现代通信原理课件-曹志刚钱亚生-清华大学出版社-第11章优秀PPT.ppt

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1、 第第1111章章 差错限制编码和线性分组码差错限制编码和线性分组码1 内容内容11.1 概述概述 11.1.1 差错限制分类差错限制分类 11.1.2 差错限制编码的基本差错限制编码的基本原理原理 11.1.3.差错限制编码分类差错限制编码分类 11.3 循环码循环码(Cyclic code)11.4 BCH码码 11.5 订正和检测突发错误的分组码订正和检测突发错误的分组码11.6 纠错码的误码性能纠错码的误码性能 2 11.1 11.1 概述概述误码分类误码分类噪声引入的随机误码，匀整分布噪声引入的随机误码，匀整分布由干扰、快衰落引起的突发误码由干扰、快衰落引起的突发误码如何削减误码？如

2、何削减误码？从信源编码看，误码引起的性能恶化从信源编码看，误码引起的性能恶化尽可能小，容错技术尽可能小，容错技术从传输看，可接受抗干扰实力强的调从传输看，可接受抗干扰实力强的调制方式，信道特性不志向可接受均衡。制方式，信道特性不志向可接受均衡。特殊须要差错限制技术。数字通信中，特殊须要差错限制技术。数字通信中，要求误码率要求误码率108以下，必需接受差错以下，必需接受差错限制。限制。3 11.1.1 11.1.1 差错限制分类差错限制分类须要双向信道，和前向信道有相同的通信容。引入较大的停顿（不实时）。可以订正任何错误。1.反馈检验法反馈检验法4 2.2.检错重发法（检错重发法（ARQARQ）

3、自动恳求重发也须要反向信道，但容量可以降低，也会引入停顿53.前向纠错前向纠错（FEC forward error corection）不须要双向信道不须要双向信道不会引入停顿不会引入停顿靠纠错编码靠纠错编码6 11.1.2 11.1.2 差错限制编码的基本原理差错限制编码的基本原理如用三位二进制编码来代表八个字母如用三位二进制编码来代表八个字母000 A100E001 B101F010C110G011D111H不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误如用三位字母传四个字母如用三位字母传四个字母000 A011B101 C 110D发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不

4、能纠错。7 差错限制编码差错限制编码如用三位字母传二个字母如用三位字母传二个字母000 A111 B检三个错误，订正一个错误。检三个错误，订正一个错误。结论结论具有检错或纠错的码组，其所用的比特具有检错或纠错的码组，其所用的比特数必需大于信息码组原来的比特数数必需大于信息码组原来的比特数引入余度。引入余度。8 码重、码距码重、码距码重码重(weight)一个码组中“1”的数目码距码距(distance)两个码组之间对应位置上1、0不同的位数，又叫汉明(Hamming)距。1 0 1 1 0 码重：码重：30 1 1 0 0 码重：码重：2 码距码距：39 检错、纠错实力检错、纠错实力1)1)为

5、为检查检查l l个错误，要求最小码距为个错误，要求最小码距为2)2)为订正为订正t t个错误，要求最小码距为个错误，要求最小码距为3)3)为订正为订正t t个错误，并且检查出个错误，并且检查出l l个个 错误，要求最小码距为错误，要求最小码距为1011.1.3.11.1.3.差错限制编码分类差错限制编码分类按功能分按功能分检错码检错码 纠错码纠错码纠删码（发觉不行订正的错误时，可发出指纠删码（发觉不行订正的错误时，可发出指示或删除）示或删除）按信息码元和监督码元之间的校验关系分按信息码元和监督码元之间的校验关系分线性码线性码非线性码非线性码按信息码元和监督码元之间的约束方式分按信息码元和监督码

6、元之间的约束方式分分组码分组码卷积码卷积码11 香农理论香农理论香农定理香农定理存在噪声干扰的信道，若信道容量为存在噪声干扰的信道，若信道容量为C，只要发送端以低于，只要发送端以低于C的速率的速率R发送信发送信息（息（R为输入道编码器的二进制码元速为输入道编码器的二进制码元速率），则确定存在一种编码方式，使率），则确定存在一种编码方式，使编码的错误概率随着码长编码的错误概率随着码长n的增加将按的增加将按指数下降道任一的值，即指数下降道任一的值，即纠错码建立在香农理论基础上 结论结论如码长及发送信息速率确定，可以通过增大如码长及发送信息速率确定，可以通过增大信道容量，使信道容量，使P减小。减小。

7、如在信道容量及发送信息速率确定，可以通如在信道容量及发送信息速率确定，可以通过增加码长，使错误概率下降。过增加码长，使错误概率下降。12 分组码分组码表示：表示：(n,k)n:帧长帧长k/n:编码效率编码效率特点特点监督码只用来监督本帧中的信息位分类分类线性码 信息码与监督码之间为线性关系非线性码 不存在线性关系13 奇偶监督码奇偶监督码假如以上关系被破坏，则出现错误，因此能检查稀假如以上关系被破坏，则出现错误，因此能检查稀奇数个错误，但不能检测偶数个错误。奇数个错误，但不能检测偶数个错误。最小码距为最小码距为 dmin=2偶监督偶监督奇监督奇监督思索：这种码检错实力不高，接受什么方法提高呢？

8、思索：这种码检错实力不高，接受什么方法提高呢？14水平奇偶监督码和水平垂直监督码水平奇偶监督码和水平垂直监督码又叫二维奇偶监督码又叫二维奇偶监督码水平奇偶监督码水平奇偶监督码检码字按行排成方阵，每行接受奇偶监督码，检码字按行排成方阵，每行接受奇偶监督码，发送时按列的依次传送，接收时仍将码字排发送时按列的依次传送，接收时仍将码字排列成发送时方阵形式，然后按行尽心奇偶校列成发送时方阵形式，然后按行尽心奇偶校验。验。在不增加冗余度时，不仅发觉某一行上奇数在不增加冗余度时，不仅发觉某一行上奇数个错误，而且也能发觉不大于方阵行数的突个错误，而且也能发觉不大于方阵行数的突发错误。发错误。水平垂直奇偶监督码

9、水平垂直奇偶监督码不仅对行进行奇偶校验，而且也对列进行奇不仅对行进行奇偶校验，而且也对列进行奇偶校验。偶校验。15 等比码等比码在码长确定时，在码长确定时，“1”码和码和“0”码的码的比例恒定。已用于电报传输中。比例恒定。已用于电报传输中。五中取三五中取三0101111001表示十位数字，表示十位数字，C53=10种许用码种许用码组。组。16 分组码分组码 (1)(1)分组码的监督方程分组码的监督方程矩阵形式矩阵形式17 分组码分组码 (2)(2)监督矩阵监督矩阵H矩阵称为典型形式，各行确定是线性无关的。而一个非典型形式的经过运算可以化成典型形式，通过监督矩阵可以知道监督码和信息码的监督关系。

10、18 分组码分组码 (3)(3)生成矩阵生成矩阵 ，通过生成矩阵可以得到生，通过生成矩阵可以得到生成码组。成码组。假如输入码组为假如输入码组为 001119 分组码分组码 (4)(4)由这种方式得到的生成矩阵称为典型由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它产生的分组码必定为生成矩阵，由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行确定是线性无监督位附加其后，每行确定是线性无关的，每行都是一个生成码组。关的，每行都是一个生成码组。20 汉明码汉明码汉明码监督位为汉明码监督位为 位，因此它可以组位，因此它可以组成成 个可能状况，其中一

11、个为无错。个可能状况，其中一个为无错。因此可以监督码位共因此可以监督码位共 要订正一个错误，必需满足要订正一个错误，必需满足最小码距最小码距假如 r 位监督位所组成的校正子码组与误码图样一一对应，这种码组称为完备码（取等号时）21 扩展汉明码扩展汉明码假如在汉明码基础上，再加上一位对全假如在汉明码基础上，再加上一位对全部码字进行校验的监督位部码字进行校验的监督位监督码字由监督码字由 r 位增加到位增加到 r+1 位位信息位不变信息位不变码长码长 码结构码结构纠纠 1 位错，检测位错，检测 2 位错位错如如（8，4），（），（16，11）22 扩展汉明码矩阵扩展汉明码矩阵 23 缩短汉明码缩短汉

12、明码(n,k)(n,k)(n-s,k-s)(n-s,k-s)如如 (15,11)(15,11)(12,8)(12,8)监督矩阵监督矩阵 Hs Hs 是将原是将原 H H 的前的前 3 3 列列 去掉去掉缩短汉明码的最小码距至少和原来码缩短汉明码的最小码距至少和原来码的码距相同，因为监督位没有变。的码距相同，因为监督位没有变。24 线性码线性码能纠能纠 t 个错误的个错误的(n,k)应满足应满足不同结构的线性码其纠错实力不同，不同结构的线性码其纠错实力不同，实力和实力和dmin 有关，有关，dmin 越大越好。越大越好。取等号时为完备码取等号时为完备码25 最小码距界限最小码距界限上界：上界：汉

13、明界，汉明界，普洛特金界普洛特金界下界：下界：吉尔伯特界吉尔伯特界问题：问题：给定码长与编码效率，找寻给定码长与编码效率，找寻 dmin例：例：dmin=5,码长码长=63 的分组码设计的分组码设计从汉明界得，从汉明界得，因此信息位最多可以取因此信息位最多可以取26 最小码距界限最小码距界限通过吉尔伯特界求下界通过吉尔伯特界求下界线性码线性码 k 越接近越接近 52，效率越高。效率越高。27 11.3 11.3 循环码循环码 (Cyclic(Cyclic code)code)1957 年发觉年发觉特点特点线性分组码线性分组码循环性循环性任一许用码字经过循环移位后，任一许用码字经过循环移位后，得

14、到的码组仍为一个许用码组得到的码组仍为一个许用码组如如 用码组用码组 如如是循环码的一许也是一许用码组28 码多项式表示码多项式表示码组码组码多项式码多项式码组码多项式左移一位左移一位左移左移i i位位29 循环码性质循环码性质 为许用码组，则为许用码组，则 也是也是许用码组许用码组性质性质若若 是长度为是长度为n的循环码组，则的循环码组，则 在按模在按模 进行运算后，也是一个循进行运算后，也是一个循环码组，也就是环码组，也就是 用用 多多项式除后所得之余式，即为所求的码组。项式除后所得之余式，即为所求的码组。30 循环码例子循环码例子码组码组左移左移 3 位位去除去除 得余式得余式如如 左移

15、左移 3 位后，得位后，得 是许用码组是许用码组31循环码生成多项式循环码生成多项式g(D)g(D)g(D)是是 D的的(n-k)次即次即r 次多项式次多项式信息多项式为信息多项式为M(D),k 位，位，(k-1)次多次多项式项式32 g(D)Theo.一个一个(n,k)的二进制循环码可以的二进制循环码可以看成是唯一由它的生成多项式产生，即看成是唯一由它的生成多项式产生，即如如(7,3)循环码，循环码，n=7,k=3,r=4假如信息位为假如信息位为 010，M(D)=D 生成码为生成码为 011101033 生成矩阵生成矩阵 G(D)G(D)由于由于 k 位信息位共有位信息位共有 个码组，都可

16、用此法个码组，都可用此法产生，假如现有信息码产生，假如现有信息码 生成生成K个码字，且这个码字，且这 k 个码字都线性无关，个码字都线性无关，用这用这 k 个码字作为一个矩阵个码字作为一个矩阵G 的的 k行行 构成生成矩阵构成生成矩阵 G(D)34 (7,3)(7,3)循环码循环码(7,3)循环码循环码35 生成矩阵和监督矩阵生成矩阵和监督矩阵这样构成的循环码并非是系统码这样构成的循环码并非是系统码系统码的生成矩阵典型形式系统码的生成矩阵典型形式 非系统码非系统码 系统码系统码生成矩阵监督矩阵36 非系统码非系统码 系统码系统码系统码的码多项式为系统码的码多项式为例如，例如，(7,4)码，码，

17、101137 非系统码非系统码 系统码系统码(7,3)码码38 找寻生成多项式找寻生成多项式Theo.循环码的生成多项式必需能除尽循环码的生成多项式必需能除尽 h(D)是监督多项式是监督多项式例：要构成例：要构成(7,3)循环码，求循环码，求g(D).解：解：g(D)应为应为4阶阶 生成生成(7,6)循环码循环码生成生成(7,1)循环码循环码 39循环码的编码器循环码的编码器原理：按系统码的生成方式原理：按系统码的生成方式以以(7,4)码为例码为例 40 循环码的译码器循环码的译码器译码比编码困难得多译码比编码困难得多译码三步译码三步伴随式伴随式S的计算的计算由由S得到错误图样得到错误图样订正

18、订正41 伴随式的计算伴随式的计算发送码组发送码组 接收码组接收码组误差码组误差码组校正子只与校正子只与 E 有关，根本是计算校正子有关，根本是计算校正子42 校正子校正子S S的计算的计算生成多项式生成多项式 g(D)去除接收码字去除接收码字B(D)43 11.4 BCH11.4 BCH码码即约多项式即约多项式一个一个 m 次多项式不能被二元域上任何次多项式不能被二元域上任何二次数小于的，但大于二次数小于的，但大于0的多项式除尽，的多项式除尽，如如 是即约的。是即约的。本原多项式本原多项式若若m次多项式次多项式P(x)除尽的除尽的 的的最小正整数最小正整数 n 满足满足 ，就称，就称为本原的

19、。为本原的。如如 能除尽能除尽 ，但除不尽，但除不尽 的的 。如如：是即约的，是即约的，但不是本原的，因它能除尽但不是本原的，因它能除尽 。4411.4.1 11.4.1 本原循环码本原循环码由本原多项式构成的码称为本由本原多项式构成的码称为本原码。原码。特点特点码长为码长为它的生成多项式是由若干它的生成多项式是由若干m阶阶或以或以m的因子为最高阶的多项的因子为最高阶的多项式相乘而构成。式相乘而构成。要判定要判定(n,k)的循环码是否存的循环码是否存在，只须要推断在，只须要推断 n-k 阶的生成阶的生成多项式是否能由多项式是否能由 Dn+1的因式的因式构成。构成。45 循环码例子循环码例子生成

20、多项式的阶次为生成多项式的阶次为 r,该生成多项式该生成多项式是否是否是是 的因此一个的因此一个m阶即约多项式阶即约多项式确定能除尽确定能除尽如，如，m5，共有，共有6个个5阶即约多项式。阶即约多项式。再加上再加上 因子，因子，是以上是以上7个个多项式的乘积。多项式的乘积。46 11.4.2 BCH 11.4.2 BCH 码的生成多项式码的生成多项式假如循环码形式的形式为假如循环码形式的形式为 为纠错个数为纠错个数，为最小多项式，为最小多项式，为最小公倍数为最小公倍数最小码距最小码距 码长为码长为 的的BCH码称为本码称为本BCH码（侠义）码（侠义）码长为码长为 则称为非本原则称为非本原BCH

21、码码47 BCH BCH 码码由于由于g(D)g(D)有有t t个因式，且每个因式的最高次个因式，且每个因式的最高次为为m m，因此监督码元最多有，因此监督码元最多有mtmt位。位。对于纠对于纠t t 个错误的本原个错误的本原BCHBCH码，其生成多项码，其生成多项式式纠单个错误的本原纠单个错误的本原BCHBCH码字为汉明码。码字为汉明码。表1113给出了 n5的本原BCH码。11111414给出了部分非本原给出了部分非本原BCHBCH码。码。48 BCH BCH 码例子码例子订正订正 3 个错误，码长为个错误，码长为15的的BCH码码解：解：n=15,m=5 查表查表11-12得，得，233

22、707 这是这是(15,5)码。码。49 重要的重要的BCHBCH码码 (23,12)(23,12)表表11111414中最重要的中最重要的BCHBCH码是码是(23,12)(23,12)称为格雷码，码间为称为格雷码，码间为7 7，能订正，能订正3 3个错误。个错误。生成多项式生成多项式在实际通信系统中，所要求的在实际通信系统中，所要求的n n、k k并不是码并不是码表中所举荐的值，在这时我们可以接受缩短表中所举荐的值，在这时我们可以接受缩短或扩展的方式加以修正，也就是通过增加信或扩展的方式加以修正，也就是通过增加信息符号或校验符号来增加码组长度，或削减息符号或校验符号来增加码组长度，或削减信

23、息和校验位来削减码组长度。信息和校验位来削减码组长度。50 BCHBCH码码如 BCH码的码长为奇数，而有时须要偶数码长，这时可以在原BCH码生成多项式中乘以（D+1)因子，从而得到（n+1,k）扩展BCH码，这时相当于在原BCH码上加一个全校验位，从而将码距增加1，这时的码字不具有循环性。假如BCH码不是2m-1或它的因式，这时可以接受缩短的方式，去掉s位信息，(n-s,k-s)51 RS RS码码 Reed-SolomonReed-Solomon非二进制非二进制BCH码，输入以符号来考虑码，输入以符号来考虑假定每组有假定每组有 K 个符号，每个符号用个符号，每个符号用m比特，比特，输入信息

24、将是输入信息将是 Km 比特。比特。52 RSRS码码RS码适合于订正突发错误，订正的错误图样码适合于订正突发错误，订正的错误图样有有对于一个长度为对于一个长度为 符号的符号的RS码，每个符码，每个符号都可以看成是有限域号都可以看成是有限域 中的一个元素，中的一个元素，如如RS码的最小码距为码的最小码距为d符号，则生成多项式符号，则生成多项式53 11.5 11.5 订正和检测突发错误的分组码订正和检测突发错误的分组码 交织码交织码interleavedinterleaved在水平垂直监督码中将信息码排列成方阵，然后对行和列分别进行检验，可以达到检测突发错误的目的。假如方阵中行码是能纠 t 个

25、随机错误，交织后能纠t个长度为i的突发错误。i称为交织深度。54 循环码构成交织码循环码构成交织码接受循环码构成交织码时，可以不接受方接受循环码构成交织码时，可以不接受方阵就能实现编码。阵就能实现编码。假设交织码每行为假设交织码每行为 循环码，其生成循环码，其生成多项式为多项式为 ，可以除尽可以除尽 ，如交织深度为如交织深度为 其交织码为其交织码为 ,其其生成多项式为生成多项式为 可以除尽可以除尽 ，所，所以以 也是循环码。也是循环码。55 循环码构成交织码循环码构成交织码 (续续)如循环码(7,4)，其生成多项式为 构成交织深度为3 的(21,12)交织码。交织码的生成多项式为它也是循环码，

26、可以用循环码的方式构成。在发送端可以不排成方阵，但是在译码时，必需将码字排列成 阵列，然后分别独立的对每行码字进行译码。56 交织码交织码 之小结之小结为了进一步提高纠错实力，可以在交织阵列中不仅对每行进行纠错编码，而且也对每列进行纠错编码，这种形式的交织码称为乘积码。若乘积码的行码和列码 分别能纠长度超过 的突发错误，则乘积码能订正长度为 的突发错误。交织一般都带固有延时，在语音中交织的延时不要超过40ms。57 法尔码法尔码 FireFire也是循环码，能纠单个突发错误。也是循环码，能纠单个突发错误。58 法尔码的纠错实力法尔码的纠错实力59 CRC CRC 码码循环冗余检验码，简称CRC，也是循环码。能检测出以下错误60 常用常用 CRC CRC 码码常用的四种，已经成为国际标准。常用的四种，已经成为国际标准。61 11.6 11.6 纠错码的误码特性纠错码的误码特性任何纠错码的实力都是有限的，超出纠错码实力的错误不行能订正，甚至会出现乱纠的现象。接受纠错后，误码性能否改善？由于纠错码种类很多，纠错实力各不相同，译码方法也不同，因此其性能必需依据具体分析和计算。62 BSC&AWGN BSC&AWGN BSC假如订正假如订正 t 个随机错误，则个随机错误，则AWGNBPSK63