二维随机变量的函数的分布.ppt

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1、二维随机变量的函数的分布 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 它表明，两个随机它表明，两个随机变量相互独立时，变量相互独立时，联合分布函数等于联合分布函数等于两个边缘分布函数两个边缘分布函数的乘积的乘积 一、两个随机变量相互独立的概念一、两个随机变量相互独立的概念两事件两事件A,B独立独立 指指 P(AB)=P(A)P(B)定义定义 设设F(x,y),FX(x),FY(y)分别是二维随机变量分别是二维随机变量(X,Y)联合分布函数及边缘分布函数若对所有

2、联合分布函数及边缘分布函数若对所有 x,y 有有 即即则称随机变量则称随机变量X与与Y是是相互独立的相互独立的.说明说明 (1)(1)若离散型随机变量若离散型随机变量 (X,Y )的分布律为的分布律为教材上称为教材上称为“几乎处处成立几乎处处成立”，含义是：在平面上除，含义是：在平面上除去面积为去面积为0 0的集合外，处处成立的集合外，处处成立.证证:必要性必要性 对任何对任何 x,y 有有取取X与与Y相互独立相互独立附：附：故故将将代入代入即得即得所以所以X与与Y相互独立相互独立充分性充分性 例例1 1 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 X X

3、Y Y 0 1 0 1 0 0.04 0 0.04 a 1 1 b 0.640.64若若X 和和Y相互独立相互独立,则则 a=_=_ b=_=_0.16 0.160.16 0.16图图例例2 2 学生甲学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在乙到达教室的时间均匀分布在7 7 9 9时时,设两人设两人到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相差不超过到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相差不超过5 5分钟的概率分钟的概率解解 设设X X，Y Y分别表示甲，乙到达教室的时刻分别表示甲，乙到达教室的时刻 由于由于X X与与Y Y相互独立，故相互独立，故(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为797

4、9GxOyG1返回证证:对任何对任何 x,y 有有取取X与与Y相互独立相互独立例例3故故将将代入代入即得即得所以所以X与与Y相互独立相互独立n若对任意实数若对任意实数 ，均有，均有则称则称 X1,X2,Xn相互独立相互独立.设设(X1,X2,Xn)的分布函数为的分布函数为F(X1,X2,Xn).n n 定理定理定理定理 设设(X1,X2,Xm)与与(Y1,Y2,Yn)相互独立相互独立,则则Xi(i=1,2,m)与与Yj(j=1,2,n)相互独立相互独立.又若又若 h,g为为连续函数连续函数,则则h(X1,X2,Xm)与与g(Y1,Y2,Yn)相互独立相互独立.n 若对任意实数若对任意实数 x1

5、,x2,xm;y1,y2,yn 均有均有则称则称 X1,X2,Xn与与Y1,Y2,Yn相互独立相互独立.F(x1,xm,y1,yn)=F1(x1,xm)F2(y1,yn)二、二、n n个随机变量相互独立的概念个随机变量相互独立的概念3.5 3.5 二维随机变量的函数二维随机变量的函数的分布的分布Z=X+Y 的分布的分布三、最大值、最小值的分布三、最大值、最小值的分布一、一、离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布二、二、连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布例例1 1 设设(X,Y)的分布律为的分布律为XY 0 1 2-1 2 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1

6、0.2解解(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)-1 0 1 2 3 4(X,Y)Z=X+YZ=XY 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2 0 -1 -2 0 2 4Z=XY 0.1 0.3 0.3 0.1 0.2 -2 -1 0 2 4一、一、离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布求求 (1)(1)Z=X+Y (2)Z=XY (3)(3)Z=max(X,Y)(4)(4)Z=min(min(X,Y)的分布律的分布律.Z=max(X,Y)0 1 2 2 2 2X与与Y独立，独立，X,Y取取0,1,2，则，则Z=X+Y Z=max(X,Y)的分布

7、律的分布律设设X与与Y独立，分别服从参数为独立，分别服从参数为 ，的泊松分布，的泊松分布，证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为 的泊松分布。的泊松分布。【注注】分布具有可加性分布具有可加性二项分布的可加性（二项分布的可加性（P89）二、二、连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y),求求Z=g(X,Y)的分布的分布.一般方法：一般方法：分布函数法分布函数法 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的分布函数为的分布函数为 1.1.Z Z=X X+Y Y 的分布的分布x x+y y=z zyxo Z=X+Y 的概

8、率密度的概率密度:卷积公式卷积公式当当X,Y 相互独立时相互独立时,例例1 1 设设 XN(0,1),YN(0,1)且且X与与Y相互独立，求相互独立，求 Z=X+Y的概率密度。的概率密度。Z=X+YN(0,2).解解(2)(2)若若 一般结论：一般结论：(1)若若 且相互独立，且相互独立，则则 X+Y 仍服从正态分布，且仍服从正态分布，且且相互独立，则且相互独立，则 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布.例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，且相互独立，且X和和Y都是（都是（0，a）上的均匀分布，求）上的均匀分布，

9、求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。例例2 2 在一简单电路中，两电阻在一简单电路中，两电阻R1和和R2串联联接，设串联联接，设 R1,R2相互独立，它们的概率密度均为相互独立，它们的概率密度均为求总电阻求总电阻R=R1+R2的概率密度的概率密度.解解xzz=xz=x+10例例3 3 设设X1,X2相相互互独独立立分分别别服服从从参参数数为为 1,;2,的的 分布分布,即即X1,X2的概率密度分别为的概率密度分别为试证：试证：X1+X2服从参数为服从参数为 1+2,的的 分布分布.注注 函数函数:u 分布：分布：若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为 分布的性质分布的性质：若若X1 (

10、1,)，X2 (2,)，且相且相互独立，则互独立，则 X1+X2 (1+2,).注注 函数函数:则称则称X服从参数为服从参数为,的的 分布分布.记为记为 X(,).若若X1,X2,Xn相互独立，且相互独立，且Xi 服从参数为服从参数为 i,(i=1,2,n)的的 的分布，则的分布，则X1+X2+Xn服从参服从参数为数为 1+2+.+n,的的 分布分布.一般结论：一般结论：一般结论：一般结论：当当 z 0 时时,证证证证：A亦即亦即Z=X1+X2服从参数为服从参数为 1+2,的的 分布分布 证证:y=xzyxoG1G2y=xzyxo(z0)G1G2(z0,0,.试求联接方式为：试求联接方式为：(

11、1)串联，串联，(2)并联（并联（3）备用时备用时 系统系统L的寿命的寿命Z的概率密度的概率密度解解解解(1)串联系统：此时有串联系统：此时有 Z=minX,YL2XYL1(2)并联系统：并联系统：L2XYL1此时有此时有 Z=maxX,Y例例 设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为概率密度为若各周的需求量相互独立若各周的需求量相互独立,求两周需求量的概率密度求两周需求量的概率密度.若若X是离散型随机变量，是离散型随机变量，Y是连续型随机变量，是连续型随机变量，X和和Y相互独立，如何求相互独立，如何求Z=X+Y的概率密度？的概率密度？精品课件资料分享 SL出品