最新微积分上PPT课件.ppt

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1、微积分上微积分上1.分析基础分析基础:函数函数,极限极限,连续连续2.微积分学微积分学:一元微积分一元微积分(上册上册)(下册下册)3.向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何4.无穷级数无穷级数5.常微分方程常微分方程主要内容主要内容多元微积分多元微积分每学期每学期8888学时学时 牛顿与莱布尼茨牛顿与莱布尼茨 数学的真正划分不是分为几何和算术，而是分成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家，牛顿和莱布尼茨提供的。二、微积分的历史是什么二、微积分的历史是什么 1.1.1.1.牛顿（牛顿（牛顿（牛顿（NewtonNewtonNewtonNewton）数数学学和和科科学学中中的

2、的巨巨大大进进展展，几几乎乎总总是是建建立立在在几几百百年年中中作作出出一一点点一一滴滴贡贡献献的的许许多多人人的的工工作作之之上上的的。需需要要有有一一个个人人来来走走那那最最高高和和最最后后的的一一步步，这这个个人人要要能能足足够够敏敏锐锐地地从从纷纷乱乱的的猜猜测测和和说说明明中中清清理理出出前前人人的的有有价价值值的的想想法法，有有足足够够想想象象力力地地把把这这些些碎碎片片重重新新组组织织起起来来，并并且且能能足足够够大大胆胆地地制制定定一一个个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。牛牛顿顿（16421727年年），英英国国数数学学家家、物物

3、理理学学家家、天天文文学学家家、自自然然哲哲学学家家。生生于于英英格格兰兰林林肯肯郡郡伍伍尔尔索索普普的的一一个个小小村村庄庄里里。他他的的母母亲亲在在那那里里管管理理着着丈丈夫夫遗遗留留下下来来的的农农庄庄，他他父亲是在他出生前两个月去世的。父亲是在他出生前两个月去世的。少少年年时时期期，牛牛顿顿在在一一个个低低标标准准的的地地方方学学校校接接受受教教育育，而而且且是是一一个个除除了了对对机机械械有有兴兴趣趣以以外外，没没有特殊才华的青年人。有特殊才华的青年人。1661年年他他进进入入了了剑剑桥桥大大学学的的三三一一学学院院，安安静静而而没没有有阻阻力力地地学学习习着着自自然然哲哲学学。16

4、65年年牛牛顿顿刚刚结结束束他他的的大大学学课课程程，学学校校就就因因为为伦伦敦敦地地区区鼠鼠疫疫流流行行而而关关闭闭。他他离离开开剑剑桥桥，回回到到家家乡乡，在在那那里里开开始始了了他他在在机机械械、数数学学和和光光学学上上的的伟伟大大工工作作，于于1665-1665-16661666年年间间做做出出流流数数术术、万万有有引引力力和和光光的的分分析析三三大大发明，年仅发明，年仅2323岁。岁。1667年年牛牛顿顿回回到到剑剑桥桥，获获得得硕硕士士学学位位，成成为为三三一一学学院院的的研研究究员员。1669年年牛牛顿顿接接替替他他的的数数学学老老师师巴巴罗罗的的职职位位，担担任任卢卢卡卡斯斯数

5、数学学教教授授。他他不不是是一一个个成成功功的教师，听他课的学生很少。的教师，听他课的学生很少。他他提提出出的的创创造造性性的的材材料料也也没没有有受受到到同同事事们们的的注注意意，只只有有巴巴罗罗及及天天文文学学家家哈哈雷雷认认识识到到他他的的伟伟大大，并并给给他他以以鼓鼓励励。牛牛顿顿涉涉猎猎的的学学科科很很多多，知知识识面面很很广广。他他从从事事过过光光学学、天天体体力力学学、数数学学、化化学学、流流体体静静力力学学、流流体体动动力力学学、物物理理学学方方面面的的研研究究工工作作，还还自自己己动动手手制制作作实实验验装装置置，甚甚至至自自己己制制作作了了两两台台反反射射望望远远镜镜（制制

6、作作出出做做架架子子用用的的合合金金、浇浇铸铸框框架架、做做底底座座、磨光镜头等。）磨光镜头等。）他他在在数数学学上上以以创创建建微微积积分分而而著著称称，其其流流数数法法（即即物物质质的的变变化化率率）始始于于16651665年年，系系统统叙叙述述于于流流数数法法和和无无穷穷级级数数（16711671年年完完成成，17361736年年出出版版），首首先先发发表表在在自自然然哲哲学学之之数数学学原原理理 （16871687）中中。其其中中借借助助运运动动学学中中描描述述的的连连续续量量及及其其变变化化率率阐阐述述他他的的流流数数理理论论，并并创创用用字字母母上上加加一一点点的的符符号号表表示示

7、流流动动变变化化率率（即即导导数数符号）。符号）。讨讨论论的的基基本本问问题题是是：已已知知流流量量间间的的关关系系，求求它它们们的的流流数数的的关关系系以以及及逆逆运运算算，确确立立了了微微分分与与积积分分这这两两类类运运算算的的互互逆逆关关系系，即即微微积积分分基基本本定定理理。他他用用级级数数处处理理微微分分和和积积分分，已已对对级级数数的的收收敛敛和和发发散散有有所所认认识识。他他也也研研究究微微分分方方程程、隐隐函函数数微微分分、曲曲线线切切线线、曲曲线线曲曲率率、曲线的拐点和曲线长度等。曲线的拐点和曲线长度等。此此外外他他还还论论述述了了有有理理指指数数的的二二项项定定理理（166

8、41664年年）以以及及数数论论、解解析析几几何何、曲曲线线分分类类、变变分分法法等等中中的的有有关关问题。问题。他他在在物物理理学学上上发发现现了了万万有有引引力力定定律律（1666-16841666-1684年年），并并据据此此指指出出行行星星运运行行成成椭椭圆圆轨轨道道的的原原因因。16661666年年用用三三棱棱镜镜实实验验光光的的色色散散现现象象，16681668年年发发明明并并亲亲手手制制作了第一架反射望远镜。作了第一架反射望远镜。他他在在哲哲学学上上深深信信物物质质、运运动动、空空间间和和时时间间的的客客观观存存在在性性，坚坚持持用用观观察察和和实实验验方方法法发发现现自自然然界

9、界的的规规律律，力力求求用用数数学学定定量量方方法法表表述述的的定定律律说说明明自自然然现现象象，其其科科学研究方法支配后世近学研究方法支配后世近300300年的物理学研究。年的物理学研究。晚晚年年的的牛牛顿顿变变得得消消沉沉，精精神神几几乎乎崩崩溃溃。他他放放弃弃研研究究工工作作，于于16951695年年接接受受任任命命，担担任任大大英英造造币币厂厂监监察察。17051705年年，封封为为爵爵士士，享享年年8585岁岁。牛牛顿顿对对于他一生的成就，一直是十分谦虚的。于他一生的成就，一直是十分谦虚的。2.2.2.莱布尼茨（莱布尼茨（莱布尼茨（LeibnizLeibnizLeibniz）莱莱布布

10、尼尼茨茨（16461716年年）是是在在建建立立微微积积分分中中唯唯一一可可以以与与牛牛顿顿并并列列的的科科学学家家。他他研研究究法法律律，在在答答辩辩了了关关于于逻逻辑辑的的论论文文后后，得得到到哲哲学学学学士士学学位位。1666年年以以论论文文论论组组合合的的艺艺术术获获得得阿阿尔尔特特道道夫夫大大学学哲哲学学博士学位，同时获得该校的教授席位。博士学位，同时获得该校的教授席位。1671年年，他他制制造造了了他他的的计计算算机机。1672年年3月月作作为为梅梅因因兹兹的的选选帝帝侯侯大大使使，政政治治出出差差导导巴巴黎黎。这这次次访访问问使使他他同同数数学学家家和和科科学学家家有有了了接接触

11、触，激激起起了了他他对对数数学学的的兴兴趣趣。可可以以说说，在在此此之之前前（1672年年前前）莱莱布布尼尼茨茨基本上不懂数学。基本上不懂数学。1673年年他他到到伦伦敦敦，遇遇到到另另一一些些数数学学家家和和科科学学家家，促促使使他他更更加加深深入入地地钻钻研研数数学学。虽虽然然莱莱布布尼尼茨茨靠靠做做外外交交官官生生活活，卷卷入入各各种种政政治治活活动动，但但他他的的科科学学研研究究工工作作领领域域是是广广泛泛的的，他他的的业业余余生生活活的的活活动动范范围围是是庞庞大大的。的。除除了了是是外外交交官官外外，莱莱布布尼尼茨茨还还是是哲哲学学家家、法法学学家家、历历史史学学家家、语语言言学学

12、家家和和先先驱驱的的地地质质学学家家，他他在在逻逻辑辑学学、力力学学、数数学学、流流体体静静力力学学、气气体体学学、航航海海学学和和计计算算机机方方面面做做了了重重要要工工作作。虽虽然然他他的的教教授授席席位位是是法法学学的的，但但他他在在数数学学和和哲哲学学方方面面的的著著作作被被列列于于世世界界上上曾曾产产生生过过的的最最优优秀秀的的著著作作中中。他他用用通通信信保保持持和和人们的接触，最远的到锡兰（人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。）和中国。他他于于1669年年提提议议建建立立德德国国科科学学院院，从从事事对对人人类类有有益益的的力力学学中中的的发发明明和和化化学学、生生理

13、理学学方方面面的的发发现现（1700年柏林科学院成立）。年柏林科学院成立）。1714年年莱莱布布尼尼茨茨写写了了微微分分学学的的历历史史和和起起源源，在在这这本本书书中中，他他给给出出了了一一些些关关于于自自己己思思想想发发展展的的记记载载，由由于于他他出出书书的的目目的的是是为为了了澄澄清清当当时时加加于于他他的的剽剽窃窃罪罪名名，所所以以他他可可能能不不自自觉觉地地歪歪曲曲了了关关于于他他的的思思想想来来源源的的记记载载。不不管管他他的的笔笔记记本本多多么么混混乱乱，都都揭揭示示了了一一个个最最伟伟大大的的才才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。特特别别值值

14、得得一一提提的的是是：莱莱布布尼尼茨茨很很早早就就意意识识到到，微微分分与与积积分分（看看作作是是和和）必必定定是是相相反反的的过过程程；1676年年6月月23日日的的手手稿稿中中，他他意意识识到到求求切切线线的的最最好好方方法法是是求求dy/dx，其其中中dy，dx 是是变变量量的的差差，dy/dx 是是差差的的商商。莱莱布布尼尼茨茨的的工工作作，虽虽然然富富于于启启发发性性而而且且意意义义深深远远，但但它它是是十十分分零零乱乱不不全全的的，以以致致几几乎乎不不能能理理解解。幸幸好好贝贝努努利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。171

15、6年，他无声无息地死去。年，他无声无息地死去。微微积积分分是是能能应应用用于于许许多多类类函函数数的的一一种种新新的的普普遍遍的的方方法法，这这一一发发现现必必须须归归功功于于牛牛顿顿和和莱莱布布尼尼茨茨俩俩人人。经经过过他他们们的的工工作作，微微积积分分不不再再是是古古希希腊腊几几何何的的附附庸庸和和延延展展，而而是是一一门门独独立立的的科科学学，用来处理较以前更为广泛的问题。用来处理较以前更为广泛的问题。任任何何一一件件新新事事物物出出现现时时，一一般般不不可可能能是是十十分分完完美美的的。如如果果牛牛顿顿和和莱莱布布尼尼茨茨想想到到过过连连续续函函数数不不一一定定有有导导数数而而这这却却

16、是是一一般般情情形形那那么微分学就决不会被创造出来。么微分学就决不会被创造出来。毕卡毕卡创建微积分优先权的争论创建微积分优先权的争论牛牛顿顿从从1665年年到到1687年年把把结结果果通通知知了了他他的的朋朋友友，特特别别是是把把他他的的短短文文分分析析学学送送给给了了巴巴罗罗，但但他他于于1687年年以以前前，并并没没有有正正式式公公开开发发表表过过微微积积分分方方面面的的任何工作。任何工作。创建微积分优先权的争论创建微积分优先权的争论虽虽然然莱莱布布尼尼茨茨于于1672年年访访问问巴巴黎黎，1673年年访访问问伦伦敦敦时时，和和一一些些知知道道牛牛顿顿工工作作的的人人通通信信。然然而而，他

17、他直直到到1684年年才才正正式式公公开开发发表表微微积积分分的的著著作作。于于是是就就发发生生了了莱莱布布尼尼茨茨是是否否知知道道牛牛顿顿工工作作详详情情的的问问题题。莱莱布布尼尼茨茨被被指责为剽窃者。指责为剽窃者。在这两个人死了很久以后，调查证明：虽然牛顿在这两个人死了很久以后，调查证明：虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但是莱布尼茨的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很多启发。多启发。创建微积分优先权的争论创建微积分优先权的争论这这件件事事的的结结果果是是，英英国国的的和和大大陆陆

18、的的数数学学家家停停止止了了思思想想交交换换。因因为为牛牛顿顿在在微微积积分分方方面面的的主主要要工工作作是是以以几几何何为为工工具具的的，所所以以在在他他死死后后近近一一百百年年中中，英英国国人人继继续续以以几几何何为为主主要要工工具具研研究究微微积积分分。而而大大陆陆的的数数学学家家继继续续使使用用莱莱布布尼尼茨茨的的分分析析方方法法，使使它它发发展展并并不不断断进进行行改改善善。这这件件事事的的影影响响非非常常巨巨大大，它它不不仅仅使使英英国国的的数数学学家家落落在在后后面面，而而且且使使数数学学学学科科损损失失了了一一批批最最有有才才能能的的人人所所应应作出的贡献。作出的贡献。创建微积

19、分优先权的争论创建微积分优先权的争论十十七七世世纪纪最最伟伟大大的的成成就就就就是是微微积积分分。由由此此起起源源产产生生了了数数学学的的一一些些主主要要的的新新分分支支，如如微微分分方方程程，无无穷穷级级数数，微微分分几几何何，变变分分法法，复复变变函函数数等等等等。其其中中某某些些工工作作的的萌萌芽芽确确实实在在牛牛顿顿和和莱莱布布尼尼茨茨的的工工作作中中就就已已经经出出现现了了。十十八八世世纪纪，人人们们大大量量地地致致力力于于这这些些分分析析分分支支的的发发展展。但但是是在在这这一一发发展展完完成成之之前前，首首先先必必须扩展微积分本身。须扩展微积分本身。十八世纪的微积分牛牛顿顿和和莱

20、莱布布尼尼茨茨创创造造了了基基本本方方法法，但但也也留留下下了了许多要做的事情：许多要做的事情：必必须须清清楚楚地地认认识识或或造造出出许许多多新新的的一一元元函函数数和和多多元元函函数；数；微微分分和和积积分分的的技技巧巧必必须须推推广广到到某某些些已已经经存存在在或或别别的的有待引入的函数；有待引入的函数；此外还缺少微积分的逻辑基础此外还缺少微积分的逻辑基础。当然，第一目标是扩展微积分的主要内容。当然，第一目标是扩展微积分的主要内容。十八世纪的微积分十八世纪的微积分1、平均速度、平均速度 费马研究的一个问题费马研究的一个问题费马研究的一个问题费马研究的一个问题假假设设一一个个小小球球正正向

21、向地地面面落落去去，我我们们想想知知道道下下落落后后第第4秒时小球的速度（瞬时速度）。秒时小球的速度（瞬时速度）。三、微积分的例子三、微积分的例子2、一一个个方方案案：首首先先计计算算不不同同时时间间间间隔隔内内的的平平均均速速度度，然然后后研研究究当当时时间间间间隔隔越越来来越越小小时时，它它们们会会趋趋近近于于哪哪一一个个数数。这这个个数数就就是是要要求求的的小小球球在在第第四四秒秒时第瞬时速度。时第瞬时速度。小球下落的运动状态可用下面的公式描述：小球下落的运动状态可用下面的公式描述：费马所在时代用费马所在时代用的是英制单位的是英制单位设任意一个时间增量是设任意一个时间增量是h，在第（，在

22、第（4+h）秒时，）秒时，小球会下降小球会下降256英尺加上距离增量英尺加上距离增量k:即即在 h 秒内（时间间隔）的平均速度为令 h=0，得到小球在第四秒时的下落速度 费马推导的问题所在费马推导的问题所在这样就不能令 h=0 而得出结论。对于更为复杂的函数 古希腊人研究过的面积问题 直观地看，小矩形越多，其面积和就越接近于所求曲线下的面积。如何求此面积的精确值？子领域研究内容数学基础代数学和组合学数论和代数几何拓扑学和几何学分析概率论应用数学计算数学统计学数学的逻辑基础结构、离散性数和多项式的性质空间结构、模式、形状微积分的延伸与推广随机性和不确定性现象自然（工程）中提出的问题用计算机来解决

23、的问题数据分析数学在社会中的某些应用问题/应用来自数学的贡献核磁共振成像技术（MRI）计算机辅助成像技术(CAT）空中交通管理期权定价大范围勘探应急用储备物资管理复杂网络的稳定性大规模高连通通信网络设计机密和完整性大气和海洋建模敏捷制造、自动制造设计训练人类基因组分子药物设计积分几何控制论Black-Schole期权模型和Monte Carlo模型信号处理、图形处理、数据采集运筹学、优化理论逻辑、计算机科学、组合学群的无穷维表示数论、密码学、组合学流体力学、小波、统计学、数值分析几何学、可视化、机器人学、控制论模拟、建模、离散数学数据采集、模式识别、算法理论数据采集、组合学、统计学数学在社会中

24、的某些应用（续）问题/应用来自数学的贡献弦论宇宙数据解释（宇宙学研究）复合材料的设计地震的分析和预报金融、证卷计算机网络的发展模式蛋白质折叠三维动画机器人学生物运动几何学数据采集、建模、微分方程、奇点理论控制论、计算数学、偏微分方程过程控制的统计学、动力系统、/湍流、建模概率和统计统计学、分形几何（微分）几何，低维拓扑学计算几何、微分几何、信号处理、图形处理、流体动力学Navier-Stokes方程方程代数拓扑，代数几何、奇点理论微分几何，动力系统课后预习1、集合及相应的运算；2、函数概念及相应的四则运算、取 反、复合运算；3、函数的四种初等性质；4、基本初等函数和初等函数；结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！49