2015年上海高考~数学试卷~(理科)解析.doc

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1、.2015 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有 14 题，满分 48 分 ）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分1 （4 分） （2015 上海）设全集 U=R若集合 =1，2，3，4 ，=x|2 x3，则 U= 2 （4 分） （2015 上海）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= 3 （4 分） （2015 上海）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 c1c2= 4 （4 分） （2015 上海）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a= 5 （4 分） （2015 上海）抛物线 y2

2、=2px（p0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p= 6 （4 分） （2015 上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2，则其母线与轴的夹角的大小为 7 （4 分） （2015 上海）方程 log2（9 x15）=log 2（3 x12）+2 的解为 8 （4 分） （2015 上海）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 9 （2015上海）已知点 P 和 Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍，P 和 Q的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2若 C1 的渐近线方

3、程为 y= x，则 C2 的渐近线方程为 10 （4 分） （2015 上海）设 f1（x）为 f（x）=2 x2+ ，x0，2的反函数，则 y=f（x）+f1（x）的最大值为 11 （4 分） （2015 上海）在（1+x+ ） 10 的展开式中， x2 项的系数为 （结果用数值表示） .12 （4 分） （2015 上海）赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元） ；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元） 若随机变量 1 和 2 分别表示赌客在一局赌

4、博中的赌金和奖金，则 E1E2= （元） 13 （4 分） （2015 上海）已知函数 f（x）=sinx若存在 x1，x 2，x m 满足0x1x 2 xm6，且|f（x 1）f（x 2）|+|f（x 2）f （x 3）|+ +|f（x m1）f（x m）|=12（m 12，mN *） ，则 m 的最小值为 14 （2015上海）在锐角三角形 A BC 中，tanA= ，D 为边 BC 上的点，A BD 与ACD的面积分别为 2 和 4过 D 作 D EA B 于 E，DF AC 于 F，则 = 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 15 分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应

5、编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15 （5 分） （2015 上海）设 z1，z 2C，则“ z1、z 2 中至少有一个数是虚数 ”是“z 1z2 是虚数”的（ ）A充分非必要条件 B 必要非充分条件C 充要条件 D既非充分又非必要条件16 （5 分） （2015 上海）已知点 A 的坐标为（4 ，1） ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB，则点 B 的纵坐标为（ ）ABCD17 （2015上海）记方程 ：x 2+a1x+1=0，方程：x 2+a2x+2=0，方程：x 2+a3x+4=0，其中 a1，a 2，a 3 是正实数当 a1，a 2， a3 成

6、等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（ ）A方程有实根，且有实根 B 方程有实根，且无实根C 方程无实根，且有实根 D方程无实根，且无实根.18 （5 分） （2015 上海）设 Pn（x n，y n）是直线 2xy= （n N*）与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限 =（ ）A 1B C1 D2三、名师解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19 （12 分） （2015 上海）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1=1， AB=AD=2，E、F 分别是 AB、BC 的中点，证明 A1、C 1

7、、F、E 四点共面，并求直线 CD1 与平面 A1C1FE 所成的角的大小.20 （14 分） （2015 上海）如图，A ，B，C 三地有直道相通，AB=5 千米，AC=3 千米，BC=4 千米现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f（t） （单位：千米） 甲的路线是 AB，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 ACB，速度为 8 千米/小时乙到达 B 地后原地等待设 t=t1 时乙到达 C 地（1）求 t1 与 f（t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米当 t1t1 时，求 f（t）的表达式，并判断 f（t）在t 1，1

8、上的最大值是否超过 3？说明理由21 （14 分） （2015 上海）已知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于A、B 和 C、D，记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 S（1）设 A（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明S=2|x1y2x2y1|；（2）设 l1 与 l2 的斜率之积为 ，求面积 S 的值22 （16 分） （2015 上海）已知数列a n与b n满足 an+1an=2（b n+1bn） ，nN *（1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求数列a n的通项公式；.（2）设a

9、n的第 n0 项是最大项，即 a an（nN *） ，求证：数列b n的第 n0 项是最大项；（3）设 a1=0，b n=n（n N*） ，求 的取值范围，使得 an有最大值 M 与最小值 m，且（2， 2） 23 （18 分） （2015 上海）对于定义域为 R 的函数 g（x） ，若存在正常数 T，使得cosg（x）是以 T 为周期的函数，则称 g（x）为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期已知 f（x）是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R设 f（x）单调递增，f （0）=0，f（T）=4（1）验证 g（x）=x+sin 是以 6 为周期的余弦周期函数；（2）设 ab，证明对任

10、意 cf（a） ，f（b） ，存在 x0a，b，使得 f（x 0）=c；.（3）证明：“u 0 为方程 cosf（x）=1 在0，T上得解， ”的充分条件是 “u0+T 为方程cosf（x）=1 在区间T，2T上的解 ”，并证明对任意 x0，T，都有 f（x+T）=f（x）+f（T ） .2015 年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 14 题，满分 48 分 ）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分1 （4 分） （2015 上海）设全集 U=R若集合 =1，2，3，4 ，=x|2 x3，则 U= 1，4 知识归纳：

11、交、并、补集的混合运算菁优网版权所有名师分析： 本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可名师讲解： 解：全集 U=R，集合 =1，2，3，4，=x|2 x3，（ UB）=x|x3 或 x2，A（ UB）=1，4，故答案为：1，4名师点评： 本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键本题考查了推理判断的能力2 （4 分） （2015 上海）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= 知识归纳： 复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有名师分析： 设 z=a+bi，则 =abi（a，b R） ，利用复数的运算法则、复

12、数相等即可得出名师解答： 解：设 z=a+bi，则 =abi（a ，bR ） ，又 3z+ =1+i，3（ a+bi）+ （a bi）=1+i ，化为 4a+2bi=1+i，4a=1， 2b=1，解得 a= ，b= z= 故答案为： 名师点评： 本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题3 （4 分） （2015 上海）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则 c1c2= 16 .知识归纳： 二阶行列式与逆矩阵菁优网版权所有名师分析： 根据增广矩阵的定义得到 ，是方程组 的解，解方程组即可名师解答： 解：由题意知 ，是方程组 的解，即 ，则 c1c2=215=16，故答案为：16名师点评： 本

13、题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键4 （4 分） （2015 上海）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a= 4 知识归纳： 棱锥的结构特征菁优网版权所有名师分析： 由题意可得（ aasin60）a=16 ，由此求得 a 的值名师解答： 解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形，面积为aasin60，正棱柱的高为 a，（ aasin60） a=16 ， a=4，故答案为：4名师点评： 本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题5 （4 分） （2015 上海）抛物线 y2=2px（p0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为

14、1，则 p= 2 知识归纳： 抛物线的简单性质菁优网版权所有名师分析： 利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论名师解答： 解：因为抛物线 y2=2px（p0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，所以 =1，所以 p=2故答案为：2名师点评： 本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.6 （4 分） （2015 上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2，则其母线与轴的夹角的大小为 知识归纳： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 菁优网版权所有名师分析： 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2，可得 l=2h，进而

15、可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案名师解答： 解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，则圆锥的侧面积为：rl，过轴的截面面积为：rh，圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2，l=2h，设母线与轴的夹角为 ，则 cos= = ，故 = ，故答案为： 名师点评： 本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是名师解答的关键7 （4 分） （2015 上海）方程 log2（9 x15）=log 2（3 x12）+2 的解为 2 知识归纳： 对数的运算性质菁优网版权所有名师分析： 利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可名师解答： 解：log

16、2（9 x15）=log 2（3 x12）+2，log 2（9 x15）=log 24（3 x12），9x15=4（3 x12） ，化为（3 x） 2123x+27=0，因式分解为：（3 x3） （3 x9） =0，3x=3，3 x=9，解得 x=1 或 2经过验证：x=1 不满足条件，舍去x=2故答案为：2名师点评： 本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题8 （4 分） （2015 上海）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示） .知识归纳： 排列、组

17、合的实际应用菁优网版权所有名师分析： 根据题意，运用排除法名师分析，先在 9 名老师中选取 5 人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案名师解答： 解：根据题意，报名的有 3 名男老师和 6 名女教师，共 9 名老师，在 9 名老师中选取 5 人，参加义务献血，有 C95=126 种；其中只有女教师的有 C65=6 种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为 1266=120 种；故答案为：120名师点评： 本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法） ，可以避免分类讨论，简化计算9 （2015上海）已知点 P 和 Q 的横坐标相同，P 的纵

18、坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍，P 和 Q的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2若 C1 的渐近线方程为 y= x，则 C2 的渐近线方程为 知识归纳： 双曲线的简单性质菁优网版权所有名师分析： 设 C1 的方程为 y23x2=，利用坐标间的关系，求出 Q 的轨迹方程，即可求出C2 的渐近线方程名师解答： 解：设 C1 的方程为 y23x2=，设 Q（x，y） ，则 P（x，2y） ，代入 y23x2=，可得 4y23x2=，C2 的渐近线方程为 4y23x2=0，即 故答案为： 名师点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础10 （4 分） （2015 上海）设 f1（x）为 f（x）=2 x2+ ，x0，2的反函数，则 y=f（x）+f1（x）的最大值为 4 知识归纳： 反函数菁优网版权所有名师分析： 由 f（x）=2 x2+ 在 x0，2上为增函数可得其值域，得到 y=f1（x）在上为增函数，由函数的单调性求得 y=f（x）+f 1（x）的最大值名师解答： 解：由 f（x）=2 x2+ 在 x0，2 上为增函数，得其值域为 ，