以 ,又因为 是单位向量且与 垂直,所以 即解之得 故所求向量 或 二、向量的向量积二、向量的向量积1.1.向量积的概念向量积的概念 定义2 两向量 的向量积定义为 记作 ;其中 是同时垂直于 和 的单位向量,其方向按从 到 的右手规则确定.说明:(1)两向量的向量积是一个向量而不是数;(4)(2)的模等于以 为邻边的平行四边形的面积(3)设 为两个非零向量,则ab向量积满足下列运算规律:(1)反交换律:(2)结合律:(其中 为常数)(3)分配律:2.2.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式 a对于两个非零向量解 例4 设 求 例例5
5、 5 求垂直于 和 的单位向量.解解 因为 同时垂直 和,所以=例例6 6 已知三角形 的顶点是 求三角形的面积.解 根据向量积的定义,可知三角形 的面积 第三节第三节 平面与直线平面与直线一、平面的方程 二、直线的方程三、平面、直线的位置关系 1 1平面的点法式方程平面的点法式方程 法向量 因为 所以有 该方程称为平面 的点法式方程 一、平面的方程一、平面的方程解解 由平面方程的点法式得所求平面方程为例例1 1 求过点 且垂直于向量 的平面方程即且和平面 例例2 2 求过点 垂直的平面方程 解解 因为 在该平面上,已知平面的法向量故 所求平面的法向量 与向量 和 都垂直即 由公式得该平面的方
6、程为例例3 3 求过点 和 三点的平面方程 故 解解 所求平面的法向量 与向量 和 都垂直,而 由公式 得该平面方程为 即 从平面的点法式方程得令该方程称为平面的一般式方程.则 2 2平面的一般式方程平面的一般式方程 得它表示过点 且以 为法向量的平面 可见,任一三元一次方程(不全为零)都表示一个平面.系数 为平面法向量的坐标设 是其任一组解,即 平面通过原点(图9.16)图9.16(2)当 时,图9.17 方程 的特殊情况:(1)当 时,该平面平行于 轴(图9.17)图9.18(3)当 时,表示的平面通过 轴(图9.18)同理,方程 分别表示平行于 轴和 轴的平面;分别表示通过 轴和 轴的平
7、面.(4)当 时,图9.19 当 时,该平面平行于 坐标面(图9.19)它表示 坐标面 同理,方程 和 分别表示平行 面和 面的平面;方程 和 分别表示 面和 面.方程为 代入原方程并化简,得所求平面方程为例例4 4 求通过 轴和点 的平面方程.解解 因平面通过 轴,由以上讨论,可设其方程为 又点 在平面上,因此 即解解 设所求平面方程为例例5 5 一平面经过 三点,求此平面的方程.又因 三点都在平面上,所以有 后两个方程分别减去第一个方程,得所以 代入第一个方程得即因为 不能同时为零,所以 ,于是有即得所求平面方程为3 3平面的截距式方程平面的截距式方程 解此方程组得 设一平面过三点 (图9
8、.20),求此平面方程图9.20 设平面方程为 ,因为 三点在该平面上,所以有 即得所求平面方程为 此方程称为平面的截距式方程,其中 分别称为平面在 轴、轴、轴上的截距.代入所设方程(因平面不过原点,)得解解方程两边同除以5,得平面的截距式方程为其中 例例6 6 将平面 化为截距式方程 得 由1直线的点向式方程与参数方程 方向向量:向向量为,它的一个方 已知直线L上任意一点求直线L的方程(图9.21)图9.21二、直线的方程二、直线的方程所以由两向量平行的充要条件可知 此方程组称为直线的点向式方程(或称标准方程)设点 为直线L上任意一点则点 在直线 上的充要条件是 因为注:注:当 中有一个或两
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