最新微积分8-3PPT课件.ppt

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1、微积分微积分8-3一、全微分一、全微分二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用同理同理可微一定偏导数存在可微一定偏导数存在,但偏导数存在却未必可微但偏导数存在却未必可微.可导与可微的关系可导与可微的关系一元函数里一元函数里,函数可导与可微是函数可导与可微是等价等价关系关系.但在二但在二元元函数里函数里,可导与可微的区别很大可导与可微的区别很大,主要表现在以下主要表现在以下:由定理知由定理知,可微一定偏导数存在可微一定偏导数存在.对偏导数存在却未对偏导数存在却未必可微必可微,可由下面例子说明可由下面例子说明.例如，例如，则则当当 时，时，

2、偏导数存在函数不一定连续偏导数存在函数不一定连续,但可微函数必连续但可微函数必连续.函数的偏导数虽然存在函数的偏导数虽然存在,但是函数并不连续但是函数并不连续.下面下面证明可微函数必连续证明可微函数必连续.事实上事实上,函数函数z=f(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微,则有则有多元函数可微多元函数可微、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系.偏导数连续偏导数连续函数可微函数可微偏导数存在偏导数存在连续连续习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全

3、微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理叠加原理解解所求全微分所求全微分全微分的求法全微分的求法解解所求全微分所求全微分解解故故例例4 4 设函数设函数求该函数在点求该函数在点(1,1,1)处全微分的值处全微分的值df(x,y,z)|(1,1,1)解：解：df(x,y,z)|(1,1,1)=dx-dyzyxzyxf),(（=解：由题意解：由题意或：或：增量公式增量公式函数值公式函数值公式解解二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用在在可微可微

4、由公式由公式（2.用公式，并具体化）用公式，并具体化）（3.赋值并计算）赋值并计算）补例补例1 1：已知某产品的产量已知某产品的产量Q为企业投入资为企业投入资K K金和劳动金和劳动L的函数的函数,即即Q=Q(K,L),且当投入资金为且当投入资金为20、投入劳动为投入劳动为64时有：时有：Q(20,64)=2500 （产量产量）QK(20,64)=350 (资金的边际产出率资金的边际产出率）QL(20,64)=270 (劳动的边际产出率）劳动的边际产出率）现在企业准备扩大投入，使现在企业准备扩大投入，使K=24、L=69，试计算扩大试计算扩大投入后产品增量与产量的近似值。投入后产品增量与产量的近

5、似值。解：解：由近似公式由近似公式 QdQ=QK(K,L)K+QL(K,L)L将将K=20、L=64、K=4、L=5代入代入,得得：Q QK(20,64)4+4+QL(20,64)55=350 4+270 5=2750Q(24,69)Q(20,64)+Q=2500+2750=5250即扩大投入后约增产即扩大投入后约增产2750单位单位,总产量可达约总产量可达约5250单位单位.解解设黄铜的密度为设黄铜的密度为8.9圆柱体的体积为圆柱体的体积为?,1.04,20少黄铜少黄铜问需要准备多问需要准备多的黄铜的黄铜均匀地镀上一层厚度为均匀地镀上一层厚度为的圆柱体表面的圆柱体表面半径半径要在高为要在高为补例补例2 2cmcmRcmH=从而所需准备的黄铜为从而所需准备的黄铜为多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数的区别）（注意：与一元函数的区别）三、小结思考题思考题结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！25