第六章 不等概率抽样.pptx

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1、第六章第六章 不等概率抽样不等概率抽样1 1 概述概述一、不等概率抽样的定义和特点一、不等概率抽样的定义和特点（一）定义：（一）定义： 如果总体中每个单元进入样本的可能性是不如果总体中每个单元进入样本的可能性是不相等的，则这种随机抽样方式就称为不等概率随机抽样，简相等的，则这种随机抽样方式就称为不等概率随机抽样，简称不等概率抽样。称不等概率抽样。 （二）特点：将总体中每个单元的入样概率与其（二）特点：将总体中每个单元的入样概率与其“规模规模”大小联系起来，使得大小联系起来，使得“大单元大单元”被抽到的概率大，被抽到的概率大，“小单元小单元”被抽到的概率小。被抽到的概率小。二、不等概率抽样的优点

2、和局限性二、不等概率抽样的优点和局限性（一）优点：能够大大提高抽样精度，减少抽样误差。（一）优点：能够大大提高抽样精度，减少抽样误差。 （二）局限性：必须具有能够说明单元规模大小的辅助变（二）局限性：必须具有能够说明单元规模大小的辅助变量来确定各个单元的入样概率或包含概率。量来确定各个单元的入样概率或包含概率。三、不等概率的适用场合三、不等概率的适用场合：总体单元之间的差异较大。总体单元之间的差异较大。四、不等概率抽样分类四、不等概率抽样分类： 我们最关心也是最重要的情形是抽样容量我们最关心也是最重要的情形是抽样容量 n n固定时，单固定时，单元入样的概率（不放回抽样）或每次抽样的概率（有放回

3、抽元入样的概率（不放回抽样）或每次抽样的概率（有放回抽样）与单元的大小严格成比例。这种情况下的有放回抽样称样）与单元的大小严格成比例。这种情况下的有放回抽样称为为 抽样不放回抽样称为抽样不放回抽样称为 抽样。抽样。ps pps2 2 放回的不等概率抽样放回的不等概率抽样 1 1、多项抽样、多项抽样、 抽样及其实施方法抽样及其实施方法pps 既然是不等概率抽样，那么就应该在抽样之前给总体中既然是不等概率抽样，那么就应该在抽样之前给总体中的每一个单元赋予一定的抽取概率，在放回抽样的每一次抽的每一个单元赋予一定的抽取概率，在放回抽样的每一次抽取中，设第取中，设第 个单元入样的概率为个单元入样的概率为

4、且且 ，按此规定有放回地独立抽取，按此规定有放回地独立抽取 n n 次，形成所谓次，形成所谓的的多项抽样多项抽样。i(01,1,2,)iiZZiN 11NZii 假设第假设第 个单元在个单元在 n n次抽样中被抽中次抽样中被抽中 次，则次，则是一个随机向量，其联合分布为：是一个随机向量，其联合分布为：iit12( , ,)Nt tt这是我们熟悉的这是我们熟悉的多项分布多项分布，多项抽样多项抽样其名正出于此。其名正出于此。121212!NtttNNnZ ZZttt1Niitn (7.1)(7.1) 多项分布多项分布(7.1)(7.1)具有如下性质：具有如下性质：( )( )(1)1,2,( ,)

5、iiiiiijijE tnZVar tnZZiNCov t tnZ Zij 倘若单元有一个数值度量其大小，诸如职工人数、工厂产值倘若单元有一个数值度量其大小，诸如职工人数、工厂产值商店销售额等，或者感兴趣的调查指标在上一次普查时的数商店销售额等，或者感兴趣的调查指标在上一次普查时的数据也可以作为其单元大小的一种度量。记据也可以作为其单元大小的一种度量。记 为第为第 个单元的个单元的“大小大小”，并记，并记iMi01NMiiM 多项抽样是最简单的不等概率抽样，它的实施方法通常多项抽样是最简单的不等概率抽样，它的实施方法通常有两种，以有两种，以ppspps抽样为例。抽样为例。则可取则可取0iiZM

6、M 此时多项抽样体现了每次抽样时单元的入样概率与单元的大此时多项抽样体现了每次抽样时单元的入样概率与单元的大小成比例，即为小成比例，即为ppspps抽样。抽样。 （1 1）代码法）代码法 它适合于它适合于 N N不太大的情形。假定所有的不太大的情形。假定所有的 为整数，倘若为整数，倘若在实际中存在在实际中存在 不是整数的话，则可以乘以一个倍数使一切不是整数的话，则可以乘以一个倍数使一切 为整数（对一般的多项抽样，也总可找到整数为整数（对一般的多项抽样，也总可找到整数 ，使一切，使一切 成为整数）。对于具整数成为整数）。对于具整数 的第的第 个单元赋予一个与个单元赋予一个与 相等的代码数，见表相

7、等的代码数，见表7171。iMiMiM0M0iM ZiMiMi单元单元i单元大小单元大小iM代码数代码数12N 12NMMM 11101111,2,NNNiiiNiiiMMMMM 11 , 2 , M11121,2,MMMM 表表71 71 ppspps 抽样时各单元的代码数抽样时各单元的代码数每次抽样前，先在整数每次抽样前，先在整数 里面随机等可能的选里面随机等可能的选取一个整数，设为取一个整数，设为m ,m ,若代码若代码 m m 属于第属于第 j j个单元拥有的代码个单元拥有的代码数，则第数，则第 j j个单元入样。整个过程重复个单元入样。整个过程重复 n n次，得到次，得到 n n个单

8、元个单元入样（当然存在重复的可能性）构成入样（当然存在重复的可能性）构成 ppspps 样本。样本。01, 2 , M例例7.17.1 设某总体共有设某总体共有N=8N=8个单元，相应个单元，相应 及代码如表所示及代码如表所示iM1 12 23 34 45 56 67 78 8iiM2/52/51/21/22/32/34/34/38/58/53/53/52/32/3 1 130iM 12121515202040404848181820203030累计累计1212272747478787135135153153173173203203代码代码1 1121213132727282847474848

9、878788881351351361361531531541541731731741742032030203M 若取若取 n=3n=3，在在1 1203203中随机有放回地产生中随机有放回地产生3 3个随机整数，不个随机整数，不妨设为妨设为4545、8989、101101，则第，则第 3 3 个单元入样一次，第个单元入样一次，第 5 5 个单个单元入样元入样 2 2 次。次。（2 2）LahiriLahiri（拉希里）（拉希里） 方法方法 当当 N N 相当大时，累计的相当大时，累计的 将很大，给代码法的实施带将很大，给代码法的实施带来很多不方便。来很多不方便。LahiriLahiri提出下列

10、方法：令提出下列方法：令每次抽取每次抽取 1 1N N 中一个随机整数中一个随机整数 及及 1 1 内一个随机整数内一个随机整数 ，如果，如果 ，则第，则第 个单元入样；若个单元入样；若 ，则按前面，则按前面步骤重抽步骤重抽 ，显然，第，显然，第 个单元的入样与否受到个单元的入样与否受到 的影的影响，只有响，只有 时它才入样，因此第时它才入样，因此第 个单元入样的概率与个单元入样的概率与 的大小成正比，此时的大小成正比，此时*1maxiiNMM iiii( ,)i m*MmiMm iMm iMm iM0iiZMM 0Mm2 2、Hansen-Hurwitz Hansen-Hurwitz （汉森

11、（汉森赫维茨）估计量赫维茨）估计量 若若 是按是按 为入样概率的多项抽样而得的样为入样概率的多项抽样而得的样本数据，它们相应的本数据，它们相应的 值自然记为值自然记为 ，则对总，则对总体总和，体总和， Hansen-Hurwitz Hansen-Hurwitz 给出了如下的估计量：给出了如下的估计量：12,nyyy12,nz zziZiZ11niH Hiiyynz (7.4)(7.4)且且 ，即，即 是总体总和是总体总和 的无偏估计。的无偏估计。()HHE yY HHy Y 211()()NiHHiiiYVar yZYnZ (7.6)(7.6)()HHVar y 的无偏估计为的无偏估计为211

12、()()(1)niHHHHiiyv yyn nz (7.7)(7.7)2 2 不放回的不等概率抽样不放回的不等概率抽样 上一节讲述了有放回不等概率抽样，无论从实施上还是上一节讲述了有放回不等概率抽样，无论从实施上还是从估计计算以及精度估计都显得十分方便。但是，一个单元从估计计算以及精度估计都显得十分方便。但是，一个单元被抽中两次以上总会使样本的代表性打折扣，从而引起抽样被抽中两次以上总会使样本的代表性打折扣，从而引起抽样误差的增加。因此，实际调查工作者一般倾向于使用误差的增加。因此，实际调查工作者一般倾向于使用不放回不放回形式形式。 最简单的不放回不等概率抽样方式自然会想到逐一抽样最简单的不放

13、回不等概率抽样方式自然会想到逐一抽样这在第一次抽样时不会发生问题，但在抽第二个样本时面临这在第一次抽样时不会发生问题，但在抽第二个样本时面临的情况与有放回时大不相同，余下的的情况与有放回时大不相同，余下的 ( ( N-1 ) N-1 ) 个单元以什个单元以什么样的概率参与第二次抽样就是个问题；再在抽第三个样本么样的概率参与第二次抽样就是个问题；再在抽第三个样本时又面临新问题，如此下去，一是抽样实施的复杂，二是估时又面临新问题，如此下去，一是抽样实施的复杂，二是估计量及其方差计算的复杂，因此，在本节仅讨论计量及其方差计算的复杂，因此，在本节仅讨论 n n固定，尤固定，尤其是其是n=2n=2时的情

14、形。同时，我们只对使总体中每个单元的入时的情形。同时，我们只对使总体中每个单元的入样概率严格地与其样概率严格地与其“大小大小”成比例感兴趣，这就是所谓的成比例感兴趣，这就是所谓的 抽样。抽样。ps 1、包含概率、包含概率,iij 不放回不等概率抽样中，总体中每个单元被包含到样本不放回不等概率抽样中，总体中每个单元被包含到样本的概率，即入样概率的概率，即入样概率 是个重要的概念，而且任意两是个重要的概念，而且任意两个单元包含到样本中去的概率个单元包含到样本中去的概率 也是个重要的概念，也是个重要的概念，可以想象，估计量的方差等计算会与可以想象，估计量的方差等计算会与 有着密切的关系有着密切的关系

15、( )ip i ( , )ijp i j ,iij 既然既然 表示第表示第 个单元在个单元在 n n个样本中出现的可能性，那个样本中出现的可能性，那么所有么所有 N N个单元在样本中出现的可能性之和自然等于个单元在样本中出现的可能性之和自然等于 n n，这，这就是就是 的一个众所周知的性质：的一个众所周知的性质：i ii 我们所考虑的严格我们所考虑的严格 抽样，既然抽样，既然 与与 成比例，若成比例，若n n固定的话，显然有：固定的话，显然有：ps i iM1Niin (7.8)010,NiiiiiMnZnMMM (7.9) 对于对于 ，我们有，我们有11(1)2NNijiijn n ij (

16、7.11)2、HorvitzThompson（霍维茨（霍维茨汤普森）估计量汤普森）估计量1niHTiiyy (7.12)HT估计量与估计量与HH估计量是及其相似的。因为估计量是及其相似的。因为 ，它，它们在形式上似乎完全一样，但是们在形式上似乎完全一样，但是HH估计量中的估计量中的 可以互相可以互相重复，而重复，而HT中的中的 却是绝对地互不相同。却是绝对地互不相同。iinZ iyiy 对于不放回不等概率抽样，关于总体总和对于不放回不等概率抽样，关于总体总和 由由Horvitz和和Thompson提出如下的估计量：提出如下的估计量：Y当当 n 固定时，固定时，HT估计量的方差为：估计量的方差为

17、：21()()NNjiHTijijiijijYYVar y (7.13)3、几种严格的不放回、几种严格的不放回 抽样方法抽样方法ps 前面已经指出，所谓前面已经指出，所谓“严格不放回严格不放回 ”是指样本容量是指样本容量n 固定，严格不放回、固定，严格不放回、 的抽样。仅介绍的抽样。仅介绍n=2的情形。的情形。ps iinZ （1）Brewer（布鲁尔）方法（布鲁尔）方法（1963） 假设对所有假设对所有 ，均有，均有 ，现抽取两个样本，最通常的，现抽取两个样本，最通常的方法是逐个选取。方法是逐个选取。i12iZ 先以正比于先以正比于 的概率从的概率从N个单元中抽取个单元中抽取 1 个样本，个

18、样本，(1)1 2iiiZZZ 然后在余的然后在余的N1个单元中按与个单元中按与 成正比的概率抽取第成正比的概率抽取第2样本样本jZ这种抽样方法可以保证每个单元入样概率为：这种抽样方法可以保证每个单元入样概率为：2(1,2,)iiZiN 而而(12)(12)ijijijjiZ ZZ ZDZDZ 14(1)(12)(12)(1)12ijijNiijiiZ ZZZZZZZ (7.17)其中其中11(1)1112212NNiiiiiiiZZZDZZ （2）Durbin（德宾）方法（德宾）方法（1967）的概率抽取第二个样本。此时的概率抽取第二个样本。此时以概率以概率 在总体中进行一次不等概率抽样，在

19、总体中进行一次不等概率抽样，设第设第 个单元以概率个单元以概率 入样，在剩余的入样，在剩余的N1个单元中，以个单元中，以正比于正比于12(,)NZZZiiZ11()1212jijZZZ 于是可以计算出于是可以计算出11()12122jNijiiiij iZZZZZZD (7.19)11()21212Nij iijDZDZZ (7.18)Durbin方法中的方法中的 与与Brewer方法中的方法中的 完全一样完全一样这表明两种不等概率抽样方法其实是等价的。这表明两种不等概率抽样方法其实是等价的。,iij ,iij 112()121211()1212ijijijijijZ ZDZZZ ZDZZ (7.20)