最新微积分第2章极限与连续PPT课件.ppt

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1、微积分第微积分第2章极限与连续章极限与连续一、问题的提出一、问题的提出二、数列极限的定义二、数列极限的定义三、数列极限的运算法则三、数列极限的运算法则四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质五、数列收敛的准则五、数列收敛的准则2.1 数列的极限数列的极限2第二章 极限与连续例例3设函数设函数 ，求极限，求极限(考研题考研题)(上下同除以上下同除以n3)例例2求极限：求极限：注意注意注意注意:极限四则运算只适用于极限四则运算只适用于有限项运算，且各项极限存在有限项运算，且各项极限存在!(先求括号内各项之和先求括号内各项之和)9第二章 极限与连续性质性质性质性质2 2（有界性）（有界性）（有界性）（有

2、界性）收敛收敛的数列必定有界的数列必定有界.性质性质性质性质1 1（唯一性）（唯一性）（唯一性）（唯一性）收敛收敛的数列只有一个极限的数列只有一个极限.四、收敛数列的性质四、收敛数列的性质(课本课本p.60-62 2.2,2.3)性质性质性质性质3 3（保号性）（保号性）（保号性）（保号性）如果如果且且了解了解性质性质性质性质4 4（保序性）（保序性）（保序性）（保序性）设设使得使得 时，时，则则 。10第二章 极限与连续五、数列收敛的准则五、数列收敛的准则(课本课本p.712.6)夹逼准则夹逼准则 若数列若数列 xn,yn,zn 满足：满足：则数列则数列xn收敛，且收敛，且(可放宽至可放宽至

3、“nN”)例例4 求下列极限：求下列极限：会应用会应用11第二章 极限与连续单调有界准则单调有界准则 单调有界数列必收敛单调有界数列必收敛.2)*证明数列证明数列收敛收敛.（课本（课本p.75-76）1.单调、有界，两条件缺一不可；单调、有界，两条件缺一不可；注注:2.反过来，反过来，收敛数列必有界，但未必单调收敛数列必有界，但未必单调!例例51)*设设,证明证明xn收敛并求极限收敛并求极限.了解了解12第二章 极限与连续2.2 函数的极限函数的极限一、一、x 型的函数极限型的函数极限二、二、xx0 型的函数极限型的函数极限三、函数极限的运算法则三、函数极限的运算法则四、函数收敛的性质与准则四

4、、函数收敛的性质与准则五、两个重要的函数极限五、两个重要的函数极限13第二章 极限与连续定义定义定义定义对于对于U(+)上的函数上的函数 f(x),若存在数若存在数 A 使得使得则称则称f(x)当当x+时收敛于时收敛于A 或或 以以A为极限为极限，1)证明证明例例1 一、一、x 型的函数极限型的函数极限 记作记作了解了解1.数列极限是其特殊情形数列极限是其特殊情形.注注:几何意义：几何意义：几何意义：几何意义：2.观察函数图象特征可以确观察函数图象特征可以确定某些极限定某些极限.如如14第二章 极限与连续类似可定义类似可定义:定理定理定理定理 例例1 2)记住结论记住结论了解了解15第二章 极

5、限与连续几何意义：几何意义：几何意义：几何意义：二、二、xx0 型的函数极限型的函数极限定义定义定义定义对于对于Uo(x0)上的函数上的函数 f(x),若存在数若存在数 A 使得使得则称则称f(x)当当xx0时收敛于时收敛于A 或或 以以A为极限为极限，记作记作 注意注意注意注意:与与f(x0)无关！无关！1)例例2 2)证明证明了解了解16第二章 极限与连续类似可定义类似可定义:xx0的左、右极限的左、右极限定理定理定理定理 例例3讨论下列函数当讨论下列函数当x0时有无极限：时有无极限：记住结论记住结论了解了解17第二章 极限与连续定理定理定理定理(四则运算四则运算四则运算四则运算)设设则则

6、三、函数极限的运算法则三、函数极限的运算法则（xX:任意一类函数极限）任意一类函数极限）会应用会应用特别地，特别地，18第二章 极限与连续多项式函数求单点极多项式函数求单点极限限,只需计算函数值；只需计算函数值；有理分式函数有理分式函数(分母极限不为分母极限不为0)求单点极限求单点极限,只需计算函数值；只需计算函数值；有理分式函数有理分式函数(分母分母0)求单点极限求单点极限,约分去零因子约分去零因子有理分式函数求有理分式函数求极限，必要时除以最大方幂极限，必要时除以最大方幂例例4 计算下列极限计算下列极限:19有理化去零因子有理化去零因子第二章 极限与连续性质性质性质性质1 1（唯一性）（唯

7、一性）（唯一性）（唯一性）略略四、函数收敛的性质与准则四、函数收敛的性质与准则性质性质性质性质4 4（局部保序性）（局部保序性）（局部保序性）（局部保序性）性质性质性质性质3 3（局部保号性）（局部保号性）（局部保号性）（局部保号性）性质性质性质性质2 2（局部有界性）（局部有界性）（局部有界性）（局部有界性）则则(以以 xx0 型函数极限为例型函数极限为例)了解了解20第二章 极限与连续夹逼准则夹逼准则 若函数若函数 f(x),g(x),h(x)满足：满足：则则(可放宽至可放宽至“xU(X)”)例例5 证明：证明：会应用会应用21第二章 极限与连续设设则则，且且令令u=g(x)补充补充(变量

8、替换变量替换)*会应用会应用令令 u=1/x例例:令令 u=x2五、两个重要的函数极限五、两个重要的函数极限1.证证:同除以同除以 sin x 得得即即而而由夹逼准则知由夹逼准则知先证先证令令 u=-x，则，则(如图如图记结论记结论,会用会用23第二章 极限与连续例例6 求下列极限：求下列极限：1)2)3)利用利用 求极限求极限:step 1.找找 sin，step 2.凑凑 sin/.24第二章 极限与连续2.证明概要证明概要:设设 n x n+1,则则再由变量替换法则，可证得再由变量替换法则，可证得根据夹逼准则，有根据夹逼准则，有记结论记结论,会用会用25第二章 极限与连续3)2)利用利用

9、 求极限求极限:step 1.判断是否判断是否(1+0)型型极限极限,step 2.凑凑(1+1/).例例7 求下列极限：求下列极限：1)26第二章 极限与连续2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量一、无穷小量二、无穷大量二、无穷大量三、无穷小量的阶三、无穷小量的阶四、无穷小量等价代换四、无穷小量等价代换一、无穷小量一、无穷小量定义定义定义定义若若 ，则称，则称 f(x)为当为当xX 时的时的无穷小量无穷小量.注注:1.无穷小量与其极限过程有关；无穷小量与其极限过程有关；2.无穷小量是函数，不同于很小的数；无穷小量是函数，不同于很小的数；4.无穷小量乘以有界量仍为无穷小量无穷

10、小量乘以有界量仍为无穷小量无穷小量乘以有界量仍为无穷小量无穷小量乘以有界量仍为无穷小量.3.为为x xX 时的无穷小量；时的无穷小量；例例:x2,sinx,0 是是 x0 时的无穷小量；时的无穷小量；若若 f(x)在在 X 某邻域内有界，则称某邻域内有界，则称 f(x)为为xX 时的时的有界量有界量.cos x,sin x/x 是是 x0 时的有界量时的有界量.定义定义定义定义二、无穷大量二、无穷大量注注:若若 ，则称，则称 f(x)为当为当x时的时的无穷大量无穷大量.1.无穷大量与其极限过程有关；无穷大量与其极限过程有关；2.无穷大量是函数，不同于很大的数；无穷大量是函数，不同于很大的数；4

11、.无穷小无穷小无穷小无穷小(非零非零非零非零)的倒数是无穷大的倒数是无穷大的倒数是无穷大的倒数是无穷大,无穷大的倒数是无穷小无穷大的倒数是无穷小无穷大的倒数是无穷小无穷大的倒数是无穷小.例例:1/x 是是 x0 时无穷大量；时无穷大量；tan x 是是 x/2 时无穷大量时无穷大量.3.无穷大量是函数发散的一种情况；无穷大量是函数发散的一种情况；了解了解例例1 利用无穷小量、无穷大量的性质计算下列极限：利用无穷小量、无穷大量的性质计算下列极限：若若则称则称 f 是比是比 g 高阶高阶的无穷小量，的无穷小量，定义定义定义定义设设且且若若则称则称 f 与与 g 同阶同阶的无穷小量，的无穷小量，记作

12、记作三、无穷小量的阶三、无穷小量的阶特别地若特别地若 C=1，则称，则称 f 与与 g 是是等价等价的无穷小量，的无穷小量，记作记作记作记作例例2 比较比较 x0 时下列各时下列各无穷小量的阶：无穷小量的阶：1)sin x 与与 x,tan x 与与 x；2)与与 x；4)1-cos x 与与 x2/2；3)与与 x (x0+)；arcsin x arctan x ln(1+x)e x-1x sin x tan x 1-cos x x2/2；x x0 0 时常用等价无穷小量时常用等价无穷小量时常用等价无穷小量时常用等价无穷小量等价等价同阶同阶等价等价要记要记四、无穷小量等价代换四、无穷小量等价

13、代换注注:1.极限式的分子极限式的分子/分母如果为若干因子的乘积分母如果为若干因子的乘积,则对任意则对任意一个或几个无穷小因子做等价无穷小代换一个或几个无穷小因子做等价无穷小代换,不改变极限值不改变极限值1)若若 存在，则存在，则定理定理设设 f(x),g(x)是是 xX 时的等价无穷小量，时的等价无穷小量，2)若若 存在，则存在，则2.等价无穷小量代换等价无穷小量代换 应用于加减运算应用于加减运算 有有 条件限制条件限制.例例3 用等价无穷小量代换完成下列各题：用等价无穷小量代换完成下列各题：1)4)2)3)求求(注意注意:分子不可换为分子不可换为x-x)2.4 连续函数连续函数一、连续函数

14、的概念一、连续函数的概念二、函数的间断点二、函数的间断点三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则四、利用函数连续性求函数极限四、利用函数连续性求函数极限五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质一、连续函数的概念一、连续函数的概念定义定义定义定义 设函数设函数 f 在某在某U(x0)内有定义内有定义.则称则称 f 在点在点 x0 连续连续.若若注：注：2.连续意味着连续意味着“极限运算与极限运算与极限运算与极限运算与f f 可换可换可换可换”.1.连续的连续的几何意义几何意义几何意义几何意义.例：例：x 在在 R R 上处处连续上处处连续;在在 x=0连续连续其中其中x=x-x0

15、与与y=f(x)-f(x0)为自变量为自变量/函数的函数的增量增量.f 在在 x0 连续连续3.等价定义等价定义等价定义等价定义：定义定义定义定义 设函数设函数 f 在某在某U(x0)内有定义内有定义.则称则称 f 在点在点 x0 右右 连续连续.若若(U-(x0)(左左)f 在点在点x0 连续连续 f 在点在点 x0 左连续且右连续左连续且右连续.定理定理定理定理讨论函数讨论函数 在点在点 x=0 的连续性的连续性.例例1.若称若称 f 在在 a,b)上连续，则端点上连续，则端点 a 处实际只要求右连续，处实际只要求右连续，定义定义定义定义 若若 f 在在 I 上的每一点都连续上的每一点都连

16、续,则称则称 f 为为 I 上的上的连续函数连续函数.注注:对于区间对于区间 a,b 或或(a,b,情况类似情况类似.y=sin x 在在 R 上连续上连续.例：例：在在 0,+)上连续；上连续；二、函数的间断点二、函数的间断点间间断断点点分分类类定义定义定义定义设函数设函数 f 在某在某Uo(x0)内有定义内有定义.则称点则称点 x0 为为 f 的的间断点间断点或或不连续点不连续点.若若 f 在点在点 x0 不连续，不连续，可去型可去型跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第一一类类(左左右右极极限限均均存存在在)第第二二类类(其其他他情情况况)会分类会分类例例2 求下列函数的间断点，并判断

17、其类型：求下列函数的间断点，并判断其类型：三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则若函数若函数 f 和和 g 在点在点x0连续，则连续，则 fg，fg，f/g四则运算四则运算四则运算四则运算(对除法要求对除法要求g(x0)0)也都在也都在x0连续连续.复合运算复合运算复合运算复合运算*若若 y=f(u),u=g(x)都连续都连续,则则 y=fg(x)亦连续亦连续.一切基本初等函数都是其一切基本初等函数都是其定义域定义域上的连续函数上的连续函数.定理定理定理定理任何初等函数都是其任何初等函数都是其定义区间定义区间上的连续函数上的连续函数.强调强调“区间区间”旨在排除定义域中可能有的孤立点，旨

18、在排除定义域中可能有的孤立点，注注:例如，例如，是初等函数，但在其定义域为单点是初等函数，但在其定义域为单点 0.了解了解四、利用函数连续性求函数极限四、利用函数连续性求函数极限例例3 求下列极限：求下列极限：法一法一法一法一:若若 f 在在 x0 连续连续,则则 法二法二法二法二:复合函数求极限，复合函数求极限，外层极限符号可依次与外层极限符号可依次与连续函数则交换次序连续函数则交换次序.五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质最值定理最值定理最值定理最值定理*若若 f 在在a,b上连续上连续,则则 f 在在a,b上有最大、最小值上有最大、最小值.有界性定理有界性定理有界性定理有

19、界性定理若若 f 在在a,b上连续上连续,则则 f 在在a,b上有界上有界.介值定理介值定理介值定理介值定理最小值之间的任何实数，则至少存在一点最小值之间的任何实数，则至少存在一点 x0(a,b)，使得，使得f(x0)=.若若 f 在在a,b上连续，若上连续，若 是介于是介于f 在在a,b上最大、上最大、Mmy=f(x)了解了解例例4 证明方程证明方程 x3-4x2+1=0 在在(0,1)内至少有一个根内至少有一个根.根的存在定理根的存在定理根的存在定理根的存在定理 若若 f 在在a,b上连续，上连续，且且f(a),f(b)异号，则至少存在异号，则至少存在f(x0)=0.一点一点 x0(a,b

20、),使得使得1.图像观察图像观察函数极限的计算方法函数极限的计算方法2.按定义验证按定义验证3.四则运算（拆分后各部分极限应存在）四则运算（拆分后各部分极限应存在）4.夹逼准则夹逼准则 5.两个重要极限及其应用两个重要极限及其应用6.无穷小、无穷大的性质无穷小、无穷大的性质 7.无穷小等价代换无穷小等价代换8.f 在连续点在连续点 x0 处的极限为处的极限为 f(x0)9.多重复合函数，遇连续函数，极限符号可向内移位多重复合函数，遇连续函数，极限符号可向内移位 10.变量替换变量替换1.幂指函数幂指函数 几种特殊函数的极限计算几种特殊函数的极限计算2.分段函数（求单侧极限）分段函数（求单侧极限）3.有理函数有理函数遗留的问题遗留的问题1)单点极限，能代入单点的直接求单点函数值单点极限，能代入单点的直接求单点函数值2)型极限，分子分母同除以最大方幂型极限，分子分母同除以最大方幂0/0型、型、/型、型、型函数极限型函数极限