理论力学-质点动力学的运动方程优秀PPT.ppt

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1、H舰载飞机在发动机和弹射器推力舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞作用下从甲板上起飞 工程实际中的动力学问题工程实际中的动力学问题 工程实际中的动力学问题工程实际中的动力学问题若已知初速度、确定的若已知初速度、确定的若已知初速度、确定的若已知初速度、确定的时间间隔后飞离甲板时的时间间隔后飞离甲板时的时间间隔后飞离甲板时的时间间隔后飞离甲板时的速度，则须要弹射器施加速度，则须要弹射器施加速度，则须要弹射器施加速度，则须要弹射器施加多大推力，或者确定须要多大推力，或者确定须要多大推力，或者确定须要多大推力，或者确定须要多长的跑道。多长的跑道。多长的跑道。多长的跑道。若已知推力和跑道可能

2、若已知推力和跑道可能若已知推力和跑道可能若已知推力和跑道可能长度，则须要多大的初长度，则须要多大的初长度，则须要多大的初长度，则须要多大的初速度和确定的时间间隔速度和确定的时间间隔速度和确定的时间间隔速度和确定的时间间隔后才能达到飞离甲板时后才能达到飞离甲板时后才能达到飞离甲板时后才能达到飞离甲板时的速度。的速度。的速度。的速度。工程实际中的动力学问题工程实际中的动力学问题 棒球在被球棒击打后，棒球在被球棒击打后，棒球在被球棒击打后，棒球在被球棒击打后，其速度的大小和方向发其速度的大小和方向发其速度的大小和方向发其速度的大小和方向发生了变更。假如已知这生了变更。假如已知这生了变更。假如已知这生

3、了变更。假如已知这种变更即可确定球与棒种变更即可确定球与棒种变更即可确定球与棒种变更即可确定球与棒的相互作用力。的相互作用力。的相互作用力。的相互作用力。Fv1v2 工程实际中的动力学问题工程实际中的动力学问题载人飞船的载人飞船的交会与对接交会与对接Av1Bv2 工程实际中的动力学问题工程实际中的动力学问题航空航天器航空航天器的姿态限制的姿态限制 工程实际中的动力学问题工程实际中的动力学问题高速列车的振动问题高速列车的振动问题牛顿及其在力学发展中的贡献牛顿及其在力学发展中的贡献 牛顿诞生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家牛顿诞生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他诞生之前父亲即去世，他不

4、到三岁时母亲改中。在他诞生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。1661 1661年牛顿进入了剑桥高校的三一学院，年牛顿进入了剑桥高校的三一学院，16651665年年获文学学士学位。在高校期间他全面驾驭了当时的数获文学学士学位。在高校期间他全面驾驭了当时的数学和光学。学和光学。1665-16661665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，的两年期间，剑桥流行黑热病，学校短暂停办，他回到老家。这段时间中他发觉了二学校短暂停办，他回到老家。这段时间中他发觉了二项式定律，起先了光学中的颜色试验，即白光由项式定律，起先了光学中的颜色试验，即

5、白光由7 7种种色光构成的试验。而且由于一次躺在树下看到苹果落色光构成的试验。而且由于一次躺在树下看到苹果落地起先思索地心引力问题。在地起先思索地心引力问题。在3030岁时，牛顿被选为皇岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。牛顿在光学上的主要贡献是发觉了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地独创了微积分，给出了二项式定理。牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著自然哲学之数学原理。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对

6、动力学的探讨成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。第十章第十章质点动力学的质点动力学的基本方程基本方程10.1 10.1 动力学的基本定律动力学的基本定律第确定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。其次定律(力与加速度关系定律)在经典力学中质点的质量是守恒的在经典力学中质点的质量是守恒的质质点点的的质质量量越越大大，其其运运动动状状态态越越不不简简洁洁变变更更，也也就就是是质质点点的的惯惯性性越越大大。因因此此，质质量量是是质质点点惯惯性性的的度度量量。上上式式是是推推导导其其它它动动力力学学方方程程的的动动身身点，

7、称为动力学基本方程。点，称为动力学基本方程。质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。国际计量标准g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。由其次定律有或 必需指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、其次定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之

8、为非惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。10.2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程2.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影质点运动微分方程在直角坐标轴上投影3.质点运动微分方程在自然轴上投影质点运动微分方程在自然轴上投影1.1.矢量形式的质点运动微分方程矢量形式的质点运动微分方程第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。其次类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为

9、数学上的解微分方程或求积分问题。质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题1.力是常数或是时间的简洁函数3.力是速度的简洁函数，分别变量积分2.力是位置的简洁函数,利用循环求导变换例例10-1 曲柄连杆机构如图所示曲柄连杆机构如图所示.曲柄曲柄OA以匀角速以匀角速度度 转动转动,OA=r,AB=l,当当 比较小时比较小时,以以O 为坐为坐标原点标原点,滑块滑块B 的运动方程可近似写为的运动方程可近似写为 如滑块的质量为如滑块的质量为m,忽忽略摩擦及连杆略摩擦及连杆AB的质量的质量,试试求当求当,连连杆杆AB所受的力所受的力.解解:探讨滑块探讨滑块其中其中已知已知:则则求求:有有得得这属于

10、动力学第一类问题。这属于动力学第一类问题。当当得得求求:质点的运动轨迹。质点的运动轨迹。例例10-2 质量为质量为m的质点带有电荷的质点带有电荷e,以速度以速度v0进入强进入强度按度按E=Acoskt变化的均匀电场中变化的均匀电场中,初速度方向与电场强初速度方向与电场强度垂直度垂直,如图所示。质点在电场中受力如图所示。质点在电场中受力 作用。作用。已知常数已知常数A,k,忽略质点的重力忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。试求质点的运动轨迹。已知已知:求求:质点的运动轨迹。质点的运动轨迹。已知已知:解解:由由积分积分得运动方程得运动方程消去消去t,得轨迹方程得轨迹方程这是其次类基本问题。这是其次

11、类基本问题。求求:质点的运动轨迹。质点的运动轨迹。已知已知:例例10-3 一圆锥摆一圆锥摆,如图所示。质量如图所示。质量m=0.1kg的的小球系于长小球系于长l=0.3m 的绳上的绳上,绳的另一端系在固定点绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成并与铅直线成 角。如小球在水平面内作角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。与绳的张力。已知已知:求求:已知已知:求求:这是混合问题。这是混合问题。其中解得已知已知:匀速转动匀速转动 时小球掉下。时小球掉下。求求:转速转速n.例例10-4粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为，绕通过中心的水平轴，绕通过中心的水平轴

12、匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数下来。求滚筒每分钟的转数n 。解：探讨铁球解：探讨铁球已知已知:匀速转动。匀速转动。时小球掉下。时小球掉下。求求:转速转速n.例例10.1例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为xa cos wt，ya sin wt，求作用在质点上的力F。ijvrF解：以质点M为探讨对象。分析运动：由运动方程消去时间 t，得质点作椭圆运动。将运动方程对时间求两阶导数得：代入质点运动微分方程，

13、即可求得主动力的投影为：力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。yxxbaOM例例10.2 例2 质量为1kg的小球M，用两绳系住，两绳的另一端分别连接在固定点A、B，如图。已知小球以速度v2.5 m/s在水平面内作匀速圆周运动，圆的半径r0.5 m,求两绳的拉力。解：以小球为探讨对象，任一瞬时小球受力如图。方向指向O点。MOrBA4560小球在水平面内作匀速圆周运动。B60ArOMmgFBFAvan 建立自然坐标系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有当 时，两绳才同时受力。否则将只有其中一绳受力。B60ArOMmgFBFA

14、vanbnt t例例10.3 例3 从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。解：探讨抛射体,列直角坐标形式的质点运动微分方程积分后得xyM初始条件为 轨迹方程为：由此可见，物体的轨迹是一抛物线。于是物体的运动方程为：确定出积分常数为：例例10.6 例4 如图所示，一瘦长杆杆端有一小球M，其质量为m，另一端用光滑铰固定。杆长为l，质量不计，杆在铅垂面内运动，起先时小球位于铅垂位置，突然给小球一水平初速度v0，求杆处于任一位置q 时对球的约束力。解：以小球为探讨对象，将其视为质点。建立图示的自然坐标。由运动学知：qOlO1Sv0M(+)nt

15、 t （1）式是一常系数二阶非线性微分方程，其解为椭圆积分，较为复杂。将其积分一次求出 ，代入（2）式即可求出FT。因为所以qOlO1Sv0mgFTM(+)nt t在任一位置质点受力如图。由自然坐标形式的质点运动微分方程得即 得：由初始条件：t0时，q00，代入上式得将其代入（2）式，得下面将计算结果作进一步的探讨：由(3)得此式表示杆在任意位置时球的速度。由此式可知:当时小球才能作圆周运动，否则球作摆动。(4)式给出约束力FT随q 角的变更规律。当q0时，当qp 时，若令T=0，可由(4)式给出约束力为零时，杆的位置(设此时杆的位置用qA表示)所满足的条件因此，要使T 0，必须满足 。即若则

16、因此，在区间 范围内，总存在确定的qA值，使小球在这一点不受杆的作用。当qqA时，FT0，即小球受压。umgs例5：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摇摆。初始时小球的速度为u,=0。求绳作用在小球上的力F(),并分析小球的运动。解：1、取探讨对象画受力图 2、确定坐标系 3、建立微分方程 4、求解 5、分析小球运动F n运动微分方程积分上式可得：积分上式可得：分析小球微幅摇摆的运动规律运动特点：等时性（周期与初始条件无关）初始条件：微分方程的通解确定积分常数解：1、取炮弹为探讨对象,建立矢量方程2、建立直角坐标形式的运动微分方程yxovmgR例6:建立抛体的运动微分方程。设空气阻力的大小与

17、速度的平方成正比运动微分方程炮弹运动轨迹图 飞飞机机空空投投物物体体速速度度大大小小随随时时间间的的变变更更例7:质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径为 r 为1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。o解：取质点为探讨对象解：取质点为探讨对象由（由（2）式解得：）式解得：代入（代入（1）式得：）式得：当：当：同理，当：同理，当：数值方法给出质点位数值方法给出质点位置、速度和切向加速置、速度和切向加速度随时间的变更规律度随时间的变更规律ot(s)yxovmg思索题思索题:给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。设空气阻力的大小与速度的平方成正比设空气阻力的大小与速度的平方成正比yxovmgE:未给出正确答案未给出正确答案 作业：课后习题作业：课后习题10-310-3、10-410-4。