主讲杨先林教授.ppt

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1、主讲杨先林教授 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、函数一、函数一、函数一、函数1.1.函数的定义域函数的定义域2.2.复合函数复合函数3.3.函数的属性函数的属性4.4.建立函数关系举例建立函数关系举例一、函数的概念一、函数的概念一、函数的概念一、函数的概念 1.1.1.1.函数的定义域函数的定义域函数的定义域函数的定义域定定义义设设 D 为为一一个个非非空空实实数数集集合合，若若存存在在确确定定的的对对应应规规则则 f，使使得得对对于于数数集集

2、D 中中的的任任意意一一个个数数 x,按按照照 f 都都有有唯唯一一确确定定的的实实数数 y 与与之之对对应应，则则称称 f 是是定定义在集合义在集合 D 上的函数上的函数.D:f 的定义域的定义域的定义域的定义域.解解该函数的定义域应为满足不等式组该函数的定义域应为满足不等式组解此不等式组，得其定义域解此不等式组，得其定义域用集合表示为用集合表示为的的 x 值的全体，值的全体，确定函数确定函数例例 1基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数三角函数三角函数反三角函数反三角函数 y=arc sinx,y=arc cos x,y=arc tan x,y=arc cot x；等五类函数统称

3、为等五类函数统称为基本初等函数基本初等函数.y=sinx,y=cos x,y=tan x,y=cot x,y=sec x,y=csc x；幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数2.2.复合函数复合函数若函数若函数 y=F(u),定义域为定义域为 U1,函函数数 u=(x)的的值值域为域为 U2,则则 y 通过变量通过变量 u 成为成为 x 的函数的函数,这这个个函函数数称称为为由由函函数数 y=F(u)和和函函数数 u=(x)构构成成的的复合函数复合函数,其中变量其中变量 u 称为中间变量称为中间变量.记为记为例例 2解解 方法一方法一 令令 u=x 1,得得 f(u)=(u 1)2,再

4、将再将u=2x 1 代入代入,即得复合函数即得复合函数例例 2方法二方法二 因为因为 f(x 1)=x2=(x 1)+12,于于是是问题转化为问题转化为 求求 y=f(x)=(x 1)2 与与 (x)=2x 1 的复合函数的复合函数 f (x),因此因此3.3.函数的属性函数的属性设设函函数数 y=f(x)的的定定义义域域关关于于原原点点对对称称，如如果果对对于于定定义义域域中中的的任任何何 x，都都有有 f(x)=f(-x)，则则称称 y=f(x)为为偶偶函函数数；如如果果有有 f(-x)=-f(x)，则则称称 f(x)为为奇奇函函数数.不不是是偶偶函函数数也也不不是是奇奇函函数数的函数，称

5、为非奇非偶函数的函数，称为非奇非偶函数.（1 1）奇偶性）奇偶性）奇偶性）奇偶性（2 2）周期性）周期性）周期性）周期性设设函函数数 y=f(x)的的定定义义域域为为(-,+)，若存在正数若存在正数 T，使得对于一切实数，使得对于一切实数 x，都有：，都有：则称则称 y=f(x)为周期函数为周期函数.f(x+T)=f(x).设设 x1 和和 x2 为区间为区间(a,b)内的任意两个数内的任意两个数，若当若当 x1 x2 时，有时，有则称该函数在区间则称该函数在区间(a,b)内内单调增加单调增加，或或称称递增递增；若当若当 x1 x2 时，有时，有则称该函数在区间则称该函数在区间(a,b)内内单

6、调减少单调减少，或称递减或称递减；（3 3）单调性）单调性）单调性）单调性函数的递增、递减统称函数是单调的函数的递增、递减统称函数是单调的.从几何从几何直观来看，直观来看，递递增增，就就是是当当 x 自自左左向向右右变变化化时时，函函数数的图形上升；的图形上升；递递减减，就就是是当当 x 自自左左向向右右变变化化时时，函函数数的的图图形形下降下降.aabbxyOxyOy=f(x)y=f(x)设设函函数数 f(x)在在区区间间 I 上上有有定定义义，若若存存在在一一个正数个正数 M，当当 x I 时时，恒有恒有成立成立，则称函数则称函数 f(x)为在为在 I 上的有界函数，上的有界函数，(4)(

7、4)有界性有界性有界性有界性 如如果果不不存存在在这这样样的的正正数数 M，则则称称函函数数 f(x)为为在在 I 上上的无界函数的无界函数.例例 3 由由直直线线 y=x，y=2 x 及及 x 轴轴所所围围的的等等腰三角形腰三角形 OBC，xy=xyxO12y=2 xCB 在在底底边边上上任任取取一一点点 x 0,2.过过 x 作作垂垂直直 x 轴轴的的直直线线，将将图图上上阴阴影影部部分分的的面面积积表表示示成成 x 的的函数函数.解解 设阴影部分的面积为设阴影部分的面积为 A，当当 x 0,1)时，时，4.4.4.4.建立函数关系举例建立函数关系举例建立函数关系举例建立函数关系举例当当

8、x 1,2 时时，所以所以xy=xyxO12y=2 xCB二、极限与连续二、极限与连续二、极限与连续二、极限与连续1.1.1.1.函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限2.2.2.2.极限的运算极限的运算极限的运算极限的运算3.3.3.3.两个重要极限两个重要极限两个重要极限两个重要极限4.4.4.4.函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性一一般般地地，当当 x 无无限限接接近近于于 x0 时时，函函数数 f(x)趋向于趋向于 A 的定义如下：的定义如下：定义定义如果当如果当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，时，恒有恒有|f(x)-A|e e(e e 是任意小的正数是任意小的正

9、数)，则则称称当当自自变变量量 x 趋趋向向于于 x0 时时，函函数数 f(x)趋趋向向于于 A，记作记作1.1.函数的极限函数的极限A A e e f(x)A e e几何解释几何解释:AA e eA A e ey=f(x)x0 d dx0+d dx0yxO 不不管管它它们们之之间间的的距距离离有有多多么么小小.只只要要 x 进入进入 U(是是指指：当当 0|x-x0|d d 时，时，恒有恒有|f(x)-A|e e.即即作两条直线作两条直线 y=A e e 与与 y=A e e.d d)内内，曲曲线线 y=f(x)就就会会落落在在这这两条直线之间两条直线之间.例例 4试求函数试求函数解解 (1

10、)因为因为函数函数 f(x)在在 x=0 处左、右极限存在但不相等，处左、右极限存在但不相等，所以当所以当 x 0 时，时，f(x)的极限不存在的极限不存在.(2)因为因为函数函数 f(x)在在 x=1 处左、右极限存在而且相等，处左、右极限存在而且相等，所以当所以当 x 1 时，时，f(x)的极限存在且的极限存在且2.2.2.2.极限的运算极限的运算极限的运算极限的运算解解例例53.3.3.3.两个重要极限两个重要极限两个重要极限两个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第一个重要极限第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限解解例例 6解解因为因为所以，有所以，有

11、例例 74.4.函数的连续性函数的连续性定定义义 设设函函数数 y=f(x)在在 x0 的的一一个个邻邻域域内内有有定义定义，则则称称函函数数 y =f(x)在在 x0 处处连连续续，或或称称 x0 为为函函数数 y=f(x)的连续点的连续点.且且若函数若函数 y=f(x)在点在点 x0 处有处有：则分别称函数则分别称函数 y=f(x)在在 x0 处是处是左连续或右连续左连续或右连续.由此可知，函数由此可知，函数 y=f(x)在在 x0 处连续的充处连续的充要条件可表示为要条件可表示为：即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续右连续例例 8

12、证证因为因为且且 f(0)=1，即即 f(x)在在 x=0 处处左左，右右连连续续，所所以以它它在在 x=0 处连续处连续.三、导数与微分三、导数与微分1.1.导数的概念导数的概念2.2.求导法求导法3.3.微分法微分法定定义义设设函函数数 y=f(x)在在点点 x0 的的一一个个邻邻域域内有定义内有定义.在在 x0 处处给给 x 以以增增量量 x(x0+x 仍仍在在上上述邻域内述邻域内)，函数函数 y 相应地有增量相应地有增量 y=f(x0 +x)-f(x0)，1.1.导数的概念导数的概念 则称此极限值为则称此极限值为函数函数y=f(x)在点在点 x0 处的导数处的导数.即即此此时时也也称称

13、函函数数 f(x)在在点点 x0 处处可可导导.如如果果上上述述极极限限不存在不存在，则称则称 f(x)在在 x0 处不可导处不可导.函函数数 y=f(x)在在点点 x0 处处的的导导数数的的几几何何意意义义就就是是曲曲线线 y=f(x)在在点点(x0，f(x0)处处的的切切线线的的斜率斜率,即即 tan =f (x0 0).yOxy=f(x)x0 0P导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义例例 9求求曲曲线线 y=x2 在在点点(1,1)处处的的切切线线和和法线方程法线方程.解解(x2)|x=1=2,即即点点(1,1)处处的的切切线线斜斜率率为为 2，所以所以,切线方程为切

14、线方程为:y 1=2(x-1).即即y=2 x-1.法线方程为法线方程为即即定义定义 存存在在，则则称称此极限值为此极限值为 f(x)在点在点 x0 处的处的左导数左导数，记作记作 f (x0)；则称此极限值为则称此极限值为 f(x)在点在点 x0 处的处的右导数右导数，记作记作 f +(x0).显显然然，f(x)在在 x0 处处可可导导的的充充要要条条件件是是 f -(x0)及及 f +(x0)存在且相等存在且相等.如果如果同样同样，定理定理如果函数如果函数 y=f(x)在点在点 x0 处可导处可导,则则 f(x)在点在点 x0 处连续处连续，其逆不真其逆不真.可导与连续的关系可导与连续的关

15、系可导与连续的关系可导与连续的关系在在 x=1 处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解解先求在先求在 x=1 时的时的 y.当当 x 0 时，时，y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)3-2=6 x+6(x)2+2(x)3，=6+6 x+2(x)2.从而知从而知因此因此所以函数在所以函数在 x=1 处连续，但不可导处连续，但不可导.容易算出容易算出又又(u(x)v(x)=u(x)v (x);(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);2.2.求导法求导法定定理理 设设函函数数 y=f(u)，u=(x)均均可可导导，则复合函数则复合函数 y=f(x)也可导也可导.且且或或或或例例

16、 11设设 y=(2x+1 1)5，求，求 y .解解把把 2x+1 看成中间变量看成中间变量 u，y=u5，u=2x+1复合而成，复合而成，所以所以 将将 y=(2x+1)5看成是看成是由于由于定定义义设设函函数数 y=f(x)在在点点 x 的的一一个个邻邻域域内有定义，内有定义，y=A x+，其其中中 A 与与 x 无无关关，是是 x 的的高高阶阶无无穷穷小小量量，则则称称 A x 为为函函数数 y=f(x)在在 x 处处的的微微分分，记记作作 dy，即即dy=A x.也称函数也称函数 y=f(x)在点在点 x 处处可微可微.如如果果函函数数 f(x)在在点点 x 处处的的增增量量 y=f

17、(x+x)-f(x)可以表示为可以表示为3.3.微分法微分法解解因为因为所以所以例例 12求函数求函数 y=2ln x在在x 处的微分，并求处的微分，并求当当 x=1 时的微分时的微分(记作记作dy|x=1).微分的四则运算微分的四则运算微分的四则运算微分的四则运算定理定理 设函数设函数 u、v 可微，可微，则则d(u v)=du dv.d(uv)=udv+vdu.例例 13设设 y=excos x，求，求 dy.解解dy =d(excos x)=ex dcos x+cos xdex=ex(cos x-sin x)dx.复合函数的微分复合函数的微分复合函数的微分复合函数的微分定理定理 设函数设

18、函数 y=f(u)，u=(x)均可均可微，微，dy=f (u)(x)dx.则则 y=f(x)也可微，也可微，且且由于由于du=(x)dx，所以上式可写为所以上式可写为dy=f (u)du.从上式的形式看，从上式的形式看，它它与与 y=f(x)的的微微分分 dy=f (x)dx 形形式式一一样样，这这叫叫一一阶阶微微分分形形式式不不变变性性.其其意意义义是是：不不管管 u 是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量，函函数数 y=f(u)的微分形式总是的微分形式总是 dy=f (u)du.例例 14设设 y=sin(2x)，求微分，求微分 dy.解解利用微分形式不变，利用微分形式不变，有有dy=c

19、os 2x d(2x)=2cos 2xdx.隐函数的微分法隐函数的微分法隐函数的微分法隐函数的微分法例例 15 设设方方程程 x2+y2=R2(R 为为常常数数)确确定定函函数数 y=y(x)，解解 在方程两边求微分，在方程两边求微分，d(x2+y2)=dR2，即即2xdx+2ydy=0.由此，当由此，当 y 0 时解得时解得或或四、导数的应用四、导数的应用1.1.中值定理中值定理2.2.洛必塔法则洛必塔法则3.3.函数的单调性和极值函数的单调性和极值4.4.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值1.1.1.1.中值定理中值定理中值定理中值定理罗罗尔尔定定理理如如果果函函数数 y=f(x)在

20、在闭闭区区间间 a,b 上连续上连续，那么至少存在一点那么至少存在一点 x x (a,b)，使使 f (x x )=0.且在区间端点处且在区间端点处的函数值相等的函数值相等，即即 f(a)=f(b)，在开区间在开区间(a,b)内可导内可导，x xyxOy=f(x)ba罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于外处处都具有不垂直于 Ox 轴的切线，轴的切线，那那么么其其上上至至少少有有一一条条平平行行于于 Ox 轴轴的切线的切线(如图所示如图所示).).且两端点处且两端点处的纵坐标相等，的纵坐标相等，拉格朗日定理拉格朗日定理若函数若函数

21、f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续，在开区间在开区间(a,b)内可导内可导，使得使得 则则至至少少存存在在一一点点 x x (a,b)，拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义：如如果果连连续续曲曲线线除除端端点点外外处处处处都都具具有有不不垂垂直直于于 Ox 轴的切线，轴的切线，那那么么该该曲曲线线上上至至少少有有这这样样一一点存在，点存在，y=f(x)bx xayxOCDAB在在该该点点处处曲曲线线的的切切线线平平行行于于联联结结两两端端点点的的直直线线(如如图图所所示示).).2.2.2.2.洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则定定理理设设函函数数 f(x)

22、和和 (x)在在 x0 的的某某邻邻域域(或或|x|M，M 0)内可微内可微，且且当当 x x0(或或 x )时时，f(x)和和 (x)的的极极限限为零为零，如如 果果 的的极极限限存存在在 (或或为为)，则则当当 x x0(或或 x )时时，它它们们之之比比的的极极限限存存在在且且 (x)0例例 16解解定理定理设函数设函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内可微内可微，(1)若当若当 x (a,b)时时，f (x)0，则则 f(x)在在(a,b)内内单调递增单调递增；(2)若当若当 x (a,b)时时，f (x)0，x (1,1)时，时，f (x)0，所以所以(,-1)和和(1,)是是

23、f(x)的递增区的递增区间，间，(-(-1,1)是是 f(x)的递减区间的递减区间.将上述讨论归纳为如下的表格：将上述讨论归纳为如下的表格：x(,-1)(-(-1,1)(1,)f (x)f(x)定义定义 设函数设函数 y=f(x)在在 x0 的一个邻域内有定义的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于若对于该邻域内异于 x0 的的 x 恒有恒有(1)f(x0)f(x)，则称则称 f(x0)为函数为函数 f(x)的极大值的极大值，x0 称为称为 f(x)的极大值点的极大值点；(2)f(x0)0 时时，则则 x0 为为极极小小值值点点，f(x0)为极小值为极小值；(2)当当 f (x0)0；f (x)

24、0；当当 x (2,+)时，时，f (x)0.因因此此，由由定定理理 可可知知，x=1 为为极极大大值点，值点，x=2 不不是是极极值值点点(因因为为在在 x=2 的两侧的两侧 f (x)同为正号同为正号).(3)计算极值计算极值极大值极大值 f(1)=(1-1)2(1-2)3=0，有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-(-,1)f (x)12(2,+)+0-0+0+f(x)极大值极大值0无极值无极值4.4.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值例例 19试求函数试求函数 f(x)=3x4-16x3+30 x2 24x+4在区间在区间 0,3 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解f (x)=12x3 -48x2 +60 x 24 令令 f (x)=0，得驻点，得驻点 x=1，x=2，它它们们为为 f(x)可可能的极值点，能的极值点，算出这些点及区间端点处的函数值：算出这些点及区间端点处的函数值：=12(x-1)2(x-2)，f(0)=4，f(1)=-3，f(2)=-4，f(3)=13，将它们加以比较将它们加以比较 可可知知在在区区间间 0,3 上上 f(x)的的最最大大值值为为 f(3)=13，最小值为最小值为 f(2)=-4.谢谢大家