五章节固体电子论基础.ppt

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1、五章节固体电子论基础 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望统计分布Fermi-Dirac统计,从而计算出电子气体的 ,获得了成功.布洛赫和布里渊阐明了在周期场中运动的电子的基本特征,为能带理论的建立奠定了基础.近自由电子模型:自由电子+微扰 能带,根据禁带宽度的大小(金属,绝缘体,半导体)5.1电子气的能量状态金属中的价电子好比理想气体,无相互作用.取平均势能为能量零点,.电子逸出体外相当于在一定深度的势阱中运动的粒子所具有的能量.三维无限深势阱中运动的

2、粒子:0L取箱内势能,其薛定谔状态方程为:两边同除分离变量:方程的解:边界条件:在势箱中运动的电子.只剩下正弦项,余弦项为零.A为归一化常数,电子能量:推广到无限个线度都是L的势阱各个势阱相应位置波函数相等:电子波函数:波函数归一化:电子能量:电子动量:电子速度:驻波:电子的平均动量,平均速度为零,波矢在k空间,由一组量子数 表示.为坐标的空间称为波矢空间也叫k空间.每个点代表一个状态.轴相邻的两个代表点间的间距为 ,沿 轴相邻点的间隔也是 .因而k空间每个状态的代表点占有体积:K空间单位体积含有的状态点数目:平面波状态波矢 由一组量子数 确定,K空间:为坐标轴的空间.点:每个许可的状态可用一

3、个点来代表.相邻两个代表点间距:波矢空间每个状态代表点占有的体积:K空间单位体积中含有状态数目:从 中含有的状态数:每个 波矢状态可容纳自旋相反的两个电子,所以体积元中可容纳的电子数:自由电子能量:E能级密度与能量关系，能量越大，也越大.电子气的费米能量Fermi energy of electron gas电子气体中的粒子：电子，e满足：泡利不相容原理（Paulis exclusion principle）服从费米狄拉克统计（Fermi-Dirac statistics）电子处在能量为E状态的几率：是费米能量，或者化学势意义：体积不变的条件下，系统增加一个电子所需要的自由能是温度和电子数的函

4、数当意义：表示在费米能级 ,被电子填充的几率和不被电子填充的几率是相等的 费米分布函数f(E)在不同温度时的图像.(1)T=0 k绝对温度,(2)(3)温度上升,函数f(E)发生大变化的能量范围变宽,但在任何情况,此能量范围约为求费米(Fermi)能级根据能级密度:和热平衡时,电子处于能量为E的状态的几率:以及能量EE+dE之间的电子数(1)当:令 代表系统电子浓度,求数值估计 电子气系统每个电子的平均动能(2)每个电子的平均动能,的解释:即使在绝对零度,电子仍有相当大的平均能量。根据热力学温度是平均动能的标志,T=0时,应该有 ,但是根据泡利不相容原理,每个状态只能容纳两个自旋方向相反的电子

5、,因此在绝对零度不可能所有的电子都填在最低能态.当此时能量E大于 的能级可能有电子,能量小于 的能级可能是空的,系统总电子数N.第一项:所以,令此为奇函数此为偶函数求 的关系:在绝对温度时系统的总电子数:当温度升高时,比 小,金属的费米能量:几个几十个 eV费米温度:一般温度下,自由电子能级:当 时,等能面的半径为:物理意义(1)在绝对零度T=0k时,费米面以内的状态都被电子所占据,球外没有电子.(2)时,费米球面半径 ,在 范围内能上的电子被激发到 之上约 的范围的能级.5.3金属中电子气的热容The thermal capacity of electron gas in metal洛伦兹自

6、由电子论,N个自由电子,3N个自由度.服从经典的统计规律:试验结果，电子比热只有这个数值的百分之一.索末菲认为:电子不遵守麦克斯韦-玻尔兹曼分布,而是遵守费米-狄拉克分布.自由电子构成电子气,有N个自由电子.每个电子平均能量:绝对零度每个电子平均能量.每个的电子对热容量的贡献:这是费米狄拉克统计方法计算的电子比热结果.只有费米面附近 范围的电子受热激发才跃迁到较高的能级.每个电子的能量 之间的电子才能被激发.根据费米统计f(E)曲线可知,电子的能量范围约为 附近的 .受激发的电子数(下页)每个电子具有热能每个电子的平均能量是:每个电子对热容的贡献:讨论:(一)常温:说明对增加系统热能有贡献的电

7、子仅占总电子数的一小部分.所以通常温度下,金属的比热服从杜隆-珀替定律.为了与试验结果相比较,计算金属没摩尔中自由电子对热容量的贡献:每个原子有Z个自由电子(价电子),常温晶格对热容量贡献为:电子对比热贡献很小.当电子气与晶格振动对热容量的贡献之比:只有当温度很低时,才考虑电子对热容量的贡献.二.温度甚低:金属的摩尔热容是两部分之和:截距r,斜率为b.5.4功函数和接触势差一.功函数:电子在势阱内,势阱深度为 ,费米能级为 电子离开金属至少需要从外界得到：称脱出功当电子获得能量时，电子逸出金属，产生热电子发射电流 发射电流密度查孙杜师曼公式二接触电势差：（）两块不同的金属和接触或用导线联结会彼

8、此带电，产生不同的电势（）推导接触电势差：每秒从金属单位面积逸出电子数：每秒从金属单位面积逸出电子数：如果，金属逸出的电子数比金属多，金属带正电，金属带负电荷V10,V20.附加静电势能：e V1,e V2.发射的电子数分别变为：平衡时：，由此得：所以接触电势差：此式表明：接触电势差来源于两块金属的脱出功不同脱出功表明：真空能级与费米能级之差所以，接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高电子从费米能级高的金属流到费米能级低的金属达到平衡时，两块金属的费米能级达到同一高度.布洛赫波晶体电子在规则排列的正离子势场中运动，势场具有晶格周期性一维周期势场：在周期场中运动的电子必须满足薛定谔方程：布洛

9、赫定理：必定是按晶格周期函数调幅的平面波，即可以写为此种形式的波函数称为布洛赫函数证明布洛赫定理：平移算符：V(x),H(x)有周期性，于是：波函数不是周期函数，只满足：现在将平移算符作用在薛定谔方程：由此可知，晶体有N个原胞，线度为L=Na,N个原胞的一维晶体就相当于首尾相连接的一个圆环有周期为a的一维晶格，倒格子的周期是倒格子的坐标：平移算符对这两个波函数有同样的效果为了使K的取值范围同算符的不同本征值一一对应，把K的范围限制在倒格子原胞内这个倒格子空间限定的区域称为简约布里渊区波矢：简约波矢每个波矢在简约布里渊区中占有线度：简约布里渊区内包括：个波矢N：晶体原胞数布洛赫函数的平面波因子描述晶体共有化运动，电子在晶体中做自由运动，周期因子描述了电子在原胞中运动，取决于原胞中电子势场 波矢K渐趋连续分布